第一學(xué)期第一學(xué)段試卷高三數(shù)學(xué)一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)α是第二象限角，P（x，8）為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=45，則A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣102．已知直線ax+2y+6＝0與直線x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2 D．13．若x，y∈R，則“2x﹣2y＞0”是“l(fā)n（x﹣y）＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列四個(gè)數(shù)中最大的是（）A．lg20 B．lg（lg20） C．（lg20）2 D．15．將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于點(diǎn)(3π4A．13 B．1 C．536．如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是（）A．72π24B．73π247.已知雙曲線的焦距與其虛軸長(zhǎng)之比為3：2，則的離心率為（）A.B. C. D.8．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（2x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）＝ax+1，則f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.10．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及點(diǎn)Q（﹣2，3），則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，7） B．點(diǎn)Q在圓C外 C．若點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，則直線PQ的斜率為14D．若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為[22，62]11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點(diǎn)D.在上有極值三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．13．已知f(x)=4x?1，x≥0log2(1?x)，x＜014．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體．截面上的點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）已知為數(shù)列前項(xiàng)和，若.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù).16．（15分）已知直線l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，記l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A．（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求原點(diǎn)關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：不論m為何值，△ABC總有一個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn)；（3）求△ABC面積的取值范圍．（可直接利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性）．17.（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB=3（1）求證：BC⊥PB；（2）若點(diǎn)E為棱PA上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且CE與平面PAB所成角正弦值為255，求E點(diǎn)到平面PCD18.（17分）在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).19.（17分）如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.

2024-2025年福州四中第一學(xué)期第一學(xué)段試卷高三數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)α是第二象限角，P（x，8）為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=45，則A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣10【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解．【解答】解：因?yàn)镻（x，8）為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=4所以sinα=8x2因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以x＝﹣6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知直線ax+2y+6＝0與直線x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2 D．1【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系．【分析】根據(jù)平行的充要條件可得a的值．【解答】解：因?yàn)橹本€ax+2y+6＝0與直線x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，可得a（a+1）﹣2＝0，且2（a2+5）≠6（a+1），解得a＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線平行的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．若x，y∈R，則“2x﹣2y＞0”是“l(fā)n（x﹣y）＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】充分不必要條件的判斷．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與充分必要條件的定義可解．【解答】解：若x，y∈R，則2x﹣2y＞0，x＞y，則x﹣y＞0，不能推出x﹣y＞1，也就不能推出ln（x﹣y）＞0，則充分性不成立；又ln（x﹣y）＞0，則x﹣y＞1，則x﹣y＞0，即x＞y，能推出2x﹣2y＞0，則必要性成立；則“2x﹣2y＞0”是“l(fā)n（x﹣y）＞0”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．下列四個(gè)數(shù)中最大的是（）A．lg20 B．lg（lg20） C．（lg20）2 D．1【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)運(yùn)算求值．【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷l(xiāng)g20的范圍，然后檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)閘g20＝lg2+1∈（1，2），所以lg（lg20）∈（0，1），lg（lg20）＜lg20，（lg20）2＞lg20＞1，1lg20故最大值為（lg20）2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于點(diǎn)(3π4A．13 B．1 C．53【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，所得函數(shù)的解析式為y＝sinω（x?π4），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向右平移π4可得y＝sinω（x?π4）＝sin（ωx再根據(jù)所得圖象關(guān)于點(diǎn)(3π4，0)對(duì)稱，可得ω?3π4??ωπ4=求得ω＝2k，k∈Z，結(jié)合所給的選項(xiàng)，可取ω＝2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是（）A．72π24 B．73π24【考點(diǎn)】圓臺(tái)的體積．【分析】求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，利用勾股定理求出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)的體積公式求解即可．【解答】解：如圖所示，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為AP＝1，設(shè)上底面圓的半徑為r，下底面圓的半徑為R，由題意可得，π×1＝2πr，π×2＝2πR，解得r=12，所以圓臺(tái)的高為h=1所以圓臺(tái)的體積為V圓臺(tái)=13π[(12)2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的理解與應(yīng)用，以及圓臺(tái)體積公式運(yùn)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．7.已知雙曲線的焦距與其虛軸長(zhǎng)之比為3：2，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由已知可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知，，則，設(shè)，則，所以，故的離心率為.故選：C.8．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（2x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）＝ax+1，則f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性．【分析】由函數(shù)奇偶性，確定f（x）為周期函數(shù)，再結(jié)合f（﹣1）＝0，求得a，即可求解．【解答】解：因?yàn)閒（2x﹣1）為奇函數(shù)，所以f（x）關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）中心對(duì)稱，又f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f（x）為周期函數(shù)且周期T＝4×|1﹣（﹣1）|＝8，∴f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+1，∵f（﹣1）＝﹣a+1＝0，∴a＝1，∴f（2025）＝a+1＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)規(guī)律：同增異減，即可判斷BCD；去掉絕對(duì)值符號(hào)后可判斷A的正誤.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：AD.10．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及點(diǎn)Q（﹣2，3），則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，7） B．點(diǎn)Q在圓C外 C．若點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，則直線PQ的斜率為14D．若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為[22，62]【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓的一般方程．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心C的坐標(biāo)可判斷A，求出CQ兩點(diǎn)的距離可判斷B，利用點(diǎn)P在圓上求出m得點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求PQ的斜率可判斷C，求出|CQ|的長(zhǎng)，利用數(shù)形結(jié)合可求|MQ|的范圍可判斷D．【解答】解：把圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0化為（x﹣2）2+（y﹣7）2＝8，所以圓心C的坐標(biāo)為（2，7），故A正確；因?yàn)镃（2，7），Q（﹣2，3）兩點(diǎn)之間的距離為(?2?2)2+(3?7)2=42＞因?yàn)辄c(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，所以（m﹣2）2+（m+1﹣7）2＝8，解得m＝4，即P（4，5），所以直線PQ的斜率為3?5?2?4=1因?yàn)閳A心C（2，7），半徑r＝22，CQ=42，所以CQ?r≤即22≤MQ≤62故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的相關(guān)知識(shí)，以及求圓上一點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離的最大值與最小值，屬基礎(chǔ)題．11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點(diǎn)D.在上有極值【答案】ABC【解析】【分析】由對(duì)稱中心的定義代入驗(yàn)證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡(jiǎn)可得B正確，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡(jiǎn)并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由易知,即滿足，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得A正確；對(duì)于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；對(duì)于C，求導(dǎo)可得，不妨只研究當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點(diǎn)，即C正確.對(duì)于D，由可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒(méi)有極值，即D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用中心對(duì)稱函數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證選項(xiàng)中的對(duì)稱中心是否滿足中心對(duì)稱表達(dá)式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點(diǎn)問(wèn)題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先寫(xiě)出命題“，”的否定，由題可知其為真命題，然后利用的范圍求得的范圍即可.【詳解】由題意得“，”是真命題，故，因?yàn)椋詍的取值范圍是．故答案為：13．已知f(x)=4x?1，x≥0log2(1?x)，x＜0，則f【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】首先根據(jù)分段函數(shù)求出f（﹣4），然后根據(jù)f（﹣4）的值求出f（f（﹣4））的值即可．【解答】解：因?yàn)閒(x)=4由題意，可得f（﹣4）＝log25，又log25＞1，故f(f(?4))=f(log故答案為：254【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．14．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體．截面上的點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為3π．【考點(diǎn)】圓柱的體積．【分析】該幾何體的體積是底面半徑為1，高為2的圓柱的體積的32【解答】解：與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體．截面上的點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積是底面半徑為1，高為2的圓柱的體積的32則該幾何體的體積為32×π×1故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的體積，重點(diǎn)考查了圓柱的體積公式，屬基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系式可得，即，即可得證.（2）由（1）可得，則，設(shè)，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，令，結(jié)合，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由可得，當(dāng)時(shí)，，解得，……2分當(dāng)時(shí)，，即，則，即，……4分即，即，……5分又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列.……7分【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，……8分設(shè)，則……10分令，得，即，即，……12分又，，，所以滿足條件的最大整數(shù)為為5.……13分16．（15分）已知直線l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，記l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A．（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求原點(diǎn)關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：不論m為何值，△ABC總有一個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn)；（3）求△ABC面積的取值范圍．（可直接利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性）．【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程；恒過(guò)定點(diǎn)的直線．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）（?8（2）證明見(jiàn)解答．（3）14【分析】（1）當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1的方程為：l12x﹣y+2＝0，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為（x0，y0），利用斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求解即可；（2）聯(lián)立方程得出l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1）從而可以證明結(jié)論．（3）求得l1與l2的交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AB長(zhǎng)，再求得點(diǎn)C（﹣1，0）到l2的距離d，求△ABC的面積的取值范圍．推出三角形面積的表達(dá)式，分類討論，利用基本不等式可得結(jié)果．【解答】解：（1）當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1的方程為：2x﹣y+2＝0，且斜率k1＝2，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為（x0，y0），則由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程得：y0解得：x0=?8（2）證明：根據(jù)題意得l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1），∴不論m取何值時(shí)，△ABC中總有一個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn)（﹣1，0）．……8分（3）由mx?y+m=0x+my?m(m+1)=0，得l1與l2的交點(diǎn)為：A（m……10分由兩點(diǎn)間距離公式得AB=1點(diǎn)C（﹣1，0）到l2的距離為：d=|?1?m?三角形面積S=12|AB|?d=12當(dāng)m＝0時(shí)，有m1+當(dāng)m＞0時(shí)，有m1+m2=當(dāng)m＜0時(shí)，m1+m2=所以，?12≤【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的交點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離公式與三角形面積公式的應(yīng)用，考查了對(duì)稱問(wèn)題以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于綜合題．17.（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB=3（1）求證：BC⊥PB；（2）若點(diǎn)E為棱PA上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且CE與平面PAB所成角正弦值為255，求E點(diǎn)到平面【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）330【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得到BC⊥平面PAB，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由CE與平面PAB所成角正弦值為255，得到【解答】證明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PAB……2分∵PB?平面PAB，故BC⊥PB；……4分解：（2）∵△PAB中PA2＝AB2+PB2，∴PB⊥AB，……6分以B為原點(diǎn)如圖所示建系：……7分B(0，0，0)，A(?1，0，0)，C(0，2，0)，D(?1，3，0)，P(0，0，3AE→=λAP→=(λ，0，取平面PAB法向量n1sinθ=n1→?CE則E(?1取平面PCD法向量n2→=（x，y則n2→?CD→=0n2故d=|【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線線垂直的證明和點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，屬于中檔題．18.（17分）在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；