2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

全解全析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.直線x=sin2024兀的傾斜角為()

71兀n

A.2024兀B.-C.-D.

237

【答案】B

【分析】根據(jù)直線方程直接確定傾斜角.

7T

【詳解】由直線x=sin2024兀與x軸垂直，即其傾斜角為

故選：B.

2.以點(diǎn)C(-1,-5)為圓心，并與x軸相切的圓的方程是()

A.(x+l)2+(y+5)2=9B.(x+l)2+(y+5)2=16

C.(X-1)2+(J-5)2=9D.(x+l)2+(y+5)2=25

【答案】D

【分析】由題意確定圓的半徑，即可求解.

【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為點(diǎn)。(-1,-5),半徑為5,

則圓的方程為(x+1)2+(y+5)2=25.

故選：D.

3.在等差數(shù)列｛%｝中，已知％=-9,%+%=-9,a2?_j=9,貝!!"=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.

3

【詳解】由/+。5=-9,%=-9可得為=-9,公差d=],

故出"一1=%+(2"-2)d=9,解得”=7,

故選：A

4.已知曲線C的方程為/+/+忖/=2022,則曲線C關(guān)于()對(duì)稱(chēng)

A.x軸B.V軸C.原點(diǎn)D.直線kx

【答案】B

【分析】利用坐標(biāo)互換一一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】曲線C的方程為一+必+歸廿=2022,

將x換為-x,y不變，原方程仍為一+/+歸”=2022,所以曲線C關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng);

將V換為-%x不變，原方程變?yōu)椋?+/一區(qū)了=2022,所以曲線C不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);

將x換為rj換為一九原方程變?yōu)?+y2THy=2022,所以曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

將無(wú)換為gV換為x,原方程變?yōu)閤2+y2+儀|x=2022,

所以曲線C不關(guān)于直線V=x對(duì)稱(chēng).

故選:B.

5.已知點(diǎn)A是拋物線C：V=2px(p>0)上一點(diǎn)，若A到拋物線焦點(diǎn)的距離為5,且A到x軸的距離為4,

則。=()

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

【答案】C

【分析】由題意得到|”|=4,XA+^5,結(jié)合$=2p與得到方程，求出。的值.

【詳解】由題意得|以|=4,XA+^=5,

其中立=2px/故20fl6,解得"2或8,

故選：C

6.已知等差數(shù)列應(yīng)｝和等比數(shù)列也J的前〃項(xiàng)和分別為S.和7；,且片2〃+1,則去=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】分別設(shè)出為其和北的二次形式，由此求得。3,&,即可化簡(jiǎn)后得到結(jié)果.

【詳解】由等差數(shù)列也?｝和等比數(shù)列亞?｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和7；,

所以可設(shè)S"=協(xié)（2"+1）,Tn=kn,k豐0,

S3^^221左一10左

所以可得=11,故C正確.

5k—4k

故選：C.

7.設(shè)QM:x2+y2-2x-6y=0.若動(dòng)直線4：工+叼-2-機(jī)=0與。M交于點(diǎn)C,動(dòng)直線

/2：蛆7-27〃+1=0與。M交于點(diǎn)及D,則|力。|+忸。的最大值是（）

A.3073B.2回C.206D.3回

【答案】B

【分析】求出圓的圓心和半徑，求出兩條直線位置關(guān)系和經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖像，設(shè)圓心到其中一條直線

的距離為力根據(jù)幾何關(guān)系表示出|/C|+忸。，利用基本不等式即可求出其最大值.

［詳解］x2+y2-2x-6y=0（x-1）2+（j；-3）2=10,

圓心M（1,3）,半徑

x+%y-2-7"=0nx-2+"z（y-l）=0n/1過(guò)定點(diǎn)E（2,1）,

mx-y-Im+1=0=>m（x-2）-y+l=0=>4過(guò)定點(diǎn)E（2,1）,且（_1_4,

如圖，設(shè)/C和BD中點(diǎn)分別為尸、G,則四邊形跖MG為矩形,

^\MF\=d,Q<d<\ME\=y[5,則|MG|=1版『_歐『=/版『一即『=,

則|NC|+忸M=2,10-屋+2/0-（5-/）=2仲0-屋+,5+屋）

（一屋+）,當(dāng)且僅當(dāng)-屋=/即平時(shí)取等號(hào).

<2J2105+/=2A/30105+d=

故選：B.

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x|x|+?=l,貝ij|Kx+y-4]的取值范圍是（）

A.[4一跖2）B.[4一跖4）C.2一號(hào),2D.2一中,4

2J2,

【答案】B

【解析】將實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足x|x|+?=i通過(guò)討論x,y得到其圖像是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，

借助圖像分析可得Iex+y-4]的取值就是圖像上一點(diǎn)到直線行x+y-4=0距離范圍的2倍，求出切線方程

根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)X,V滿(mǎn)足x|x|+T=l,

2

所以當(dāng)時(shí)，匕+，=1其圖像位于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓第一象限,

3

2

當(dāng)x>O/vO時(shí)，――2L=1其圖像位于焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線第四象限，

3

2

當(dāng)xv04>0時(shí)，匕-工2=1其圖像位于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線第二象限，

3

2

當(dāng)xvOjv。時(shí)，一^—，=1其圖像不存在，

3

作出圓錐曲線和雙曲線的圖像如下，其中x|x|+?=l圖像如下：

所以+'一4卜22

結(jié)合圖像可得|瓜+歹-4|的范圍就是圖像上一點(diǎn)到直線瓜+y—4=0距離范圍的2倍,

22_

雙曲線一一事=1,其中一條漸近線底+k0與直線后+”4=0平行

通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于P時(shí)，2d取得最小值

當(dāng)曲線上一點(diǎn)靠近雙曲線的漸近線&+7=0時(shí)21取得最大值，不能取等號(hào)

設(shè)氐+7+°=0(°<0)與:+/=1其圖像在第一象限相切于點(diǎn)？

-J3x+y+c=0

由<y=>6x2+2y[3cx+c2—3=0

--+x2=l

[3

因?yàn)锳=（2A/§C）x-4x6x卜?—3）=0nc=-或c=6（舍去）

所以直線瓜+y-&=0與直線A+y-4=0的距離為巴對(duì)

2

此時(shí)2x+y_4|=2<7=4_痛

卜4-一2

直線瓜+y=0與直線石x+y-4=0的距離為

2

此時(shí)2x+>-4|=21=4

所以槨x+y-4］的取值范圍是［4-跖4)

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列｛勾｝的首項(xiàng)為4,且滿(mǎn)足2(〃+1)%=〃％("€N*),則()

A.《J為等差數(shù)列

B.｛?！埃秊檫f增數(shù)列

C.｛%｝的前〃項(xiàng)和5“=(〃-1)2-2+4

D.］券｝的前力項(xiàng)和7；==^

【答案】BCD

【分析】由2(“+1)為=〃°用得匕=2*”,所以可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，從而

可求出%=〃?2"?？傻脭?shù)列｛%｝為遞增數(shù)列,利用錯(cuò)位相減法可求得｛%｝的前〃項(xiàng)和，由于3=嗡二=”,

從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列［券｝的前〃項(xiàng)和1.

【詳解】由2("+1)%="〃用，得&_=2x&,

n+1n

所以是以;=%=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)楣?4x2"T=2"*i,

所以％=小2向，顯然遞增，故B正確;

因?yàn)镮=1X2?+2X23+…+”2+1,

34B+2

2S=1X2+2X2+---+7J-2

仁22(1—2〃)

所以—=lx22+23+-+2-i—〃?2〃+2=_3----)n廿,

〃1-2

故S〃=5—1)X2"2+4,故C正確；

所以｛券｝的前〃項(xiàng)和7；=型尹故D正確.

故選：BCD.

10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）

A.直線（3+%）x+4〉-3+3承=0（meR）恒過(guò)定點(diǎn)（-3,-3）

B.圓f+/=4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線/：x-y+近=0的距離都等于1

C.圓G：/+/+2》=0與圓：x2+/-4x-8y+機(jī)=0恰有三條公切線，則a=4

D.已知圓C：9+/=4,點(diǎn)尸為直線x+y-4=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸向圓C引兩條切線尸4、PB,A、

8為切點(diǎn)，則直線45經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1,1）

【答案】BCD

【分析】將直線的方程進(jìn)行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系比較

即可判斷選項(xiàng)B；由題意知兩圓外切，由圓心距等于半徑即可求加得值，即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出點(diǎn)尸坐標(biāo),

求出以線段尸C為直徑的圓的方程，與己知圓的方程相減即可得直線42的方程，即可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可

得正確選項(xiàng).

【詳解】直線（3+〃?）x+4y-3+3加=0（〃zeR）,

x+3=0Ix=—3

所以加（工+3）+3》+4〉-3=0（加?1^）,所以,解得，=

3x+4j-3=0

所以直線（3+7〃）工+4了-3+3%=0（7〃€1<）恒過(guò)定點(diǎn)（-3,3）,故A錯(cuò)誤；

圓/+/=4,圓心為（0,0）到直線x-y+及=0的距離為也_212^1=1<2,

V1+1

所以直線與圓相交，平行于直線/且距離為1的直線分別過(guò)圓心以及和圓相切,

所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,故B正確；

由G：/+2x=0可得（x+iy+/=],圓心4=1,

由。2：龍？+/一4x-8y+機(jī)=0可得（x-2）~+（y-4『=2Q-m>Q,

圓心。2（2,4）,r2=V20-m,由題意可得兩圓相外切，所以|CG|=K+2,

即J42+32=J20-〃Z+1，解得："?=4,故C正確；

設(shè)尸（私”），所以加+〃=4,

因?yàn)镻/、PB,分別為過(guò)點(diǎn)尸所作的圓的兩條切線，所以C4_LPN,CB1PB,

所以點(diǎn)A,8在以O(shè)P為直徑的圓上，以O(shè)P為直徑的圓的方程為

整理可得：x2+y2-mx-ny=0,與已知圓C:%2+/=4,相減可得加x+".y=4.

7肖去加可得：｛A-n^x+ny=4,即〃（y-x）+4x-4=0,

fy-x=0fx=l/、

由；“八解得「所以直線48經(jīng)過(guò)定點(diǎn)1』，故D正確?

[^4%-4=0口=1

故選：BCD.

11.已知直線/：后-歹-6=0過(guò)拋物線C:/=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸，且與拋物線C交于/,B兩點(diǎn),過(guò)Z,

8兩點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M,N,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

4

A.拋物線的方程為必=4xB.線段師的長(zhǎng)度為§

8

C.2MFN=90°D.線段的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為三

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,將拋物線焦點(diǎn)廠4弋入直線/的方程求出?即可得解；對(duì)于B,聯(lián)立拋物線方程和直

線/的方程可求出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由焦半徑公式即可計(jì)算求解；對(duì)于C,利用拋物線的定義求得/MHV,

從而判斷；對(duì)于D,由拋物線定義和焦半徑公式求出網(wǎng)上的一￡即為解.

22

【詳解】對(duì)于A,由題可知尸、,oj在直線/：6x-y-G=0上，

所以瓜勺6=0n〃=2,故拋物線的方程為/=4x,故A正確；

對(duì)于B,聯(lián)立[力"j"0=3》2_10》+3=0=再=；,%=3,

1p14P

所以川=§+5=5+1=1或尸|=3+,=3+1=4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)殁顣r(shí)=忸尸|,|/叫=|/司，所以/BNF=NBFN/AFM=ZAMF,

因?yàn)?N//x軸，NM//x軸，

所以NO7W=ZBNF=ZBFN,ZOFM=ZAMF=ZAFM,

所以ZMFN=ZOFN+ZOFM=；ZOFB+1ZOFA=90°,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)殁頜+|/河|=\BF\+]/尸I=X]+Xz+p=§+3+2=—,

所以線段AB的中點(diǎn)到?軸的距離為一￡=§_1=3,故D錯(cuò)誤.

2233

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S“為數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和，7”為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積，若2am+%=0,且工=-44,則氏=_,當(dāng)

I取得最小值時(shí)，"=—.

【答案】（一1）"]￡|6

【分析】先利用題給條件確定｛冊(cè)｝為公比為-g的等比數(shù)列，進(jìn)而求得其通項(xiàng)公式；先求得（的表達(dá)式，進(jìn)

而求得[取得最小值時(shí)的n值.

【詳解】由題意知％片0,因?yàn)?%”+%=。，所以&旦=-]

故為公比為一;的等比數(shù)列，

n-1

則北=（一小目＞（_入出_x…、（_1）"又出一=（-產(chǎn)X國(guó)十，

當(dāng)】取得最小值時(shí)，則山⑴為奇數(shù)，且正口取得最小值，

22

所以〃=6或〃=7（舍）.

故答案為：；6

13.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線＞=工+加（加＞0）與x軸，y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓

門(mén)-%）2+/=1上運(yùn)動(dòng)，若/MW恒為銳角，則正實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】（-原-+-,6+°0］

【分析】設(shè)以九w為直徑的圓的圓心為/,求出圓心坐標(biāo)與半徑得到圓的方程，由題意可轉(zhuǎn)化為兩圓外離,

據(jù)此列出不等式即可求解.

【詳解】設(shè)以為直徑的圓的圓心為/,

由題意可知M（T%O）,N（O,加）,

所以九W的中點(diǎn)半徑為及=［

-m,

又圓（x-加『+/=1得圓心為（加,0）,半徑7?=1,

由恒為銳角可知兩圓外離，如圖，

所以］+口+（0一口＞1+［切，即NTo.V2

——m>1H-----m，

22

解得?。钧?也.

4

,,,（A/1-0+V2

故/答17案為：［4,+°°

14.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為8,直線3月與C相交于另一點(diǎn)A.當(dāng)cosN片N3最小

時(shí)，C的離心率為.

【答案】^/|V3

【分析】設(shè)|/g|=x,利用余弦定理求出cosN4/B最小時(shí)回的值，確定在鳥(niǎo)中,

M娟=￡,|/與|=|,再利用余弦定理求出兄。的關(guān)系，解得答案.

22

【詳解】設(shè)橢圓方程為「+斗=1(“>6>0),其焦距為2c,

ab

由題意可知|班|=|町|=〃；

設(shè)|/6|二%,貝"4團(tuán)=2Q_1,\AB\=a+x

的-B―-所-兇=(2"才+"j

?12\AF\\AB\~2(20-x)(x+a)

x2—ax+2/

-x+ax+2a2

當(dāng)Y時(shí)小高一/取最小值-%,此時(shí)Ms取最小吟

則此時(shí)在△必月中，?皿1=藍(lán),1/局=1，

7

則cos/￡Ng“二—

9

即121，---------=Z,整理得〃2=302,

3aa9

故橢圓離心率e=￡=且

a3

故答案為：如

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用余弦定理確定最小時(shí)|/巴|的值，進(jìn)而再利用余弦定

理求出的關(guān)系，解得答案.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）

已知點(diǎn)圓C：x2+y2-6x-2j+1=0.

（1）求圓C過(guò)點(diǎn)P的最短弦所在的直線方程；

⑵若圓C與直線x-y+a=O相交于A,2兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，且。求。的值.

【答案】⑴4x-2y-5=0

(2)a=-l

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P的最短弦就是圓心與P連線垂直的直線，借助垂直得到斜率，再用點(diǎn)斜式即可;

（2）直線與圓的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理得到芯+%=-。+4,項(xiàng)尤2”if.再由04，OB轉(zhuǎn)化為向量數(shù)

2

量積，綜合韋達(dá)定理構(gòu)造方程計(jì)算即可.

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P的最短弦就是圓心與尸連線垂直的直線,

k=____2

圓12+y2—6x—2y+l=0的圓心貝ljkpc]_3，

2

所以過(guò)點(diǎn)P的最短弦所在的直線方程為；=2（x-2）,即4x-2y-5=0..........................6分

x-y+a=0,

(2)《22消去y得(X-3)2+(X+"1『=9,

X-3)+(J-1)y，

化簡(jiǎn)后為2x?+（2a-8）x+（a-1）=0.

因?yàn)閳AC與直線x-y+a=0交于A,B兩點(diǎn),

所以△=（2加8）：!_8（"1）2>0,

即/+4°—14＜0,解得_2-3正＜。＜一2+3亞.

2

a

設(shè)4(%i,yi)，則項(xiàng)+工2=一。+4,x1x2=

2

因?yàn)?4_LO5,所以厲.礪=0，即為%2+%為=0.

必=M+Q,/匕i"+44+/=止效±1

由%=%+”,得%為=(占+〃)(12+4)-〃(%+工2)+〃2

22

從而修+丁=("以=°'解得〃一..............13分

16.(15分)

已知數(shù)列｛%｝,｛2｝,%=(-1)"+2",b“=%Ta.U>0),且也｝為等比數(shù)列.

⑴求2的值；

(2)記數(shù)列也?"2｝的前〃項(xiàng)和為「.若4?Ti+2=157；/yN*),求i的值.

【答案】(1)2

⑵2

【分析】(1)計(jì)算出4=1,%=5,%=7,%=17.,進(jìn)而得到如8,4,根據(jù)等比數(shù)列得到方程，求出

2=2,驗(yàn)證后得到答案；

(2)求出或=-3x(-1)"?/,分〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)時(shí)，得到J；,H，又小心=15&,故

Ti+l>0,所以，?為偶數(shù)，從而得到方程，求出i=2.

【詳解】(1)因?yàn)?=(-1)"+2",則%=1,2=5,%=7,&=17.

aa

又a=n+\_^n，貝U4=5—4,b2=a3—Aa2=7—54,b3=a4—Aa3=17—72.

因?yàn)椋?n｝為等比數(shù)列，則呢=*&，所以(7-5"=(5-2)(17-7㈤，

整理得分_彳_2=0,解得；1=一1或2.

因?yàn)獒?gt;0，故4=2.

當(dāng)X=2時(shí)，bn=an+x-2aL(一廠用+2用一21(一1)"+2"]

=(-l)x(-1)"+2"+i-2x(-1)"-2加=-3x(-1)".

b-3xf-iy+1

則資「二=T，故｛0｝為等比數(shù)列，所以2=2符合題意............7分

2n2

(2)bn-H=-3x(-l)-n

22222222

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Tn=-3X[-1+2-3+4-5+6——(n-l)+?]

=-3x(1+2H---F〃)=——n(n+1)；

33

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)Tn=Tn+i-bn+l5+1)2=_,5+1)5+2)4-3(〃+1)=,〃(〃+1).

3

—n(n+1),〃=2左一1,左￡N*

綜上，T=<

n3

——n(n+l),n=2k,kGN*

、2

因?yàn)?乜+2>0,又％=2=15=1，

故7；+］>0,所以，?為偶數(shù).

31「313

所以—5班』1)?—,a+2)a+3)=15x-(z+l)(z+2),

整理得『+37—10=0,解得，=2或，二一5(舍)，所以"2.............15分

17.(15分)

22_

已知雙曲線E:5-4=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳％E的一條漸近線方程為y=瓜，過(guò)片且與X

ab

軸垂直的直線與E交于P,。兩點(diǎn)，且AP。8的周長(zhǎng)為16.

(1)求E的方程；

(2)43為雙曲線E右支上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段N2的中垂線過(guò)點(diǎn)C(0,4),求N/C3的取值范圍.

2

【答案】⑴E:/-匕=1；

⑵［。號(hào)］

【分析】(1)將x=-c代入曲線￡得了=±，，故得］尸凰=|。周=),從而結(jié)合雙曲線定義以及題意得

b

，解出。，6即可得解.

4b1,

----F44。=16

.a

(2)設(shè)力3：、=丘+機(jī)，聯(lián)立雙曲線方程求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得44cM的正切值，進(jìn)而得N4CW

范圍，從而由=即可得解.

【詳解】(I)將x=-c代入￡:3-弓=1(4>0/>0),得了=±且，

aba

所以|尸周=|04=：,所以|尸工|=|0g|=：+2a,

jr

所以由題得n，，=<Q—1h

4b2.,b=j3

——+4（7=16i

、a

2

所以雙曲線E的方程為￡:/-匕=1..............5分

3

（2）由題意可知直線Ag斜率存在且左片±G，

AB

^AB:y=kx+m,4(xlty1),B(X2f力)，設(shè)的中點(diǎn)為M.

y=kx+m

由消去夕并整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=03-公wo,

3x2-/=3

22222

貝I]A=(2hn)+4(3-k)(m+3)=12(3+加一產(chǎn))>o,gpm>k-3,

2km3+m27/、c72km_6m

x+x=xx=-^—~r，%+%=以玉+%2)+2加=—3不+2加/.............6分

x23—Yx2

3m

于是M點(diǎn)為（裊3"，、,JL"3_k「3加_]2+4左2

J—K.3-M'ML_km

x-k2

由中垂線知上MC?的B=T，所以二」,解得：m=3-E...............9分

kmk

所以由45在雙曲線的右支上可得:

3+m23+m2?72c

x,x=------=------m=3o—kz2<A0n左>3,

127>。=

3—左2m

2km

且不+%==2k>0=>左>0,

3—左2

且八=4（3加2-3左2+9）>0=（3-左2）2+（3-左2）=（3-左2）（4一町>00/<3或后2>4,

綜上/>4即左>2,12分

myj\+k2

又QM

3-k2

\AM\￡而2

+x2)-4x^2?J1+左2

所以tan44cM=局=^----

my/1+k2

3-k2

L2,3〃--3/+9中

23-4_3加23/+9

機(jī)J1+左2m2

3-8

3

因?yàn)榻?>4,所以閉=3-后2<一1,故_3<「7T<0,所以

3-K

所以

所以44c8=244CMw10,g

15分

18.（17分）

已知拋物線/=2抄5>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)圓/+（尸1）2=1的圓心的直線交拋物線與圓分別為A、C、D、B（從

左到右）.

（1）若拋物線的焦點(diǎn)與圓心重合，求拋物線的方程；

（2）若拋物線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑶在（1）的條件下，△/。。，△灰兀的面積滿(mǎn)足：SMOC=4SABOD，求弦⑷?的長(zhǎng).

【答案】（1）/=勺

⑵”1

【分析】（1）由圓心坐標(biāo)和拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可得；

（2）聯(lián)立圓與拋物線的方程，消去x后再解出方程的根，結(jié)合圖形判斷即可；

（3）設(shè)出直線方程和4（勺,%）,8（血,力），聯(lián)立直線和拋物線方程，得到韋達(dá)定理，再由題中工/℃=45*”

以及拋物線的定義組成方程組解出附=2,陷=（最后利用|叫=|/。+|即+3|求出結(jié)果；

【詳解】（1）由一+（尸1）2=1可知圓心坐標(biāo)為（0,1）,

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與圓心重合，

所以=P=2,

所以拋物線的方程-=4了............4分

-=2py（p>0）

（2）2/、2，消去X并整理方程可得V+（2,-2力=0,

X+（歹—1）=1

解得M=。，%=2-2°,

拋物線和圓恒有一個(gè)公共點(diǎn)（0,0）,且y20恒成立，

所以令2。一240,解得p21..........................10分

（3）設(shè)4（看,月）,3（X2,%），直線48的方程為8=丁+1，原點(diǎn)。到直線N8的距離為〃,

[y=kx+\

由《2彳消去V可得，-4依-4=0,其中A=16左2+16>0,

[X=4y

)(X1X2)21

V2=-4,y^2=—=1.

所以S^oc=^\AC\-d,S^BOD=^\BD\-d,

則匕喝①

因?yàn)閨/C|?忸必=（|/尸|一|。尸『（忸可一|￡）司）=|/斗忸尸|一（|/司+忸尸|）+1

=（必+1）（%+1）-（M+1+%+1）+1==1，②

由①②解得|/C|=2,忸必=；,

1Q

所以M@=|/C|+忸。|+1刈=2+]+2=5.........................17分

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)關(guān)鍵是能利用拋物線的定義與已知組成方程組，求出|/C|=2,忸。卜;.

19.（17分）

如果數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：%+%+/+…+%=0且同+同+同+…+1%|=1（"23,〃eN*）,則稱(chēng)數(shù)列｛.“｝為”階“歸

化數(shù)列”.若數(shù)列｛對(duì)｝還滿(mǎn)足：數(shù)列｛%｝項(xiàng)數(shù)有限為N；則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”.

（1）若某6階“歸化數(shù)列”｛%｝是等比數(shù)列，寫(xiě)出該數(shù)列的各項(xiàng)；

（2）若某13階“歸化數(shù)列”｛%｝是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)已知數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在使得i!|%|=2S“，探究：數(shù)列｛S,｝能否為“N

N

階可控?fù)u擺數(shù)列"，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴311111甫111111

,，,，-

066-666^6,6，-6,6，-6,6

⑵""=^^("w