2023-2024學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.如圖，該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖正確的是（

主視圖左視圖

主視圖左視圖

rn

A.W?B,俯視圖

主視圖左視圖

主視圖左視圖

ri

C,俯視圖D.Wg

2.如圖，在中，ZACB=90°，BC=1,AB=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA=上^B.tanA=-lC.cosB=^-^.D.tanB=J^

222

3.小亮在上午8時、9時30分、10時、12時四次到室外的陽光下觀察向日葵的頭莖隨太

陽轉(zhuǎn)動的情況，無意之中，他發(fā)現(xiàn)這四個時刻向日葵影子的長度各不相同，那么影子最

長的時刻為（）

A.上午12時B.上午10時

C.上午9時30分D.上午8時

4.二次函數(shù)y=f+b尤-1的圖象與x軸的交點個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.無法判斷

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E（-4,2）,F（-2,-2）,以原點O為位似中心，相

似比為2：1,把縮小，則點E的對應(yīng)點E'的坐標(biāo)是（）

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(8,-4)

6.如圖，將矩形A8CQ折疊，使點C和點A重合，折痕為EF.若AF=5,BE=3,則EF

的長為()

C.2A/5D.375

7.如圖，將△ABC沿2C方向平移得到△￡）跖,AC與。E相交于點G.已知△ABC的面積

為18,EC=2BE,則△ABC與△。所重疊部分（即△CEG）的面積為（）

8.已知點A（xi,yi）,B（%2,>2）是反比例函數(shù)>=上（人力0）的圖象上的兩點，且當(dāng)xi

x

<x2<0時，yi<yi,則函數(shù)、=依2-左與>=-四（ZW0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖

象可能是（）

V

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.計算：2COS230°+tan45°=.

10.一個不透明的口袋中裝有若干個紅球，小明又放入10個黑球,這些球除顏色外都相同.將

口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)

這一過程后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則估計口袋中紅球的數(shù)量為

個.

11.如圖，正方形的中心在直角坐標(biāo)系的原點，正方形的邊與坐標(biāo)軸平行，點P(3a,a)

是正方形與反比例函數(shù)圖象的一個交點.已知圖中陰影部分的面積等于18,則這個反比

例函數(shù)的表達式為.

12.為慶祝嫦娥五號登月成功，某工藝廠生產(chǎn)了一款紀念品，每件的成本是50元，為了合

理定價，投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件,

而銷售單價每降低1元，每天就多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.則該工藝

廠將每件的銷售價定為元時，可使每天所獲銷售利潤最大.

13.如圖，在菱形ABC。中，AB=13cm,AC=24c〃z,E,尸分別是C￡＞和的中點，連

接EF并延長與的延長線相交于點G,則EG的長度為cm.

14.如圖，四邊形ABC。是矩形，延長D4到點E,使AE=ZM,連接仍，點乃是C。的

中點，連接所1,BF1,得到△￡/出點尸2是CQ的中點，連接EF2,BF2,得到△所2&

點尸3是CF2的中點，連接￡后，BF3,得到△EF3&…；按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去，若

矩形ABCD的面積等于2,則△EE山的面積為.（用含正整數(shù)n

的式子表示）

三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）已知：線段a.求作：正方形ABC。，使其對角線AC=a.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

16.（8分）（1）解方程：/=4-2x；

（2）求二次函數(shù)y=7-x-5的圖象與一次函數(shù)y=2x-1的圖象的交點坐標(biāo).

17.（6分）祖國至上、團結(jié)協(xié)作、頑強拼搏、永不言敗，女排精神代代流傳.中國女排一

路都在創(chuàng)造奇跡，書寫中國人的傳奇….2020年9月，電影《奪冠》正式上映后，好評

不斷，小亮和小麗都想去觀看這部電影，但是只有一張電影票，于是他們決定采用摸球

的辦法決定勝負，獲勝者去看電影，游戲規(guī)則如下：在一個不透明的袋子中裝有編號為1,

2,3的三個小球（除編號外都相同）.從中隨機摸出一個球，記下數(shù)字后放回，再從中摸

出一個球，記下數(shù)字，若兩次數(shù)字之和為奇數(shù)，則小亮勝，若兩次數(shù)字之和為偶數(shù)，則

小麗勝.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示摸球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

（2）這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由.

18.（6分）為改善村容村貌，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村計劃將一塊長18米、寬10米的矩形場

地建成綠化廣場.如圖，廣場內(nèi)部修建同樣寬的三條小路，其中一條路與廣場的長邊平

行，另兩條路與廣場的短邊平行，其余區(qū)域進行綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積

的80%,小路的寬應(yīng)為多少米？

19.（6分）為增強身體素質(zhì)，小明和爸爸繞著小區(qū)廣場鍛煉.如圖，在矩形廣場48C。邊

的中點M處有一座雕塑.在某一時刻，小明到達點P處，爸爸到達點。處，此時雕

塑在小明的南偏東42°方向，爸爸在小明的北偏東67°方向，若小明離開A點的距離

AP=30m,求小明與爸爸的距離尸。.（參考數(shù)據(jù)：sin67°七」2,cos67°-_3_,tan67°

1313

七衛(wèi),sin42°七互,cos42°^―,tan42°心且）

540410

20.（8分）如圖，一次函數(shù)>=-」孑+6的圖象與x軸，y軸分別交于A,8兩點，與反比例

-2

函數(shù)y=K（x<0）的圖象交于點C（-2,2）.

x

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；

（2）過點8作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點。，連接CZX求的面積.

21.（8分）如圖，在nABCD中，對角線AC與8。相交于點O,點、E,尸在BD上，且BE

=DF,連接AE并延長，交于點G,連接CF并延長，交于點

（1）求證：AE=CF；

（2）若AC平分NHAG,判斷四邊形AGCH的形狀，并證明你的結(jié)論.

22.（10分）為促進經(jīng)濟發(fā)展，方便居民出行.某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路

隧道.拋物線的最高點尸離路面的距離為6加，寬度OM為12〃葭

（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）一貨運汽車裝載某大型設(shè)備后高為4加，寬為35”.如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道（正

中間是一條寬1根的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？

（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”A8CD,使A,。點在拋物線上.B,

C點在地面線上（如圖2所示）.為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿A8,

AD,0c的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下.

在由mXn（機Xw>l）個小正方形（邊長為1）組成的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對角

線所穿過的小正方形個數(shù)與m,n有何關(guān)系？

【問題探究】

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，通過分類討論，先從最簡單的情形入手,

再逐次遞進，從中找出解決問題的方法.

探究一：

當(dāng)他，〃互質(zhì)（機，〃除1外無其他公因數(shù)）時，觀察圖1并完成下表：

2x13x1

5x2

圖1

矩形橫長m233545

矩形縱長W112233

矩形一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)/23466—

結(jié)論：當(dāng)機，〃互質(zhì)時，在mXw的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對角線所穿過的小正方形的

個數(shù)了與處"之間的關(guān)系式是.

探究二：

當(dāng)相，"不互質(zhì)時，不妨設(shè)m=ka,n=kb（a,b,左為正整數(shù)，且a,6互質(zhì)），觀察圖2

并完成下表：

4x26x2

filialIIIIaIII??

―—卜T-+TTLT-卜—++T

t????I*IIIIaIIIII

-I------I--------I--------I-------J--------1

6x410x4

圖2

a233523???

b112211???

k222233???

矩形一條對角線所穿過的小正方4686.??

形個數(shù)/

結(jié)論：當(dāng)機，〃不互質(zhì)時，若m=ka,n=kb（a,b,左為正整數(shù)，且a,6互質(zhì)）.在加

X”的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)/與a,6,左之間的關(guān)系

式是.

【模型應(yīng)用】

一個由邊長為1的小正方形組成的長為630,寬為490的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對角

線所穿過的小正方形個數(shù)是個.

【模型拓展】

如圖3,在一個由48個棱長為1的小正方體組成的長方體中，經(jīng)過頂點A,B的直線穿

過的小正方體的個數(shù)是個.

圖3

24.（12分）如圖，在矩形A3CD中，AB^6cm,BC=8cm,對角線AC,2。交于點O.動

點P從點B開始沿邊以2cMs的速度運動，動點。從點A開始沿邊以\cmls的

速度運動，過點。作QM交CD于點M,交BD于點N,點E,F分別是PQ,

與AC的交點.點尸和點。同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止

運動.設(shè)動點的運動時間為'解答下列問題：

（1）當(dāng)/為何值時，MP//BD?

（2）設(shè)△PQM的面積為SS?,寫出S與/的關(guān)系式；

（3）是否存在某一時刻，使AC將△產(chǎn)?〃分成尸和四邊形面積比為4：5?

若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由；

（4）是否存在某一時刻力使N尸平分/BMW?若存在，求出f的值；若不存在，請說明

理由.

2023-2024學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.如圖，該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖正確的是（）

主視圖左視圖

J"!

A.B.俯視圖

主視圖左視圖

主視圖左視圖

rn

U

C,俯視圖D.俯視圖

【分析】根據(jù)該幾何體的三視圖可逐一判斷.

【解答】解：根據(jù)三視圖的定義可知，該幾何體的三視圖為:

主視圖左視圖

故選：D.

2.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2,則下列結(jié)論正確的是（)

A.sinA=^-3.B.tanA=AC.cosB=^-5.D.tanB=y/2

222

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

［解答］解：：在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2.

;MC=VAB^BC2=V2^P=^3,

sinA=—tanA=—=-1==2^,CosB=-=-l,tanB=&=?.

AB2ACV33AB2BC

故選：D.

3.小亮在上午8時、9時30分、10時、12時四次到室外的陽光下觀察向日葵的頭莖隨太

陽轉(zhuǎn)動的情況，無意之中，他發(fā)現(xiàn)這四個時刻向日葵影子的長度各不相同，那么影子最

長的時刻為（）

A.上午12時B.上午10時

C.上午9時30分D.上午8時

【分析】根據(jù)從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，

再變長可知.

【解答】解：根據(jù)從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變

短，再變長.

可知影子最長的時刻為上午8時.

故選：D.

4.二次函數(shù)y=/+b尤-1的圖象與x軸的交點個數(shù)有()

A.0個B.1個C.2個D.無法判斷

【分析】二次函數(shù)y=cur+bx+c(a/0)與x軸交點的個數(shù)與b2-4ac有關(guān)，當(dāng)/-4ac

>0時，有兩交點；當(dāng)廿-4ac=0時，有一個交點；當(dāng)d-4團<0時，無交點.

【解答】解：由二次函數(shù)y=?+6x-1,

矢口a=―1,6=6,c=='-1,

：.b2-4ac^b2-4X1X(-1)=廬+4>0,

拋物線與無軸有兩個交點，

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，己知點E(-4,2),F(-2,-2),以原點。為位似中心，相

似比為2：1,把△￡改?縮小，則點E的對應(yīng)點￡'的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(8,-4)

【分析】由在直角坐標(biāo)系中，點E(-4,2),F(-2,-2),以。為位似中心，按2：

1的相似比把△EF?？s小為AE'F'O,利用位似圖形的性質(zhì)，即可求得點E的對應(yīng)點￡'

的坐標(biāo).

【解答】解：：點E(-4,2),以O(shè)為位似中心，按2：1的相似比把△斯(?縮小為△

E'F'O,

.?.點E的對應(yīng)點E'的坐標(biāo)為：(2,-1)或(-2,1).

故選：C.

6.如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EE若AP=5,BE=3,則跖

的長為()

Dr

【分析】過點尸作尸于〃，由翻折和平行線的性質(zhì)可證出NAEF=NAM,從而

AF=AE,勾股定理得AB=4,在中，利由勾股定理可求出跖的長度.

【解答】解：如圖，過點尸作尸于H,

??,將矩形A5CD折疊，使點。和點A重合,

:?CE=AE,ZCEF=ZAEF,

???四邊形A3CD是矩形，

J.AD//CD,

：.NAFE=NCEF,

：.ZAEF=NAFE,

：.AF=AE,

VAF=5,

：.AE=CE=5,EH=2,

在中，由勾股定理得：

BA=VAE2-EB2=752-32=1

VZBAF=ZB=ZFHB=90°,

???四邊形A5H廠是矩形，

：.AB=FH=4,

在中，由勾股定理得：

EF=VEH2+FH2=722+42=2V5,

故選：c.

7.如圖，將△ABC沿2C方向平移得到△￡）跖,AC與。E相交于點G.已知△ABC的面積

為18,EC=2BE,則△ABC與△￡>￡1〃重疊部分（即△（7或7）的面積為（）

A.6B.8C.9D.12

【分析】由平移可得GE〃AB,從而判定△CEGs^CBA,相似比為2,面積比為名,從

39

而由△ABC的面積可求ACEG的面積.

【解答】解：由平移可知，GE//AB,

故可得△CEGs△CBA,

??-E-C-~-2-,

BC3

.?△CEG=心）2=曳

SACBA39

又△ABC的面積為18,

SACEG=18XA=8.

9

故選：B.

8.已知點A（xi,yi）,B（%2,y2）是反比例函數(shù)y=K（%=0）的圖象上的兩點，且當(dāng)

<l2<0時，yi<y2,則函數(shù)了二日2-左與y=-K（ZWO）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖

A.B.

V

【分析】根據(jù)題意得出無VO,結(jié)合兩個函數(shù)的圖象及其性質(zhì)即可判斷.

【解答】解：：點A（xi,ji）,B（尤2,”）是反比例函數(shù)y=—（左WO）的圖象上的兩

x

點，且當(dāng)xi<x2<0時，yi<y2,

：.k<0,反比例函數(shù)y=K在二、四象限，

x

函數(shù)y=/-左的圖象開口向下，與y軸交點在原點上方，反比例函數(shù)y=-K在一、

x

三象限，O符合.

故選：D.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.計算：2COS230°+tan45°=—.

一2一

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入計算得出答案.

【解答】解：2cos230°+tan45°

=2X（返）2+]

2

=2X2+1

4

=3+1

2

=5

T

故答案為：

2

10.一個不透明的口袋中裝有若干個紅球，小明又放入10個黑球,這些球除顏色外都相同.將

口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)

這一過程后發(fā)現(xiàn),摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.4左右,則估計口袋中紅球的數(shù)量為15個.

【分析】設(shè)袋子中紅球有x個，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右列出關(guān)于x的方程，

求出尤的值，從而得出答案.

【解答】解：???不斷重復(fù)這一過程后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，

估計摸到黑球的概率為0.4,

設(shè)袋中紅球的個數(shù)為X,

根據(jù)題意，得：二^=0.4,

10+x

解得尤=15,

經(jīng)檢驗x=15是分式方程的解，

所以袋中紅球的個數(shù)約為15,

故答案為：15.

11.如圖，正方形的中心在直角坐標(biāo)系的原點，正方形的邊與坐標(biāo)軸平行，點P（3a,a）

是正方形與反比例函數(shù)圖象的一個交點.已知圖中陰影部分的面積等于18,則這個反比

例函數(shù)的表達式為_y工.

【分析】利用正方形的性質(zhì)得四邊形AE。尸為正方形，則由點P（3a,a）可得點A的坐

標(biāo)為（3a,3a）,根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱可得正方形AEOF的面積=陰

影部分的面積=36,貝U3a?3a=18,解得亞或a=-&（舍去），所以尸（3血，血）,

然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象的坐標(biāo)特征可求出k的值.

【解答】解：如圖，?.,正方形ABCD的中心在原點0,且AO〃x軸，

...四邊形AEOP為正方形，

?點P（3〃,a）,

???點A的坐標(biāo)為（3〃，3〃），

??,正方形AEO/的面積=陰影部分的面積=18,

3。?3。=18,

解得4=0或〃=-V2（舍去），

（3血，血），

.,.左=3X6.

.?.這個反比例函數(shù)的解析式為：y=旦,

X

12.為慶祝嫦娥五號登月成功，某工藝廠生產(chǎn)了一款紀念品，每件的成本是50元，為了合

理定價，投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，

而銷售單價每降低1元，每天就多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.則該工藝

廠將每件的銷售價定為80元時,可使每天所獲銷售利潤最大.

【分析】設(shè)銷售單價為x元時，每天的銷售利潤為y元，由題意得：y=-5?+800x-27500

=-5(x-80)2+4500,即可求解.

【解答】解：設(shè)銷售單價為尤元時，每天的銷售利潤為y元，

由題意得：y=(尤-50)[50+5(100-x)]=(%-50)(-5x+550)=-5?+800x-27500

=-5(x-80)2+4500,

-5<0,

拋物線開口向下，

,.”250,對稱軸是直線尤=80,

.,.當(dāng)x=80時，y最大值=4500(元)，

即銷售單價為80元時，每天的銷售利潤最大，

故答案為：80.

13.如圖，在菱形A8CQ中，AB=\3cm,AC=24cm,E,尸分別是CZ)和8c的中點，連

接EF并延長與AB的延長線相交于點G,則EG的長度為10cm-

【分析】連接對角線2。，交AC于點。，證四邊形BDEG是平行四邊形，得EG=BD,

利用勾股定理求出。。的長，BD=2OD,即可求出EG.

【解答】解：連接5。，交AC于點0,如圖:

DEC

ABG

,菱形ABC。的邊長為13cm,點￡、尸分別是邊CD、BC的中點，

：.AB//CD,AB=BC=CD=DA=13cm,EF//BD,

VAC>BD是菱形的對角線，AC=24CMJ,

：.AC±BD,AO=CO=12cm,OB=OD,

JL'：AB//CD,EF//BD,

J.DE//BG,BD//EG,

四邊形BDEG是平行四邊形，

：.BD=EG,

?"OB=0D=皿2_卜。2="169-144=5(cm),

80=20。=10(cm),

：.EG=BD=10(cm),

故答案為：10.

14.如圖，四邊形ABC。是矩形，延長ZM到點E,使AE=ZM,連接即，點乃是8的

中點，連接BF1,得到△EF1B；點或是CF1的中點，連接所2,BF1,得到△所2以

點P3是CE的中點，連接ER,BF3,得到△￡△&???；按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去，若

矩形ABC。的面積等于2,則△EAB的面積為_2&_.(用含正整數(shù)”的式子表示)

nn

D%尸2尸3J…

【分析】先求得△￡為￡?的面積為1,再根據(jù)等高的三角形面積比等于底邊的比可得△

￡為八的面積，用的面積，…，△EE-iE?的面積，以及△BCE,的面積，再根據(jù)

面積的和差關(guān)系即可求解.

【解答】解：：A￡=D4,點八是8的中點，矩形ABC。的面積等于2,

AEFiD和△EAB的面積都等于1,

:點/2是CF1的中點，

△所詬2的面積等于工

同理可得1后的面積為一二，

2n-1

,:ABCW的面積為2XL+2=」-,

，小EFnB的面積為2+1-1--1-------二--工=2-（1-工）=止11

22n-12n2n2n

故答案為：叫L.

三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）已知：線段a.求作：正方形ABC。，使其對角線AC=cz.

【分析】作AC=a,再作AC的垂直平分線/交AC于。，然后在直線/上截取02=

OD=OA,則四邊形ABC。為正方形.

【解答】解：如圖，正方形ABCD為所作.

4VO

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

16.（8分）（1）解方程：/=4-2x；

（2）求二次函數(shù)y=7-尤-5的圖象與一次函數(shù)y=2x-1的圖象的交點坐標(biāo).

【分析】（1）利用配方法求解即可;

（2）令x2-x-5=2%-1,解方程求得xi=-l,%2=4,然后分別代入y=2x-1求得yi

=-3,y?=7,從而得出兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo).

【解答】解：（1）?=4-2x,

7+2%=4,

/+2X+1=5,即G+1）2=5,

解得X[=-l+述，X2=-1-V5'

（2）解根據(jù)題意得：JC-x-5=2x-1,

解得：XI=-1,X2=4,

把無1=-1,%2=4別代入y=2r-1得yi=-3,y2=7,

...二次函數(shù)y=/-x-5的圖象與一次函數(shù)y=2尤-1的圖象的交點坐標(biāo)為（-1,-3）,

（4,7）.

17.（6分）祖國至上、團結(jié)協(xié)作、頑強拼搏、永不言敗，女排精神代代流傳.中國女排一

路都在創(chuàng)造奇跡，書寫中國人的傳奇….2020年9月，電影《奪冠》正式上映后，好評

不斷，小亮和小麗都想去觀看這部電影，但是只有一張電影票，于是他們決定采用摸球

的辦法決定勝負，獲勝者去看電影，游戲規(guī)則如下：在一個不透明的袋子中裝有編號為1.

2,3的三個小球（除編號外都相同）.從中隨機摸出一個球，記下數(shù)字后放回，再從中摸

出一個球，記下數(shù)字，若兩次數(shù)字之和為奇數(shù)，則小亮勝，若兩次數(shù)字之和為偶數(shù)，則

小麗勝.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示摸球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)題意列出圖表得出所有等可能的情況數(shù)即可；

（2）根據(jù)概率公式求出小亮和小麗分別獲勝的概率，再進行比較即可得出答案.

【解答】解：（1）根據(jù)題意列表如下；

和123

1234

2345

3456

由圖表知，共有9種等可能的情況數(shù).

（2）共有9種等可能的情況數(shù)，兩次數(shù)字之和為奇數(shù)的有4種情況，兩次數(shù)字之和為偶

數(shù)的有5種情況，

則p（小亮勝）=生P（小麗勝）=2

99

??415

?--2ZZ------,

9^9

，游戲?qū)﹄p方不公平.

18.（6分）為改善村容村貌，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村計劃將一塊長18米、寬10米的矩形場

地建成綠化廣場.如圖，廣場內(nèi)部修建同樣寬的三條小路，其中一條路與廣場的長邊平

行，另兩條路與廣場的短邊平行，其余區(qū)域進行綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積

的80%,小路的寬應(yīng)為多少米?

【分析】設(shè)小路的寬為x米，則綠化區(qū)域可合成長為（18-2x）米，寬為（10-尤）米的

矩形，根據(jù)綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的80%,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解

之取其符合題意的值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)小路的寬為無米，則綠化區(qū)域可合成長為（18-2尤）米，寬為（10-x）

米的矩形，

依題意得：（18-2x）（10-x）=18X10X80%,

整理得：X?-19無+18=0,

解得:無1=1,%2=18（不合題意，舍去）.

答：小路的寬為1米.

19.（6分）為增強身體素質(zhì)，小明和爸爸繞著小區(qū)廣場鍛煉.如圖，在矩形廣場ABC。邊

的中點M處有一座雕塑.在某一時刻，小明到達點尸處，爸爸到達點。處，此時雕

塑在小明的南偏東42°方向，爸爸在小明的北偏東67°方向，若小明離開A點的距離

AP=30加，求小明與爸爸的距離尸。.（參考數(shù)據(jù)：sin67°七￡,cos67°tan67°

1313

七絲，sin42°心紅，cos42°^―,tan42°）

540410

【分析】過點。作。于點E,先證四邊形ABQE是矩形，得QE=AB,再由銳角

三角函數(shù)定義求出AM^27,則?！?54,然后由銳角三角函數(shù)定義求出尸。的長即可.

【解答】解：過點。作。E_LA。于點E,如圖所示：

則NQEA=90°,

?.?四邊形ABC。是矩形，

ZA=ZB=90°,

四邊形ABQE是矩形，

C.QE=AB,

在RtZiAPM中，：tan42°=瞿，

AP

.?.AM=APXtan42°心30x2=27,

10

是的中點，

，AB=54,

：.QE=5A,

在RtAPQE中，：sin67°=--

：.PQ=QE。-獸58.5,

sin67

13

答:小明與爸爸的距離尸。約為58.5m.

20.（8分）如圖，一次函數(shù)y=-1+b的圖象與1軸，y軸分別交于A,B兩點,與反比例

2

函數(shù)y=K(x<0)的圖象交于點C(-2,2).

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；

(2)過點8作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點。，連接CD.求△BCD的面積.

【分析】(1)把C點坐標(biāo)分別代入丫=-1+b和y=K中求出鼠b,從而得到兩函數(shù)解

2x

析式；

(2)利用8、。的縱坐標(biāo)相同和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征確定。點坐標(biāo)，從而得

到BD的長，然后根據(jù)三角形面積公式求解.

【解答】解：⑴把C(-2,2)代入y=-L+b得1+6=2,解得6=1,

2

...一次函數(shù)解析式為>=-Ax+1；

2

把C(-2,2)代入y=K得左=-2X2=-4,

X

反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-4；

x

(2)無軸，

點的縱坐標(biāo)為1,

當(dāng)y=l時，-_￡=1,解得x=-4,則。(-4,1),

x

：.BD=O-(-4)=4,

.?.△BCZ)的面積=1X4X(2-1)=2.

2

21.(8分)如圖，在口42。1)中，對角線AC與80相交于點0,點、E,尸在3。上，且8E

=DF,連接AE并延長，交BC于點G,連接CF并延長，交于點"

(1)求證：AE=CF；

(2)若AC平分/HAG,判斷四邊形AGCH的形狀，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)根據(jù)四邊形ABC。是平行四邊形證明△AOEg^COR即可得結(jié)論；

(2)結(jié)合(1)證明四邊形AGCH是平行四邊形，再根據(jù)已知條件證明GA=GC,即可

得結(jié)論.

【解答】(1)證明：,??四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

；BE=DF,

：.OB-BE=OD-DF,

即OE=OF,

又：ZAOE=ZCOF,

：.(SAS),

：.AE=CF.

(2)四邊形AGCH是菱形.理由如下：

,/AAOE^ACOF,

/EAO=ZFCO,

：.AG//CH,

,/四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

...四邊形AGCH是平行四邊形，

"."AD//BC,

：.NHAC=ZACB,

：AC平分NHAG,

：.ZHAC^ZGAC,

'：ZGAC^ZACB,

；.GA=GC,

平行四邊形AGC”是菱形.

22.(10分)為促進經(jīng)濟發(fā)展，方便居民出行.某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路

隧道.拋物線的最高點P離路面0M的距離為6m,寬度為12m.

（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）一貨運汽車裝載某大型設(shè)備后高為4%，寬為3.5如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道（正

中間是一條寬的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？

（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”A8C。，使A,。點在拋物線上.B,

C點在地面線上（如圖2所示）.為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿A8,

AD,0c的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下.

【分析】（1）根據(jù)圖象的頂點坐標(biāo)先把函數(shù)解析書設(shè)為頂點式，再把原點坐標(biāo)代入解析

式求出a即可；

（2）根據(jù)隧道隧道是雙向車道，把尤=6-0.5-3.5代入（1）中解析式求出y的值與4

進行比較即可；

（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m,-L（x-6）2+6），從而求出。2，A3的長度，再根據(jù)二次

6

函數(shù)的對稱性求出CM,的長度，則A3,AD,OC的長度之和是關(guān)于根的二次函數(shù),

再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，頂點P的坐標(biāo)為（6,6）,

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-6）2+6,

把點O（0,0）代入得：36。+6=0,

解得：

6

即所求拋物線的解析式為：y=-l（x_6）2+6（0—W12）；

6

（2）根據(jù)題意，當(dāng)％=6-0.5-3.5=2時（或者當(dāng)％=6+0.5+3.5=10）時，

y=-r（2-6）2/

63

這輛貨車不能安全通過；

⑶設(shè)A點的坐標(biāo)為(m,-^-(m-6)2+6);

6

則。2=如AB=-^(m-6)2+6-

根據(jù)拋物線的對稱性可得CM=OB=m,

.,.BC=12-2m,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC=U-2m,CD=AB=-^(m-6)2+6，

0

二三根支桿AB,AD,DC的長度之和：l=12-2m-7-(m-6)2+6-7-(m-6)2+6=

66

1O1o

-77m+2m+12=-^-(in-3)+15，

當(dāng)初=3,即。8=3米時，三根支桿A2,AD,DC的長度之和的最大值為15.

23.(10分)【問題提出】

在由mXn(mX?>l)個小正方形(邊長為1)組成的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對角

線所穿過的小正方形個數(shù)與陸〃有何關(guān)系？

【問題探究】

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，通過分類討論，先從最簡單的情形入手,

再逐次遞進，從中找出解決問題的方法.

探究一：

當(dāng)根，w互質(zhì)(相，"除1外無其他公因數(shù))時，觀察圖1并完成下表：

3x25x2

圖1

矩形橫長m233545

矩形縱長〃112233

矩形一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)/234667

結(jié)論：當(dāng)機，〃互質(zhì)時，在機義”的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對角線所穿過的小正方形的

個數(shù)/與相，及之間的關(guān)系式是f=m+n-1.

探究二：

當(dāng)機，〃不互質(zhì)時，不妨設(shè)m=ka,n=kb(a,b,左為正整數(shù)，且。,6互質(zhì))，觀察圖2

并完成下表：

■lit,III

■ill'iii

4x26x2

-------■-----1-----1----1-----1---,?1111111iT-R

????a?1111111iii

iiiiii1111111iii

■iiiii1111111iii

*■-1111li:""I11II1111i

iiii■i?????a?iii

d-FT-卜+??+TT

iiiiiiiiiiiaiiii

L.j-.u-j-.u.j.-i............................................

6x410x4

圖2

a233523…

b112211???

k222233…

矩形一條對角線所穿過的小正方4681269...

形個數(shù)/

結(jié)論：當(dāng)相，力不互質(zhì)時，若m=ka,n—kb(a,b,左為正整數(shù)，且a,b互質(zhì)).在m

X”的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)/與,,b,左之間的關(guān)系

式是f=k(a+b-1).

【模型應(yīng)用】

一個由邊長為1的小正方形組成的長為630,寬為490的矩形網(wǎng)格中,該矩形的一條對角

線所穿過的小正方形個數(shù)是1050個.

【模型拓展】

如圖3,在一個由48個棱長為1的小正方體組成的長方體中，經(jīng)過頂點A,B的直線穿

過的小正方體的個數(shù)是6個.

圖3

【分析】探究一：通過觀察即可得出當(dāng)機、w互質(zhì)時，在機義〃的矩形網(wǎng)格中，一條對角

線所穿過的小正方形的個數(shù)/與相、〃的關(guān)系式；

探究二：當(dāng)機、〃不互質(zhì)時，根據(jù)。、b、4的值求出機、”的值，計算/的值，即可得到

規(guī)律；

【模型應(yīng)用】利用630與490求出a、b、左的值，計算/的值，即可得到規(guī)律；

【模型拓展】如圖，連接長方體上下兩個底面的對角線，得到矩形ACBD,利用勾股定

理求出AC=^AE24<：E2=4