專題15數(shù)列的求和方法和不等式問題【考點(diǎn)專題】1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)形如an＝(－1)n·f(n)類型，常采用兩項(xiàng)合并求解．3．裂項(xiàng)相消法(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．(2)常見的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))). =3\*GB3③SKIPIF1<0=4\*GB3④eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).=5\*GB3⑤SKIPIF1<0=6\*GB3⑥SKIPIF1<0=7\*GB3⑦eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).=8\*GB3⑧l(xiāng)ogaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．4．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．【核心題型】題型一：倒敘相加法求和1．（2022·河南駐馬店·河南省駐馬店高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．40462．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.題型二：錯(cuò)位相減法求和4．（2023·山東·煙臺二中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值及SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．5．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0的的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足：SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)；(2)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．題型三：裂項(xiàng)相消法求和7．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)的和SKIPIF1<0．8．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)令SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．9．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為給定常數(shù)），SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，證明：SKIPIF1<0.題型四：分組求和法10．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．12．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值及數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.題型五：數(shù)列與不等式問題13．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0前n項(xiàng)的和.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.14．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第SKIPIF1<0個(gè)圖形包含SKIPIF1<0個(gè)小正方形．(1)求出SKIPIF1<0的表達(dá)式；(2)求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．15．（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整數(shù).題型六：數(shù)列的其他求和方法16．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和記為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值，證明數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列并求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)令SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，對任意自然數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【高考必刷】一、單選題19．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0．整數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，則SKIPIF1<0的整數(shù)部分為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）SKIPIF1<0的整數(shù)部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．622．（2022秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2023項(xiàng)和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中在區(qū)間SKIPIF1<0中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列SKIPIF1<0的前50項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．109 B．111 C．114 D．11624．（2022·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題25．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)列SKIPIF1<0定義如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對于任意SKIPIF1<0，數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)已定義，則對于SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項(xiàng)為SKIPIF1<0 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的第2023項(xiàng)為SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0D．SKIPIF1<027．（2023·山西·統(tǒng)考一模）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21SKIPIF1<0該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列SKIPIF1<0稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記SKIPIF1<0為該數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為偶數(shù)C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0三、填空題29．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．30．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和________．31．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的前8項(xiàng)和為______．32．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0.整數(shù)m滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前m項(xiàng)和為______.33．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）現(xiàn)取長度為2的線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑作半圓，該半圓的面積為SKIPIF1<0（圖1），再取線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為SKIPIF1<0（圖2），再取線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SK