第三章地下水中溶質(zhì)遷移擴散理論

地下水溶質(zhì)遷移擴散模型（***）

模型的解析解（***）

參數(shù)確定（**）12/9/2024第一節(jié)地下水溶質(zhì)遷移擴散模型擴散模型簡介基本擴散方程定解條件12/9/2024擴散模型簡介基本概念：地下水污染數(shù)學(xué)模型是描述地下水中污染物隨時間和空間遷移轉(zhuǎn)化規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，可以給出排入地下水中的污染物數(shù)量與地下水水質(zhì)之間的定量關(guān)系，為水質(zhì)預(yù)測及影響分析提供理論依據(jù)。12/9/2024擴散模型簡介模型分類：動態(tài)模型、靜態(tài)模型；一維、二維、三維模型；單一組分、多組分水質(zhì)模型；

確定性模型、非確定性模型，等12/9/2024基本擴散方程方程可以簡化12/9/2024定解條件某空間區(qū)域R及時間區(qū)間（0,T），考慮的地下水動力彌散問題在這個時空區(qū)域上確定；已知R上的流場分布及有關(guān)參數(shù)分布；給定初始條件和邊界條件。12/9/2024初始條件給定初始條件就是已知初始時刻t=0的濃度分布，即：12/9/2024邊界條件第一類邊界條件已知濃度變化規(guī)律，即：如與地表水體相連的邊界，已知濃度。12/9/2024邊界條件第二類邊界條件已知彌散通量，即：如透水或不透水邊界以及自由水面等，已知彌散通量。12/9/2024邊界條件第三類邊界條件已知溶質(zhì)通量，即：12/9/2024第二節(jié)地下水污染質(zhì)遷移擴散方程的解析解保守物質(zhì)一維彌散方程解析解平面一維徑向一維12/9/2024平面一維彌散方程解析解穩(wěn)定源：條件是：污染地下水在半無限的均勻介質(zhì)中流動，假定平均滲透流速V是不變的(Vx=Const，Vy=Vz=0)，彌散系數(shù)為常數(shù)(Dx=Const，Dy=Dz=0

)。不考慮μ和ρ的變化。研究區(qū)中含某物質(zhì)濃度為0，污水中濃度為C0，無窮遠(yuǎn)處濃度始終為0，該物質(zhì)為中性物質(zhì)(S=0)。12/9/2024平面一維彌散方程解析解數(shù)學(xué)模型和定解條件為：12/9/2024平面一維彌散方程解析解該方程為一般的二階線性齊次偏微分方程的定解問題，可用拉普拉斯積分變換法求解，其解為：余誤差函數(shù)12/9/2024平面一維彌散方程解析解當(dāng)D/(V·x)≤0.005時，解的第二項可以忽略不計而誤差不會大于4％，即：12/9/2024平面一維彌散方程解析解若用相對濃度表示，則相對濃度為的位置：這一點的運動速度為：若=0.5，這點速度為常數(shù)－活塞式推進12/9/2024平面一維彌散方程解析解彌散過渡帶－相對濃度從1到0的污染帶。彌散帶長度近似計算：12/9/2024平面一維彌散方程解析解暫時源：當(dāng)污水只是暫時的(tp)侵入，其余條件同穩(wěn)定源，模型和條件可簡化為：12/9/2024平面一維彌散方程解析解方程的近似解為：12/9/2024平面一維彌散方程解析解點x處污染物最大濃度出現(xiàn)的時間tmax。當(dāng)tp/tmax<0.07時，可得近似式為：將上式代入解析解可得：12/9/2024徑向一維彌散方程解析解穩(wěn)定源：當(dāng)從鉆孔中投入固定濃度的污染物(C0=const)或固定數(shù)量的污染物(qC0=const)時，如果地下水的天然水力坡度為0，則形成以鉆孔為中心的散開放射流。這種情況仍屬于一維彌散，但其流速是沿程變化的，即隨著遠(yuǎn)離源的距離增大而減少：12/9/2024徑向一維彌散方程解析解穩(wěn)定源：數(shù)學(xué)模型和定解條件為：12/9/2024徑向一維彌散方程解析解穩(wěn)定源：對于C0=const，解析解為：對于qC0=const，解析解為：其中：12/9/2024徑向一維彌散方程解析解穩(wěn)定源：若假定取平均流速，解析解可簡化為：當(dāng)(x-ut)>0時取負(fù)號，當(dāng)(x-ut)<0時取正號。12/9/2024徑向一維彌散方程解析解暫時源：當(dāng)在短時期tp內(nèi)投入污染物時，方程為：12/9/2024徑向一維彌散方程解析解暫時源：當(dāng)tp與t相比較很小時，其解析解為：當(dāng)t足夠大時，則給定時間上Cmax的空間位置xm為：0.3～4鉆孔直徑投入污染物的質(zhì)量12/9/2024保守物質(zhì)二維彌散方程解析解平面二維剖面二維12/9/2024平面二維彌散方程解析解含水層為單層水平均質(zhì)巖層，u平行于ox軸，污染源為局部點源(C0,Q)，地下水中C0=0。令D/n=αu，α為彌散度，u=V/n，n為有效孔隙度12/9/2024平面二維彌散方程解析解方程的解析解為：其中W(t,b)為漢土什函數(shù)：12/9/2024平面二維彌散方程解析解12/9/2024平面二維彌散方程解析解12/9/2024剖面二維彌散方程解析解延伸長度較大的貯污庫的滲漏屬于這種模型。庫長為2L，r0相對較小含水層厚度m相對較大假定Vx和Vz固定不變12/9/2024平面二維彌散方程解析解方程的解析解為：其中具體參見教材12/9/2024非保守物質(zhì)一維彌散方程解析解考慮污染物沉淀考慮污染物綜合吸附考慮頂?shù)装鍘r層吸附12/9/2024考慮污染物沉淀組分在沉降帶總的飽和濃度由遷移過程中參加沉淀和不參加沉淀的組分濃度組成。參加沉淀污染組分在一維流中的遷移可以表示為：12/9/2024考慮污染物沉淀假定u為常數(shù)，且D=0，則可得出方程的近似解當(dāng)溶解度大于4.8時：當(dāng)溶解度小于4.8時：沉淀組分的飽和濃度12/9/2024考慮污染物綜合吸附考慮巖層綜合吸附（機械過濾、物理化學(xué)吸附、化學(xué)吸附、生物吸附）作用時，組分在含水層中的遷移可以用吸附的彌散方程、動力方程等描述吸附速度常數(shù)均衡吸附條件下的分配系數(shù)12/9/2024考慮污染物綜合吸附當(dāng)不考慮彌散作用時（D=0），解析解為：12/9/2024考慮污染物綜合吸附當(dāng)考慮彌散作用時（D≠0），解析解為：當(dāng)當(dāng)12/9/2024考慮頂?shù)装鍘r層吸附污染水在含水層中運移時，不僅有含水層本身對污染物的吸附，而且還可以擴散到相鄰上下頂?shù)装鍖又小?2/9/2024考慮頂?shù)装鍘r層吸附其解析解參見教材P8812/9/2024在粗顆粒介質(zhì)中考慮不動水體對于細(xì)顆粒介質(zhì)（如粘土、土壤、土等）孔隙分布很不均勻，存在有更多的死端孔隙或不連通孔隙，使得地下水流動很滯緩，甚至不動，污染物質(zhì)的運移和混合主要由大孔隙控制，而小孔隙和死端孔中的地下水不參加整體流動。由于分子擴散作用與相連的流動水體間能夠進行物質(zhì)交換，當(dāng)盲孔中不動水體的溶質(zhì)濃度大于外界濃度時，盲孔中溶質(zhì)將通過分子擴散進入流動水體中，具有“源”的作用，反之，不動水體具有“匯”的作用。12/9/2024飽和水情況下：自70年代后期以來，國外學(xué)者對溶質(zhì)運移機制和不動水體影響機制進行了試驗研究。美國國家鹽改中心的Genuchten教授，在對流-彌散模型的基礎(chǔ)上，提出了考慮土壤中不動水體影響的動水-不動水體模型，溶質(zhì)被視為存在動水和不動水兩種孔隙中，而且還會在兩個區(qū)域間相互運移，同時進行了不動水體（或盲孔）和線性吸附的實驗研究。Smedt等研究發(fā)現(xiàn)不動水體區(qū)域的含水量與土壤總含水量成正比；溶質(zhì)質(zhì)量交換系數(shù)α與平均孔隙流速呈線性關(guān)系。12/9/2024基本方程

保守溶質(zhì)在土壤中的遷移轉(zhuǎn)化主要表現(xiàn)為：①對流遷移，溶質(zhì)隨水體遷移；②水動力彌散，包括分子擴散和水動力機械彌散。研究溶質(zhì)在土壤可動水體與不可動水體中的遷移，可用下述方程來描述

α為描述溶質(zhì)在流動區(qū)和不動水區(qū)土壤水之間遷移的傳遞系數(shù)，與平均孔隙流速呈線性關(guān)系。

12/9/2024在土柱實驗中，當(dāng)輸入水量穩(wěn)定時，土壤含水率θ在土柱內(nèi)變化很小，可設(shè)定θ為不隨時間變化的常數(shù)。根據(jù)Smedt等研究發(fā)現(xiàn)不動水體區(qū)域含水量與土壤總含水量成正比，可令，。又，代入基本方程可得到保守物質(zhì)在土柱中遷移的數(shù)學(xué)模型為：12/9/2024邊界條件和初始條件瞬時輸入情況下邊界條件：12/9/2024邊界條件和初始條件連續(xù)輸入情況下邊界條件：12/9/2024邊界條件和初始條件初始條件：當(dāng)溶質(zhì)為Br-時，；當(dāng)溶質(zhì)為Cl-時，，，其中Cf為土柱中Cl-的初始濃度。

12/9/2024模擬實驗實驗裝置：土柱管材為硬塑料，柱內(nèi)直徑為37cm，外直徑為40cm，柱高為150cm。土柱底部有出水口、反濾層（石英砂加上紡?fù)凉げ迹礊V層上分層填入試驗土壤，嚴(yán)格控制土壤的密實度、含水率等。土壤采用長江南京江心洲沉積性細(xì)砂土，級配比在0.005～0.5mm之間，有機質(zhì)含量較低，初期填土?xí)r體積含水率控制在30％，

12/9/2024模擬實驗土柱邊壁安裝間距分別為5cm、10cm、15cm、20cm、30cm和40cm的土壤測壓頭和取樣頭。輸入方式分為連續(xù)輸入和瞬時輸入，輸入時保持整個土柱斷面均勻。

土壤質(zhì)地干容重g/cm3比重孔隙率（％）機械組成（％）砂粒(0.5~0.02)粉粒(0.02~0.002)粘粒（<0.002）細(xì)砂1.452.2233.3355.336.68.112/9/2024模擬實驗開始用自來水進行淋濾，直至流出溶液中濃度穩(wěn)定，并確定土柱內(nèi)土壤溶液中Cl-的本底分布情況。試驗在兩座相同的土柱中同時進行，對KBr溶液來說，一座土柱進行瞬時輸入試驗，另一座進行連續(xù)輸入試驗。試驗配置的溶液濃度分別為：瞬時輸入KBr溶液中Br-濃度為40g/L，連續(xù)輸入KBr溶液中Br-濃度為7.52mg/L，NaCl溶液中的Cl-濃度為72mg/L。輸入時間分別為：瞬時輸入時間為5min（方案I）和15min（方案II），連續(xù)輸入時間為240min。12/9/2024模型參數(shù)求解

參數(shù)求解采用最優(yōu)化技術(shù)，使求出的一組參數(shù)代入方程后求解的計算結(jié)果與實驗結(jié)果之間的誤差E達(dá)到最小。即：先假設(shè)一組參數(shù)（αL、Dm、f和α）值代入方程的數(shù)值計算模式求得濃度值，其解記為，然后與實測值進行比較，以其平方差作為目標(biāo)函數(shù)：12/9/2024模型參數(shù)求解

根據(jù)瞬時輸入Br-溶液試驗結(jié)果，所求得的最優(yōu)參數(shù)見表。由表可知，土柱中Br-遷移的縱向彌散系數(shù)DL=80.19～80.22cm2/h，接近于常數(shù)。編號距進水端距離（cm）滲透流速vm（cm/h）αL（cm）Dm（cm2/h）fα(1/h)1#538.922.060.0180.9450.1722#1539.132.040.0180.9410.1653#3039.542.020.0180.9380.1624#5040.022.000.0180.9270.1545#8040.231.990.0180.9220.1536#12041.111.970.0180.9210.153出水口15041.131.950.0180.9070.158平均值40.012.000.0180.9290.16012/9/2024模型參數(shù)求解

同理，可求得連續(xù)輸入情況下各參數(shù)的優(yōu)化值分別為：vm=23cm/h，αL=1.89cm，f=0.910，α=0.154/h，縱向彌散系數(shù)DL=43.488cm2/h。12/9/2024瞬時輸入結(jié)果分析

12/9/2024連續(xù)輸入結(jié)果分析

12/9/2024結(jié)論分析

通過對Cl-和Br-的平均誤差分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)考慮土壤中不動水體時，在土柱z=30cm、z=80cm和z=150cm處計算值與實測值誤差分別為7％、10％和5％；當(dāng)忽略土壤中不動水體時，在土柱z=30cm、z=80cm和z=150cm處計算值與實測值誤差分別為14％、15％和9％。采用考慮不動水體的數(shù)學(xué)模型模擬土壤中溶質(zhì)運移是可行的，并且比忽略不動水體的計算結(jié)果更合理。

12/9/2024第三節(jié)參數(shù)確定參數(shù)的一般數(shù)值參數(shù)的實驗室研究12/9/2024參數(shù)的一般數(shù)值（1）分子擴散系數(shù)DM(一般值約為10-5cm2/s)黑土和灰化的亞粘土，DM＝0.3～0.4×10-5cm2/s石英砂土，DM＝0.3～0.7×10-5cm2/s高嶺土及蒙脫石土，DM＝0.5～0.8×10-5cm2/s冰磧土、黃土、粘土，DM＝0.05～0.1×10-5cm2/s（上述數(shù)值是擴散物質(zhì)在含有NaNO3、NaCl、KNO3等溶液時取得的。）12/9/2024參數(shù)的一般數(shù)值（2）彌散系數(shù)D據(jù)不同粗細(xì)砂土試驗，當(dāng)滲透速度變化在0.3~38m/d時，D值相應(yīng)為2×10-5~2×10-2cm2/s。12/9/2024參數(shù)的一般數(shù)值（2）彌散系數(shù)D在孔隙－裂隙及裂隙巖石中，污染物的彌散作用及彌散系數(shù)加大了。實驗室砂巖，D=4.2×10-2cm2/s；裂隙巖石塊狀模型實驗，當(dāng)V=16.5~66.4m/d時，D=2.4×10-2cm2/s12/9/2024參數(shù)的一般數(shù)值（3）分配系數(shù)β和吸附速度常數(shù)α據(jù)陽離子同位素Ca45、Sr89、Cs137滲透過砂的實驗結(jié)果表明，其吸附參數(shù)值為：β=0.007~0.57，吸附速度常數(shù)α=1~101/hour。合成橡膠工業(yè)廢水中經(jīng)常有鎳，是一種表面活性很強的物質(zhì)，用這種污水滲過沖積砂含水層時：β=7.1~18.2，吸附速度常數(shù)α=0.1~2.0/hour。12/9/2024參數(shù)的一般數(shù)值（4）彼克萊數(shù)Pe分子擴散和對流運移的相對比重可用Pe=V·L/DM的大小來判別(式中L表示含水層的尺寸，例如長度）。僅當(dāng)Pe<<1時，分子擴散才達(dá)到相對可觀的程度。一般Pe總是大于1，甚至滲透速度很小時，例如V=0.001cm/d，滲透途徑短(L=500m)，當(dāng)DM=10-5cm2/s時，Pe也達(dá)到50，即以對流占優(yōu)。12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（1）污水、地下水和巖石的混合試驗污水與地下水的相互作用污水與地下水和巖石的相互作用污水與巖石的相互作用

12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（1）污水、地下水和巖石的混合試驗

12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（2）彌散帶演化模擬試驗——圓球篩砂箱觀察：滲透分散機理；彌散體形狀；物質(zhì)運動方向；不透水邊壁的影響12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（2）彌散帶演化模擬試驗——滲流槽觀察：物質(zhì)彌散隨時間的變化規(guī)律；物質(zhì)彌散的空間分布規(guī)律。12/9/2024參數(shù)的實驗室確定12/9/2024參數(shù)的實驗室確定重力對彌散體的影響表現(xiàn)在指示劑和運載流的密度上。兩者密度接近——垂向兩者密度接近——水平指示劑密度過大——垂向12/9/2024平面二維彌散方程解析解12/9/2024平面二維彌散方程解析解12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（3）分子擴散系數(shù)Dm實驗裝置及過程試驗開始時粘土試樣和上下空隙都充滿水，然后指示劑大量地進入上部空隙1，放射性指示劑穿過粘土試樣2而進行擴散，可以進入試樣下部空隙3。12/9/2024參數(shù)的實驗室確定

Dm的計算上部空隙濃度不變，下部空隙濃度C不斷增加，當(dāng)t≤0.25L2n/Dm時，可表示為：其中：12/9/2024參數(shù)的實驗室確定

Dm的計算根據(jù)實驗成果用標(biāo)準(zhǔn)曲線法確定Dm，步驟:①對每個試樣來說是常數(shù)，λ是變數(shù)?？砂瓷鲜龉皆诘淖鴺?biāo)上繪出標(biāo)準(zhǔn)曲線，這里;

t為從開始實驗時算起的時間，t0為選擇的某個特定時間（例如在下部空隙開始測定濃度的時間）12/9/2024參數(shù)的實驗室確定

Dm的計算②根據(jù)實驗時在下部空隙測得的指示劑濃度C(τ)，在同一圖上繪出C(τ)～lnτ的曲線。12/9/2024參數(shù)的實驗室確定

Dm的計算③將實際曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線相重合，則水平軸lnF0和lnτ就要錯動lnA的值，它等于：12/9/2024參數(shù)的實驗室確定

Dm的計算④從圖上測量出lnA的值，并換算出A值，則：12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（4）彌散系數(shù)的測定實驗裝置和實驗過程

實驗裝置由兩部分組成：試樣圓筒I和供給液體的裝置II，它是在保持給定壓力H下供給水和指示劑溶液。液體自下而上運動。由取樣管采取不同距離的濃度。測定彌散系數(shù)時開始先用不含指示劑的普通水將試樣飽和，然后再加指示劑，并在不同斷面觀測濃度的變化。12/9/2024參數(shù)的實驗室確定12/9/2024參數(shù)的實驗室確定彌散系數(shù)的計算

根據(jù)實驗資料，在一維彌散解析解基礎(chǔ)上可以計算D。當(dāng)試樣長度超過15～20cm時，試樣中指示劑的濃度變化為：12/9/2024參數(shù)的實驗室確定彌散系數(shù)的計算

將實驗觀測結(jié)果繪制成圖，可取x<L的某些值或用終端斷面x=L的值，用不同方法計算D。12/9/2024彌散系數(shù)的計算末端曲線微分法求出曲線的微分，并繪制曲線，其中時間τ=Vt/(nL)，L為土柱長度，彌散系數(shù)可按下式計算：式中是這一點上的導(dǎo)數(shù)。因此計算D值僅需應(yīng)用末端曲線的附近的一段。12/9/2024彌散系數(shù)的計算用曲線上個別點的數(shù)值計算D值解析解相對于D可寫成下式：式中，因此按照上式計算D，只需在任一時刻t1測定濾出液中的濃度C1就足夠了，當(dāng)有一對實驗點的資料t1、C1及t2、C2時，消去x后：12/9/2024彌散系數(shù)的計算曲線直線化法解析解寫成下式：式中ξ與t呈直線關(guān)系，可根據(jù)實驗資料繪制ξ與t的直線圖系數(shù)。D由下式確定：12/9/2024彌散系數(shù)的計算曲線直線化法

12/9/2024有效孔隙度的計算及測定方法用與巖土不發(fā)生作用的指示劑進行滲透實驗，所得的末端曲線的資料可按下式計算巖土的孔隙度：式中V是滲透速度，l是巖土樣長度，t是滲出液中指示劑濃度為的時間。12/9/2024參數(shù)的實驗室確定（3）吸附參數(shù)分配系數(shù)β，表示平衡時，固相及液相中物質(zhì)分布狀態(tài)，即β=Cp/N，式中Cp為溶液中物質(zhì)的平衡濃度；N是固相吸收的物質(zhì)的相應(yīng)數(shù)量。吸附速度常數(shù)α12/9/2024吸附參數(shù)的測定

靜式實驗測定法：用一定的吸附劑或土樣與某組分初始濃度為C0的一定梯級的溶液相互作用，并測得其平衡濃度Cp?？筛鶕?jù)溶液中該組分減少的情況，計算土樣上吸附量N及吸附系數(shù)。用不同的初始濃度C