2023-2024學年蘇科版數(shù)學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習

專題5.3走進圖形世界（章節(jié)復習+考點講練）

E思維導圖知識索引

常見的

幾何體正方體的表面展開圖

幾何體的棱柱的表面展開圖

展開與折疊展開了圓柱的表面展開圖

\圓錐的表面展開圖

折疊將平面展開圖折疊成立體圖形

從正面看反映幾何體的長和高主視圖

從不同方向

從左面看映幾何體的寬和高左視圖

看物體的形狀G

從上面看幾何體的長和寬俯視圖

知識模塊精講講練

知識點01：立體圖形

1.定義：

圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體、圓柱、圓錐、球等.棱柱、

棱錐也是常見的立體圖形.

知識要點：

常見的立體圖形有兩種分類方法:

「球

圓柱

柱體

①按形狀分類：立體圖形.I棱柱

錐體［,圓錐

I,棱錐

f圓臺

臺體I棱臺

②按構(gòu)成分類：立體I多面體（由平面圍成的立體圖形）

圖形1旋轉(zhuǎn)體（繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周）

2.棱柱的相關(guān)概念：

在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱.通常根據(jù)底面圖形的邊數(shù)

將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、

六邊形……（如下圖）

底面頂點

三棱柱四梭柱五梭柱六梭柱

知識要點：（1）棱柱所有側(cè)棱長都相等.棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是平行四邊形.

（2）長方體、正方體都是四棱柱.

（3）棱柱可分為直棱柱和斜棱柱.直棱柱的側(cè)面是長方形，斜棱柱的側(cè)面是平行四邊形.

3.點、線、面、體：

長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體也簡稱體；包圍著體的是面，面

有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成

點.從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關(guān)系.此外，從運動的觀點看：點動成線，線動

成面，面動成體.

知識點02：展開與折疊

有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖

形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖.

知識要點：（1）不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形.例如，球便不能展成平面圖形.

（2）不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不

同的平面圖.

知識點03：截一個幾何體

用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面.截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊

形或圓等等.

知識點04：從三個方向看物體的形狀

一般是從以下三個方向：（1）從正面看；（2）從左面看；（3）從上面看.（如下圖）

從上面看

從左面科

BJ

從正面喬從左時若從上面看

從正面看

■考點01：認識立體圖形

【典型例題】（2023?青龍縣模擬）如圖所示，陀螺是由下面哪兩個幾何體組合而成的（）

A.長方體和圓錐B.長方形和三角形

C.圓和三角形D.圓柱和圓錐

【思路點撥】根據(jù)立體圖形的概念和定義對圖進行分析知：該圖上部分是圓柱，下部分是圓錐.

【規(guī)范解答】解：由組成幾何體的特征知，上面是圓柱，下面是圓錐.

故選：D.

【考點再現(xiàn)】本題考查的圓柱和圓錐的定義，關(guān)鍵點在于理解圓柱和圓錐的特征.

【變式訓練1T】（2021秋?高新區(qū)期末）如圖，將一張正方形紙片的4個角剪去4個大小一樣的小正方形,

然后折起來就可以制成一個無蓋的長方體紙盒，設(shè)這個正方形紙片的邊長為a,這個無蓋的長方體盒子

高為h.

（1）若a=18as,h=4cm,則這個無蓋長方體盒子的底面面積為100cnh

（2）用含a和人的代數(shù)式表示這個無蓋長方體盒子的容積P=h（a-2h）2c岸;

（3）若a=18on,試探究：當力越大，無蓋長方體盒子的容積/就越大嗎？請舉例說明；當力是正整數(shù)

時，這個無蓋長方體盒子的最大容積是432cnf.

【思路點撥】(1)根據(jù)題目的已知可得，無蓋長方體盒子的底面是一個邊長為(18-2X4)的正方形，

然后進行計算即可；

(2)根據(jù)長方體的體積公式進行計算即可；

(3)利用(2)的結(jié)論進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解:由題意可得：

(18-2X4)X(18-2X4)

=10X10

=100(平方厘米)，

這個無蓋長方體盒子的底面面積為100c格

故答案為：100；

(2)由題意可得：

這個無蓋長方體盒子的容積V=h(a-2力)2cn?,

故答案為人(a-2A)2；

(3)若a=18cm,當人越大，無蓋長方體盒子的容積「不一定就越大，

當h=3時，這個無蓋長方體盒子的最大容積是：

r=3X(18-2X3)=432(立方厘米)，

故答案為：當為越大，無蓋長方體盒子的容積/不一定就越大，432.

【考點再現(xiàn)】本題考查了認識立體圖形，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，熟練掌握長方體的體積公式是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓練1-2](2023?京口區(qū)校級一模)一只小螞蟻從如圖所示的正方體的頂點/沿著棱爬向有蜜糖的點

B,它只能經(jīng)過三條棱，請你數(shù)一數(shù)，小螞蟻有種爬行路線.

【思路點撥】根據(jù)正方體的特點，依次找到由頂點4沿著棱爬向H只能經(jīng)過三條棱的路線即可.

【規(guī)范解答】解：如圖所示：

走法有：@A-C-D-B-,?A-C-H-B-,?A-E-F-B-,?A-E-D-B；?A-G-F-B-,-G-H-

B.

共有6種走法.

故答案為：6.

【考點再現(xiàn)】此題主要考查了立體圖形的認識，通過正方體考查了路線問題，注意按順序依次尋找，不

要遺漏和重復.

【變式訓練「3】（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，把一張長方形紙板裁去兩個邊長為3面的小正方形和

兩個全等的小長方形，再把剩余部分（陰影部分）四周折起，恰好做成一個有底有蓋的長方體紙盒，紙

盒底面長方形的長為3廢加寬為2kan,貝！|：

（1）裁去的每個小長方形面積為（6A+9）cnf.（用4的代數(shù)式表示）

（2）若長方體紙盒的表面積是底面積的正整數(shù)倍，則正整數(shù)4的值為1或5.

【思路點撥】（1）求出小長方形的長與寬，可得結(jié)論.

（2）由長方體紙盒的表面積是底面積的正整數(shù)倍，推出側(cè)面4個長方形的面積和是底面積的整數(shù)倍，延

長構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：⑴由題意，小長方形的長為（3+2A）cm,寬為3腐，

.??裁去的每個小長方形面積為（6A+9）（c元）,

故答案為：（6A+9）；

（2）由題意得：

124+184=4?6於（〃為正整數(shù)），

可得77K=5,

/?n=1,A=5或〃=5,k=l,

/.k=1或5,

故答案為：1或5.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查了列代數(shù)式，認識立體圖形等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，

屬于中考?？碱}型.

信考點02：點、線、面、體

【典型例題】（2018秋?吳中區(qū)期末）圓柱是由長方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的，那么下

列四個選項繞直線旋轉(zhuǎn)一周可以得到如圖立體圖形的是（）

A.；B.C.：D.

【思路點撥】如圖本題是一個平面圖形圍繞一條邊為中心對稱軸旋轉(zhuǎn)一周根據(jù)面動成體的原理即可解.

【規(guī)范解答】解：由長方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周可得到圓柱體，如圖立體圖形是兩個圓柱的

組合體，

則需要兩個一邊對齊的長方形，繞對齊邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周即可得到，

故選：A.

【考點再現(xiàn)】本題考查面動成體，需注意可把較復雜的體分解來進行分析.

【變式訓練2-1】（2022秋?濱?？h月考）如圖，下面的幾何體是由圖②（填寫序號）的平面圖形繞直

線，旋轉(zhuǎn)一周得到的.

①②③④

【思路點撥】根據(jù)面動成體，所得圖形是兩個圓錐體的復合體確定答案即可.

【規(guī)范解答】解：由圖可知，只有圖②繞直線/旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示立體圖形.

故答案為：②.

【考點再現(xiàn)】本題考查了點、線、面、體，熟悉常見圖形的旋轉(zhuǎn)得到立體圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練2-2】（2022秋?常州期末）如圖，長方形的相鄰兩邊的長分別為x、y,將它分別繞相鄰兩邊旋

轉(zhuǎn)一周.

（1）兩次旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體都是圓柱；

（2）若x+y=a（a是常數(shù)），分別記繞長度為x、y的邊旋轉(zhuǎn)一周的幾何體的體積為匕、匕,其中X、匕、

（的部分取值如表所示：

X123456789

匕m

匕96兀n

①通過表格中的數(shù)據(jù)計算：a=10,m=128Ji,n=144n:

②當x逐漸增大時，右的變化情況：先增大，后減?。?/p>

③當x變化時，請直接寫出匕與修的大小關(guān)系.

【思路點撥】（1）根據(jù)圓柱的定義可知，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓柱;

（2）圓柱的體積=底面積X高，解答即可;

【規(guī)范解答］解(1)根據(jù)圓柱的定義可知，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓柱.

故答案為：圓柱；

(2)圓柱的體積=底面積X高，

①當x=4時，V=Jt^y=96it,解得y=6,此時x+y=10,所以a=10；

當x=2時，尸10-2=8,匕=nn><8X8X2=128n=必：

當x=6時，y=10-6=4,V=n^-y=JtX6X6X4=144Jt=7?；

故答案為：10,128n,144五；

@V=-sij^y=Jty(10-￡),

當x逐漸增大時，廠的變化為：先增大，后減小.

故答案為：先增大，后減??；

③/=JTyy=itx2(10-x),V=JTy2x=it(10-^)2x,

當12/時，/(10-x)(10-2x,解得xN5,

當4c彳時，mx(10-x)<n(lO-xLx,解得0cx<5,

綜上所述，時，匕2/,；0<x<5時，Vy<Vx.

【考點再現(xiàn)】本題考查了點、線、面、體，掌握圓柱的體積=底面積X高是解題的關(guān)鍵.

修考點03：幾何體的表面積

【典型例題】(2020秋?無錫期末)如圖是一個長方體儲水箱和一個長方體水池的側(cè)面示意圖(厚度忽略

不計)，儲水箱中水深12血，把一高度為14血的長方體石柱放置于水池中央后水池中水深2成.現(xiàn)將儲

水箱中的水勻速注入水池.注水4加力時水池水面與石柱上底面持平；繼續(xù)注水2?/〃后，儲水箱中的水

全部注入水池，此時水池中水深19血.根據(jù)上述信息，解答下列問題：

(1)注水多長時間時，儲水箱和水池中的水的深度相同？

(2)若水池底面積為42血^求石柱的底面積；

(3)若石柱的體積為168血1,請直接寫出注水前儲水箱中水的體積.

【思路點撥】(1)先根據(jù)題意求出儲水箱出水速度和水池注水速度，再設(shè)5加時深度相同，列方程求解

即可；

(2)設(shè)石柱底面積S=ao^,依據(jù)儲水箱出水速度相同列方程求解；

(3)先求得石柱的底面積，再通過列方程求出水池底面積，最后列方程求注水前儲水箱中水的體積.

【規(guī)范解答】(1)儲水箱出水速度：12+6=2(dm/min),水池注水速度：(14-2)4-4=3dm/min},

設(shè)物力?時深度相同，貝！|：

12-21—2+31,

解得：t=2,

答：注水2加力時，儲水箱和水池中的水的深度相同.

(2)設(shè)石柱底面積S=adnf,

貝U：(14-2)X(42-a)=2X(19-14)X42,

解得:a—7,

故石柱的底面積為7dnh

(3)?石柱的體積為\68dnh

石柱的底面積為:1684-14=12(血),

依題意，得：

(19-14AS水池+(6-4)=(14-2XS水池-12)4-4,

解得：S水池=72(血9,

12+6X4XS儲水箱=(72-12)X(14-2),

解得：S儲水箱=90(物0,

二注水前儲水箱中水的體積-=S儲水箱?方=90X12=1080(血0.

【考點再現(xiàn)】本題考查了柱體的底面積、體積計算公式，一元一次方程的應(yīng)用等，題目比較簡單，解題

時一定要認真審題，理解題意，找準等量關(guān)系，建立方程求解.

【變式訓練3-1】(2022秋?興化市校級期末)如圖，由27個相同的小正方體拼成一個大正方體，從中取出

一塊小正方體，剩下的圖形表面積最大的取法為()

A.取走①號B.取走②號C.取走③號D.取走④號

【思路點撥】弄清取出小正方體后，其剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積的關(guān)系即可.

【規(guī)范解答】解：取走①號或③號剩下的圖形表面積不變，取走②號剩下的圖形表面積增大兩個小正方

體的面，取走④號剩下的圖形表面積增大4個小正方體的面，

故選：D.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是挖去的正方體中相對的面的面積都相等.

【變式訓練3-2】(2019秋?揚州期末)由5個棱長為1的小正方體組成的幾何體如圖放置，一面著地，兩

面靠墻，如果要將露出來的部分涂色，則涂色部分的面積為11.

【思路點撥】由涂色部分面積是從上、前、右三個方向所涂面積相加，據(jù)此可得.

【規(guī)范解答】解由圖可知涂色部分是從上、前、右三個方向所涂面積相加，即涂色部分面積為4+4+3=

11,

故答案為：11.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查幾何體的表面積，解題的關(guān)鍵是掌握涂色部分是從上、前、右三個方向所涂

面積相加的結(jié)果.

【變式訓練3-3】(2019秋?吁胎縣期末)如圖，在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為10防的小正

方體堆成一個幾何體.

(1)這個幾何體由10個小正方體組成.

(2)如果在這個幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有1個正方體只有一個面是

黃色，有」個正方體只有兩個面是黃色，有個正方體只有三個面是黃色.

(3)這個幾何體噴漆的面積為3200cnf.

【思路點撥】(1)根據(jù)幾何體的形狀，可得左列三排，第一排一層，第二排兩層，后排三層，中間列兩

排，每排一層，右列一排，共一層，可得答案；

(2)根據(jù)幾何體的形狀，可得小正方體露出表面的個數(shù)；

(3)根據(jù)露出的小正方體的面數(shù)，可得幾何體的表面積.

【規(guī)范解答】解：⑴這個幾何體由10個小正方體組成.

(2)如果在這個幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有1個正方體只有一個面是黃色,

有2個正方體只有兩個面是黃色，有3個正方體只有三個面是黃色.

(3)露出表面的面一共有32個，則這個幾何體噴漆的面積為32009,

故答案為：10；1,2,3；3200.

【考點再現(xiàn)】本題考查了幾何體的表面積，小正方體露出面的面積和，露出4個面的有兩個正方形，露

出5個面的有兩個正方形.

號考點04：認識平面圖形

【典型例題】(2022秋?張家港市期中)如圖所示，連接邊長為1的正方形各邊的中點，連接正方形的對

角線，則圖中共有三角形()

G

A.16個B.32個C.22個D.44個

【思路點撥】先計算最小的三角形的個數(shù)，然后計算兩個三角形組成的三角形的個數(shù)，再計算四個三角

形組成的三角形的個數(shù)，再計算八個三角形組成的三角形的個數(shù)，從而可得出答案.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖形得：最小的三角形有4義4=16個；

兩個三角形組成的三角形有4X4=16；

四個三角形組成的三角形有：8個；

八個三角形組成的三角形有：4個.

，共有16+16+8+4=44個.

故選：D.

【考點再現(xiàn)】本題考查圖形數(shù)量的確定，難度不大，按一定的順序，按一定的方向查找.

【變式訓練4-1】（2013秋?泰興市校級期中）定義：兩個直角三角形，若一個三角形的兩條直角邊分別與

另一個三角形的兩條直角邊相等，我們就說這兩個直角三角形是“同胞直角三角形”.如圖，在邊長為

10的正方形中有兩個直角三角形，當直角三角形①和直角三角形②是同胞直角三角形時，a的值是」

【思路點撥】根據(jù)“同胞直角三角形”的定義結(jié)合圖形可直接得到答案.

【規(guī)范解答】解：由''同胞直角三角形”的定義可得：當a=6時，6=4,c=4符合題意;

當a=5時，6=5,c=6,符合題意，

故a=5或6,

故答案為：5或6.

【考點再現(xiàn)】此題主要考查了認識平面圖形，關(guān)鍵是正確理解題意.

1【變式訓練4-2】（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，半徑為1個單位長度的圓片上有一點0與數(shù)軸上的原

點重合（提示：圓的周長C=2mr,m取3.14）

o

(1)把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點。到達數(shù)軸上點/的位置，點/表示的數(shù)是-6.28；

(2)圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記

錄如下：2,-1,-5,4,3,-2.

①第幾次滾動后，0點距離原點最近？第幾次滾動后，0點距離原點最遠？

②當圓片結(jié)束運動時，0點運動的路程共有多少？此時點0所表示的數(shù)是多少？

【思路點撥】(1)利用圓的半徑以及滾動周數(shù)即可，得出滾動距離；

(2)①利用滾動的方向以及滾動的周數(shù)即可，得出0點移動距離變化：

②利用絕對值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運算得出移動距離和0表示的數(shù)即可.

【規(guī)范解答】解：(1)：2nr=2X3.14X1=6.28,

...點/表示的數(shù)是-6.28,

故答案為：-6.28；

(2)?V+2-1-5+4=0,

.??第4次滾動后，0點距離原點最近；

(+2)+(-1)+(-5)=-4,

.?.第3次滾動后，0點距離原點最遠；

②；|+2|+|-1|+|-5|+|+4|+|+3|+|-2|=17,

A17X2nXl=106.76,

當圓片結(jié)束運動時，。點運動的路程共有106.76,

V2-1-5+4+3-2=1,

.1.1X271X1^6.28,

...此時點0所表示的數(shù)是6.28.

【考點再現(xiàn)】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及絕對值得性質(zhì)和圓的周長公式應(yīng)用，利用數(shù)軸得出對應(yīng)數(shù)

是解題關(guān)鍵.

考點05；幾何體的展開圖

【典型例題】（2021秋?興化市月考）如圖所示是一個幾何體的表面展開圖.

（1）該幾何體的名稱是圓柱，其底面半徑為1.

（2）根據(jù)圖中所給信息，求該幾何體的側(cè)面積和體積.（結(jié)果保留”）

【思路點撥】（1）依據(jù)展開圖中有長方形和兩個全等的圓，即可得出結(jié)論；

（2）依據(jù)圓柱的側(cè)面積和體積計算公式，即可得到該幾何體的側(cè)面積和體積.

【規(guī)范解答】解：（1）該幾何體的名稱是圓柱，其底面半徑為1,

故答案為：圓柱；1;

（2）該幾何體的側(cè)面積為：2nxi義3=6五；

該幾何體的體積=nX12X3=3Ji.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查了幾何體的展開圖，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，

通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.

【變式訓練5-1】（2022秋?濱海縣月考）如圖是正方體的一種展開圖，表面上的語句為北京2022年冬奧會

和冬殘奧會的主題口號“一起向未來！”，那么在正方體的表面與“！”相對的漢字是一.

起向未來

【思路點撥】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【規(guī)范解答】解：對于正方體的平面展開圖中相對的面一定相隔一個小正方形，由圖形可知，與“！”字

相對的字是“一

故答案為：一.

【考點再現(xiàn)】本題考查生活中的立體圖形與平面圖形，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及

解答問題.

【變式訓練5-2】（2023?鹽都區(qū)一模）如圖是一個幾何體的表面展開圖，這個幾何體是（）

【思路點撥】根據(jù)幾何體的表面展開圖可以判斷這個幾何體是三棱柱.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)幾何體的展開圖可知：

這個幾何體是：.

故選：C.

【考點再現(xiàn)】本題考查了幾何體的展開圖，多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的.沿著棱剪開就得到平面

圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖.同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展

開圖是不一樣的，同時也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形.

【變式訓練5-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖是一個幾何體的側(cè)面展開圖，則該幾何體是（）

A.三棱柱B.三棱錐C.五棱柱D.五棱錐

【思路點撥】根據(jù)幾何體的側(cè)面展開圖可知該幾何體為五棱錐，所以它的底面是五邊形.

【規(guī)范解答】解：由題意可知，該幾何體為五棱錐，所以它的底面是五邊形.

故選：D.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查了幾何體的展開圖，熟練掌握棱錐的展開圖是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓練5-4】.(2017秋?連云區(qū)期末)小明在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能

展開成平面圖形.于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成

了兩部分，即圖中的①和②.根據(jù)你所學的知識，回答下列問題：

①

(1)小明總共剪開了8條棱.

(2)現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒,

你認為他應(yīng)該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全.

(3)小明說他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍.現(xiàn)在已知這個長方體紙盒的底

面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880M,求這個長方體紙盒的體積.

【思路點撥】(1)根據(jù)平面圖形得出剪開棱的條數(shù)，

(2)根據(jù)長方體的展開圖的情況可知有四種情況，

(3)設(shè)最短的棱長高為ac外則長與寬相等為5ac〃，根據(jù)棱長的和是880腐，列出方程可求出長寬高,

即可求出長方體紙盒的體積.

【規(guī)范解答】解(1)小明共剪了8條棱，

故答案為：8.

(2)如圖，四種情況.

①②

③④

（3）???長方體紙盒的底面是一個正方形，

，設(shè)最短的棱長高為acm,則長與寬相等為3acm,

:長方體紙盒所有棱長的和是880on,

/.4（抖5a+5a）=880,解得a=20。勿，

這個長方體紙盒的體積為：20X100X100=200000立方厘米.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查了幾何展開圖，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形

與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.

?考點06：展開圖折疊成幾何體

【典型例題】（2016秋?泰興市期末）將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一

個正方體，下列編號為1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是J（填編號）.

【思路點撥】根據(jù)正方體的展開圖中每個面都有唯一的一個對面進行判斷，可得答案.

【規(guī)范解答】解：由圖可得，3的唯一對面是5,而4的對面是2或6,7的對面是1或2,

所以將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一個正方體，編號為1、2、3、6的

小正方形中不能剪去的是3,

故答案為：3.

【考點再現(xiàn)】本題考查了展開圖折疊成幾何體，利用正方體的展開圖中每個面都有唯一的一個對面是解

題關(guān)鍵.

【變式訓練6-1】（2022秋?蘇州期末）將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一

個正方體，則下列序號中不應(yīng)剪去的是（）

B.2C.6D.1

【思路點撥】正方體有6個面組成，每一個頂點出有3個面，有4個面的地方，必須剪去一個，如果剪

去3,1、2、5、6出有4個面，無法折.

【規(guī)范解答】解：正方體有6個面組成，每一個頂點出有3個面，

；.1、2、6必須剪去一個,

故選：A.

【考點再現(xiàn)】本題考查的是展開圖折疊成幾何體，解題的關(guān)鍵是了解正方體的特征.

【變式訓練6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）小明用如圖所示的紙板折成了一個正方體的盒子，里面裝了

一瓶墨水，與其他三個空盒子混放在一起，觀察四個選項，可知墨水瓶所在的盒子是（）

O

陰影三角形的兩個直角頂點重合在一起，并且與含有“O”面的四個頂點重合的點為aD、E、F、G,

點4點方不能與含有面的頂點重合，

因此，只有6是正確的,

故選：B.

B

【考點再現(xiàn)】本題考查正方體的展開與折疊，理解和掌握展開、折疊前后的面、頂點之間的關(guān)系是正確

判斷的關(guān)鍵.

【變式訓練6-3】（2022秋?太倉市期末）某數(shù)學興趣小組開展了“制作一個盡可能大的無蓋長方體紙盒”

的實踐活動，他們利用邊長為a厘米的正方形紙板制作出一個無蓋的長方體紙盒（紙板厚度及接縫處忽

略不計）.具體方法如下：如圖，先在紙板四角剪去四個同樣大小的小正方形，再沿虛線折合起來，這樣

可制作一個無蓋的長方體紙盒.設(shè)底面邊長為x（x<a）厘米.

（1）這個紙盒的底面積是A2平方厘米，高是三三厘米（用含a,x的代數(shù)式表示）.

—2―

（2）x的部分取值及相應(yīng)的紙盒容積如表所示:

X/厘米2468

紙盒容積/立方m48nP

厘米

①請通過表格中的數(shù)據(jù)，分別計算如n,0的值；（請詳細寫出求解過程）

②請在該紙板上調(diào)整剪去小正方形的尺寸，重新制作一個無蓋長方體紙盒，使得新紙盒的容積大于表格

中的四個容積值，則了=7厘米.（寫出一個符合題意的結(jié)果即可）

【思路點撥】（1）根據(jù)正方形的面積公式求解；

（2）①先根據(jù)x=4,-48求出a的值，再計算以、n、0的值;

③根據(jù)①表中的數(shù)據(jù)的增減性求解.

【規(guī)范解答】解：（1）這個紙盒的底面積是^平方厘米，高是旦w厘米，

2

故答案為：京三三；

2

（1）①?.?16義江9=48,

2

.mo,

???勿=4X4=16,

77=36X2=72,

夕=64義1=64；

②當矛=7時，勺49X1.5=73.5,

故答案為：7.

【考點再現(xiàn)】本題考查了展開圖折疊成幾何體，掌握有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵.

魚2考點07：專題：正方體相對兩個面上的文字

【典型例題】（2021秋?淮陰區(qū)期末）有一個正方體骰子，放在桌面上，將骰子沿如圖所示的順時針方向

【思路點撥】先找出正方體相對的面，然后從數(shù)字找規(guī)律即可解答.

【規(guī)范解答】解：由圖可知：

3和4相對，2和5相對，1和6相對，

將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°算一次，骰子朝下一面的點數(shù)依次為2,3,5,4,且

依次循環(huán)，

V20224-4=505.....2,

滾動第2022次后，骰子朝下一面的點數(shù)是：3,

故選：B.

【考點再現(xiàn)】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，先找出正方體相對的面，然后從數(shù)字找規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

【變式訓練7-1】（2022秋?亭湖區(qū)期末）一個正方體的表面展開圖如圖所示，六個面上各有一字，連起來

的意思是“沉著冷靜應(yīng)考”，把它折成正方體后，與“靜”相對的字是著

1冷靜應(yīng)

考

【思路點撥】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可.

【規(guī)范解答】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知,

“靜”與“著”是對面,

故答案為：著.

【考點再現(xiàn)】本題考查正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的特征是正確判斷的關(guān)鍵.

【變式訓練7-2】（2022秋?興化市期末）如圖1,邊長為的正方形硬紙板的4個角上剪去相同的小正方

形，這樣可制作一個無蓋的長方體紙盒，設(shè)底面邊長為

x的代數(shù)式表示）.

（2）若將正方形硬紙板按圖2方式裁剪，亦可制作一個無蓋的長方體紙盒.

①若為該紙盒制作一長方形蓋子，則該長方形的兩邊長分別是rcm,a-2/腐（用含a、y的代

數(shù)式表示）;

②已知4B,C,。四個面上分別標有整式2（加2）,m,-3,6,且該紙盒的相對兩個面上的整式的和

相等，求加的值.

【思路點撥】（1）根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合進行計算即可;

（2）①結(jié)合圖形進行計算即可解答,

②結(jié)合圖形可知/與C相對，6與2相對，然后進行即可解答.

【規(guī)范解答】解：（1）這個紙盒的底面積是下C位高是

a-x

2

cm,

故答案為：下，旦二三；

2

（2）①若為該紙盒制作一個長方形蓋子，則該長方形的兩邊長分別是（a-2y）cm,

故答案為：y,a-2y；

②由圖可知：/與C相對，方與。相對，

由題意得：

2（研2）+（-3）=研6,

2研4-3=加6,

加=5,

???力的值為5.

【考點再現(xiàn)】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，列代數(shù)式，整式的加減，解一元一次方程，準確

熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練7-3】（2021秋?高港區(qū)月考）一個小立方體的六個面分別標有字母4B,C,D,E,尸從三個不

同方向看到的情形如圖所示.

（1）/對面的字母是C,6對面的字母是D,￡對面的字母是F.（請直接填寫答案）

（2）若/=2x-l,B=-3^+9,C=-7,D=l,￡=2x+5,F=-9,且字母￡與它對面的字母表示的數(shù)

互為相反數(shù)，求46的值.

【思路點撥】（1）觀察三個正方體，與/相鄰的字母有〃、E、B、F,從而確定出/對面的字母是G與

6相鄰的字母有C、E、A,F,從而確定與方對面的字母是〃最后確定出￡的對面是尸；

（2）根據(jù)互為相反數(shù)的定義列出求出x,然后代入代數(shù)式求出46的值即可.

【規(guī)范解答】解：（1）由圖可知，/相鄰的字母有久E、B、F,

所以，4對面的字母是C

與6相鄰的字母有E、4F,

所以夕對面的字母是〃

所以￡對面的字母是尸；

故答案為：C,D,F；

（2）?字母后與它對面的字母表示的數(shù)互為相反數(shù)，

：.2x+5+（-9）=0,

解得x=2,

.'.A=2x-1=4-1=3；

B=-3x+9=-6+9=3.

【考點再現(xiàn)】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，根據(jù)相鄰面的情況確定出相鄰的四個字母是確定

對面上的字母的關(guān)鍵，也是解題的難點.

參考點08：截一個幾何體

【典型例題】（2021秋?蘇州期末）用一個平面去截正方體，截面可能是下列圖形中的（）

①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤七邊形.

A.①②③④B.①②③⑤C.③④⑤D.②④⑤

【思路點撥】根據(jù)正方體的截面形狀判斷即可.

【規(guī)范解答】解：因為：正方體的截面可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形，不可能是七邊形，

所以：用一個平面去截正方體，截面可能是下列圖形中的三角形，四邊形，五邊形，六邊形，

故選：A.

【考點再現(xiàn)】本題考查了截一個幾何體，熟練掌握正方體的截面形狀是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練8-1】（2022秋?江寧區(qū)月考）正方體切去一個塊，可得到如圖幾何體，這個幾何體有（）

【思路點撥】通過觀察圖形即可得到答案.

【規(guī)范解答】解：把正方體截去一個角后得到的幾何體有12條棱.

故選：c.

【考點再現(xiàn)】此題主要考查了認識正方體，關(guān)鍵是看正方體切的位置.

【變式訓練8-2】(2017秋?廣陵區(qū)校級月考)如圖，有一個立方體，它的表面涂滿了紅色，在它每個面上

切兩刀，得到27個小立方體，而且凡是切面都是白色.問：

(1)小立方體中三面紅的有幾塊？兩面紅的呢？一面紅的呢？沒有紅色的面呢？

(2)如果每面切三刀，情況又怎樣呢？

(3)每面切〃刀呢？

【思路點撥】(1)三面紅色對應(yīng)8個頂角上的小立方塊，8個；兩面紅色對應(yīng)6條邊每條中間的那2小

立方塊，12個；一面紅色對應(yīng)6個面每個面中心的那個小立方塊，6個；最后各面都沒有顏色對應(yīng)大立

方體中心的那個小立方塊，1個；進行計算即可；

(2)每面切三刀，可得64個小立方體，三面紅色對應(yīng)8個頂角上的小立方塊，8個；兩面紅色對應(yīng)6

條邊每條中間的那4小立方塊，24個；一面紅色對應(yīng)6個面每個面中心的那4小立方塊，24個；最后各

面都沒有顏色對應(yīng)大立方體中心的那個小立方塊，23=8個；

(3)每面切〃刀，可得(加1)3個小立方體，三面紅色對應(yīng)8個頂角上的小立方塊，8個；兩面紅色對

應(yīng)6條邊每條中間的那(2A-2)小立方塊，6(2/?-2)個；一面紅色對應(yīng)6個面每個面中心的那5-

1)2小立方塊，6(27-1)2個；最后各面都沒有顏色對應(yīng)大立方體中心的那個小立方塊，3個.

【規(guī)范解答】解：(1)小立方體中三面紅的有8塊，兩面紅的12塊，一面紅的6塊，沒有紅色的1

塊.

(2)如果每面切三刀，小立方體中三面紅的有8塊，兩面紅的24塊，一面紅的24塊，沒有紅色的8

塊.

(3)每面切〃刀，小立方體中三面紅的有8塊，兩面紅的6(2〃-2)塊，一面紅的6(〃-1)2塊，沒

有紅色的(入1)3塊.

【考點再現(xiàn)】本題主要考查了截一個幾何體，應(yīng)結(jié)合立體圖形的有關(guān)知識進行分析，并根據(jù)生活實際進

行解答.

【變式訓練8-3】（2022秋?寧德期末）如圖是一個三棱柱，用平面從中截去一個三棱柱后，剩下的幾何體

是三棱柱或四棱柱（寫出所有可能的結(jié)果）.

【思路點撥】此題是截去一個三棱柱，切法很關(guān)鍵，我們可以選擇最簡單、最直觀的做法，從三棱柱正

中切下一刀，那么切下一個三棱柱，還剩一個三棱柱.從三棱柱豎直方向切下一刀，那么切下一個三棱

柱，還剩一個四棱柱.依此即可求解

【規(guī)范解答】解：由分析可知，一個三棱柱，用平面從中截去一個三棱柱后，剩下的幾何體是三棱柱或

四棱柱.

故答案為：三棱柱或四棱柱.

【考點再現(xiàn)】本題考查三棱柱的截面，切法很關(guān)鍵，可選擇較簡單的切法.

參考點09：簡單幾何體的三視圖

【典型例題】（2021秋?無錫期末）下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（）

【思路點撥】俯視圖是從物體上面看所得到的圖形，據(jù)此判斷得出物體的俯視圖.

【規(guī)范解答】解：4圓錐體的俯視圖是圓，故此選項不合題意；

三棱柱的俯視圖是三角形，故此選項符合題意；

球的俯視圖是圓，故此選項不合題意；

A圓柱體的俯視圖是圓，故此選項不合題意;

故選：B.

【考點再現(xiàn)】本題考查了幾何體的三視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖

中.

【變式訓練9-1】（2022秋?丹徒區(qū)月考）如圖所示，水平放置的長方體的底面是長為4腐、寬為2M的長方

形，它的主視圖的面積為12c",則長方體的體積等于24cnf.

【思路點撥】由主視圖的面積=長義高，長方體的體積=主視圖的面積X寬，得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：依題意，得長方體的體積=12X2=24（"）.

故答案為：24.

【考點再現(xiàn)】本題考查了簡單幾何體的三視圖.關(guān)鍵是明確主視圖是由長和高組成的.

【變式訓練9-2】（2021秋?灌云縣校級月考）在如圖所示的幾何體中，主視圖是三角形的是③.（填序

號）

①長方體②圓柱③圓錐

【思路點撥】找到從正面看所得到的圖形，得出主視圖是三角形的即可.

【規(guī)范解答】解：①的主視圖是矩形；②的主視圖是矩形，③的主視圖是等腰三角形.

主視圖是三角形的是③.

故答案為：③.

【考點再現(xiàn)】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

【變式訓練9-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖是由棱長都為1腐的6塊小正方體組成的簡單幾何體.

（主視圖）（左視圖）（俯視圖）

（1）請在方格中畫出該幾何體的三個視圖.

（2）如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加2塊

小正方體,

【思路點撥】（1）根據(jù)簡單組合體三視圖的畫法畫出相應(yīng)的圖形即可;

（2）在俯視圖上相應(yīng)位置備注出相應(yīng)擺放的數(shù)目即可.

【規(guī)范解答】解:(1)該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如下:

卜十十一丁一

III?

--?--

ffldd出O

（主視圖）（左視圖）（俯視圖）

（2）在備注數(shù)字的位置加擺相應(yīng)數(shù)量的小正方體,

4--4-J4--4---J

IIIIIlli???

IlliIlli??I

西出ffid

（主視圖）（左視圖）（俯視圖）

所以最多可以添加2個,

故答案為：2.

【考點再現(xiàn)】本題考查簡單組合體的三視圖,理解視圖的意義是正確解答的前提.

■考點10：簡單組合體的三視圖

【典型例題】（2020秋?射陽縣校級月考）由6個相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖

是（）

【思路點撥】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.

【規(guī)范解答】解：從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊是一個小正方形,

故選：D.

【考點再現(xiàn)】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖.

【變式訓練10T】（2017春吁B江區(qū)校級月考）如圖所示物體的左視圖為（）

故選：A.

【考點再現(xiàn)】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

【變式訓練10-2】（2021秋?泰興市期末）如圖幾何體的主視圖為（）

【規(guī)范解答】解：從正面看，是一個正方形，且正方形的右上角有一條實線把正方形分成一個三角形和

一個直角梯形.

故選：C.

【考點再現(xiàn)】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖.

【變式訓練10-3］（2017秋?高新區(qū)期末）一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個幾何體最多有加

個小正方體組成，最少有〃個小正方體組成，研)=16

主視圖保視圖

【思路點撥】這種題需要空間想象能力，可以想象這樣的小立方體搭了左中右三排，但最左排可以為4?

6個小正方體，依此求出口、〃的值，從而求得研〃的值.

【規(guī)范解答】解：最少需要7塊如圖(1),最多需要9塊如圖(2)

故勿=9,n=7,則研力=16.

⑴⑵

【考點再現(xiàn)】本題靈活考查了三種視圖之間的關(guān)系以及視圖和實物之間的關(guān)系，同時還考查了對圖形的

想象力.

【變式訓練10-4】(2022?沐陽縣開學)如圖，在平整的地面上，用多個棱長都為2M的小正方體堆成一個

幾何體.

(1)共有10個小正方體;

(2)求這個幾何體主視圖與俯視圖的面積；

(3)如果現(xiàn)在你還有一些棱長都為2腐的小正方體，要求保持俯視圖和左視圖都不變，最多可以再添加

5個小正方體.

【思路點撥】(1)根據(jù)拼圖可直接得出