專題第01講全等三角形的判定與性質

1.(2023?長沙)如圖，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為。，E.

A

(1)求證：△ABEgAACD；A

(2)若AE=6,CZ)=8,求8D的長./\

【分析】(1)利用“AAS”可證明

BC

(2)先利用全等三角形的性質得到AD=4E=6,再利用勾股定理計算出AC,從而得到AB的長，然后

計算AB-A。即可.

【解答】(1)證明：BE±AC,

：.ZAEB=ZADC^9Q°,

在△ABE和△AC￡)中,

,ZAEB=ZADC

<ZBAE=ZCAD,

AB=AC

AAB￡^AAC￡>(A4S)；

⑵解：VAABE^AACO,

,'.AD=AE=6,

在RtAACO中，AC=I/AD2-^D2=A/62+82=10，

'：AB=AC=IO,

：.BD=AB-AD=10-6=4.

2.(2022秋?黔江區(qū)期末)如圖，已知/C=/F=90°,AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點、O.

(1)求證：RtAABC^RtADEF；

(2)若NA=51°,求/2。尸的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)乩證明兩個三角形全等；

（2）根據(jù)三角形全等的性質和三角形外角的性質可得結論.

【解答】（1）證明：

：.AE+EB=DB+EB,即AB=DE,

在RtAACB和RtADFE中，

[AC=DF,

IAB=DE'

/.RtAABC^RtADEF(HL)；

(2)解:VZC=90°,ZA=51°,

：.ZABC=ZC-ZA=90°-51°=39°,

由(1)知RtZXABC絲RtZkOE凡

ZABC=ZDEF.

：.NDEF=39°,

ZB0F=ZABC+ZBEF=390+39°=78°.

3.(2022秋?鼓樓區(qū)期末)如圖，點A、C、。在同一直線上，BC±AD,垂足為C,8C=C。，點E在BC

上，AC^EC,連接43,DE.

(1)求證：AABC出AEDC；

(2)寫出A8與。E的位置關系，并說明理由.

【分析】(1)在RtZWCB和Rt/XECD中，由ASA證明三角形全等;

(2)根據(jù)(1)得出NAFD=90°即可.

【解答】(1)證明：

ZACB=ZECD=90°,

在RtAACB和RtAECD中，

rBC=DC

<ZACD=ZECD-

AC=EC

AABC^A￡￡)C(SAS)；

(2)解：ABLDE.理由：

如圖延長。E交AB于點R

AABC經AEDC,

：.ZB=ZD,

VZACB=90°,

：.ZA+ZB=90°,

：.ZD+ZA=90°,

：.ZAFD=90°,

：.AB±DE.

4.（2023?黃石模擬）如圖所示，在△ABC中，A￡）_LBC于。，CE±ABE,AO與CE交于點R且A。

=CD.

(1)求證：4ABD出ACFD；

(2)已知BC=7,AD=5,求AF的長.

【分析】(1)由ASA證明△AB。絲/XC。。即可;

(2)理由全等三角形的性質即可解決問題；

【解答】(1)證明：\'AD±BC,CE±AB,

：.ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

/BAD+NB=ZFCD+ZB^90°,

：.ZBAD=ZFCD,

在△A8￡)和CFD中，

，ZADB=ZCDF

-AD=DC，

ZBAD=ZDCF

.?.△ABD沿ACFD(ASA),

(2)解：:4ABD/LCFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC=5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

A

5.（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CD中，AD〃8C,點E為對角線8。上一點，ZA=ZBEC,

且

（1）求證：△ABDHECB；

【分析】（1）由“ASA”可證附△EC&

（2）由全等三角形的性質可得BD=BC,由等腰三角形的性質可求解.

【解答】（1）證明

NADB=NCBE,

在△A8￡>和△ECB中，

'/A=NBEC

<AD=BE，

ZADB=ZCBE

:.AABD咨AECB（ASA）；

⑵解：；AABD"4ECB,

：.BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=75°,

：.ZDBC=30°,

；.NADB=NCBD=30°.

6.（2023?營口）如圖，點A,B,C,。在同一條直線上，點E,尸分別在直線AB的兩側，且Z

A=ZB,ZACE=ZBDF.

(1)求證：LACE沿ABDF；

(2)若A8=8,AC=2,求CD的長.

E

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明月即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】（1）證明：在△ACE和△BD/中，

，ZA=ZB

，ZACE=ZBDF-

AE=BF

:.AACE烏ABDFCAAS）；

（2）由（1）知△ACE四△BD凡

：.BD=AC=2,

'：AB=8,

：.CD=AB-AC-BD=4,

故CD的長為4.

7.（2023?朔城區(qū)一模）如圖，在四邊形ABC￡＞中，AB//CD,在2。上取兩點E,F,使DF=BE,連接AE,

CF.

（1）若AE〃CR試說明△ABEgZkCDR

（2）在（1）的條件下，連接AF,CE,試判斷與CE有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由.

【分析】（1）由“ASA”可證△ABEgZkC。尸；

（2）由全等三角形的性質可得AB=C￡?,由“S4S”可證AABE名△8凡可得結論.

【解答】（1）證明：：A8〃C。，

/ABD=NCDF,

'：AE//CF,

：.ZAEB=ZCFD,

'：BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在△ABE和△CD/中，

，ZABD=ZCDF

<BE=DF，

ZAEB=ZCFD

.,.△ABEZACDF(ASA)；

(2)解：AF=CE,理由如下:

,/LABE竺LCDF,

：.AB=CD,AE=CF,

在△AB尸和△CUE中，

'AB=CD

，ZABD=ZCDB-

BF=DE

.,.△ABEZACDF(SAS),

：.AF=CE.

8.(2023春?岑溪市期末)如圖，在四邊形ABC。中，AB=CD,BE=DF；AE±BD,CF±BD,垂足分別

為E,F.

(1)求證：△ABEgACDF；

(2)若AC與2。交于點。，求證：AO^CO.

__________________>D

w【分析】(1)由“ASA”可證△ABE0ACDP；

(2)由全等三角形的性質可得4E=CF,可證四邊形AECF是平行四邊形，可得AO=CO.

【解答】證明：(1)-：AB//CD,

：.NABE=NCDF,

在△ABE和△CDF中，

，ZABE=ZCDF

'BE=DF，

ZAEB=ZCFD=90°

.,.△ABE/ACDF(ASA)；

(2)如圖，

,/AABE咨ACDF,

：.AE=CF,

\'AE±BD,CFLBD,

：.AE//BD,

四邊形AECF是平行四邊形,

C.AO^CO.

9.(2023春?梅州期末)如圖，在△ABC中，A3=AC=3,NB=42°,點。在線段2C上運動(點。不與

點、B、C重合)，連接A。，作乙4?！?42°,交線段AC于點E.

(1)當/8OA=118°時，ZEDC=°,ZAED=°；

(2)若OC=3,試說明名△QCE；

(3)在點。的運動過程中，△AOE的形狀可以是以AE為腰的等腰三角形嗎？若可以，求N3D4的度

數(shù)；若不可以，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)三角形內角和定理得到N8AD=25°,根據(jù)等腰三角形的性質得到/C=/8=42°,

根據(jù)三角形內角和定理計算，得到答案；

(2)當。C=3時，利用,ZADB+ZEDC^14Q°,得到NAr>B=N￡)￡C,根據(jù)

AB=DC=3,證明△A8D咨△￡)(?￡；

(3)分Dk=DE、AE=A。、EA=E￡>三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算.

【解答】解：(1),：AB=AC,

.,.NC=N2=42°,

"：ZADE=42°,ZBDA=118°,

VZEr>C=180°-ZADB-ZA￡)E=20°,

:./AED=NEDC+NC=20°+42°=62°,

故答案為：20；62；

(2)當￡)C=3時，XABD經XDCE,

理由：VAB=3,DC=3,

：.AB^DC,

VZC=42°,

.,.ZZ)EC+Z￡￡>C=138O,

ZADE=42°,

AZADB+Z￡DC=138°,

ZADB=ZDEC,

在△A3。和△DCE中，

,ZADB=ZDEC

-ZB=ZC，

AB=DC

.?.△ABDmADCE(A4S)；

(3)當/2ZM的度數(shù)為110°或80°時，△?1￡>￡的形狀是等腰三角形，

①當ZM=Z)E時，ZDAE=ZDEA=10°,

：.ZBDA=ZDAE+ZC^10°+42°=112°；

②當A￡>=AE時，ZAED=ZADE=42°=ZC,

此時，點。與點8重合，不合題意；

③當EA=E。時，ZEAD=ZADE=42°,

ZBDA=ZEAD+ZC=42°+42°=84°；

綜上所述，當/BD4的度數(shù)為112?；?4°時，△>!￡>￡的形狀是等腰三角形.

10.(2023春?甘州區(qū)校級期末)已知△ABC,點。、/分別為線段AC、AB上兩點，連接班)、CB交于點E.

(1)若B￡>_LAC,CF±AB,如圖1所示，NA+/BEC=度；

(2)若BD平分NA2C,CF平分NACB,如圖2所示，試說明此時NBAC與/BEC的數(shù)量關系；

(3)在(2)的條件下，若N8AC=60°,試說明：EF=ED.

【分析】(1)根據(jù)余角的性質得到Nr>EC=/A4C,由于NOEC+ZBECulSO。，即可得到結論；

(2)根據(jù)角平分線的性質得到NEBC=』ABC,NECB=L/ACB,于是得到結論；

22

(3)作/BEC的平分線交BC于由/BAC=60°,得到/BEC=90°+L/BAC=120°,求得

2

NFEB=NDEC=60°,根據(jù)角平分線的性質得到N2EM=60°,推出△EBE四根據(jù)全等三角

形的性質得到￡尸=￡加，同理DE=EM,即可得到結論.

【解答】解：(1)'：BD±AC,CF±AB,

：.ZDCE+ZDEC=ZDCE+ZFAC=9Q°,

：.ZDEC=ABAC,NDEC+NBEC=18?！?

：.ZBAC+ZBEC=180°；

故答案為：180.

(2)平分/ABC,CP平分乙4C2,

：.ZEBC^—7ABC,NECB=I/ACB,NBEC=180°-(NEBC+NECB)=180。-工(ZABC+

222

ZACB)=180°(180°-ZBAC)=90°+^ZBAC；

22

(3)作NBEC的平分線EM交2C于M,

VZBAC=60°,

：.ZBEC=90°+//B4C=120。，

；.NFEB=NDEC=60°,

：EM平分/BEC,

AZBEM=60°,

在△FBE與△EBM中，

，ZFBE=ZEBM

(BE=BE，

ZFEB=ZMEB

.?.△EBEg△EBM,

：.EF=EM,同理。E=EM,

：.EF=DE.

圖2

11.(2023春?佛山月考)已知，如圖1,在△ABC中，4。為△ABC的中線，E為A。上一個動點(不與點

A,。重合).分別過點E和點C作A8與A。的平行線交于點R連A?

(1)求證：AF=BE；

(2)如圖2,延長BE交AC于點G,若8GLAC,S.AD=BG,請判斷EG與AE的數(shù)量關系，并說明

理由.

FF

【分析】（1）過點。作交尸C于點M,連接AM,證明△AB。絲△兒。C（ASA）,推出

再證明四邊形EDMF和四邊形ABEF是平行四邊形，可得結論；

（2）過點D作DN〃BG交AC于點N,根據(jù)平行線分線段的性質得CN=GN,根據(jù)三角形中位線定理得

DN=LBG,再根據(jù)直角三角形邊角的關系得/D4N=30°,可得結論.

2

【解答】（1）證明：如圖1中，

圖I

過點D作DM//AB交FC于點M,連接AM,

9：DM//AB,

：./MDC=NABD,

VCF//AD.

：.ZMCD=ZADB,

???A。是△ABC的中線，

：.BD=DC,

：.AABD^AMDC(ASA),

：.AB=MD,

'：AB//EFf

J.EF//DM,

'JDE//FM,

???四邊形成加^是平行四邊形,

:?DM=EF,

：.AB=EF,

，四邊形ABEF是平行四邊形，

：.AF=BE；

(2)解：EG=^AE,

2

理由：如圖2中，過點。作。N〃3G交AC于點N,

圖2

,:BD=CD,DN//BG,

：.CN=GN,

:.DN=LBG,

2

'：AD=BG,

：.DN^—AD,

2

VBGXAC,DN//BG,

：.DN±AC,

:.NAND=90°,

:.NDAN=3Q°,

：.EG=^-AE.

2

12.(2023春?子洲縣期末)【問題背景】

如圖，AB//CD.連接BC,點E,尸在8C上，且BP=CE,連接AE,DF,且NA=/Z).

【問題探究】

(1)試說明：AE=DF：

(2)若A2=CR

①試判斷△CDF的形狀，并說明理由：

②若/8=30°,求/。/由的度數(shù).

AB

【分析】(1)根據(jù)A8〃C￡＞可證明NB=NC,根據(jù)2尸=CE可證明BE=CR再依據(jù)A4s證明△ABEg

△DCF即可得到結論；

(2)①證明CO=CF即可得出結論；

②由平行線的性質得出/C=30°,再根據(jù)尸是等腰三角形求底角的度數(shù)即可解答.

【解答】解：(1),：AB//CD,

；.NB=NC,

■;BF=CE,

：.BF+EF=CE+EF.BPBE=CF,

在△ABE和△OCF中，

VZA=ZD,ZB=ZC,BE=CF,

.,.△ABE咨ADCF(AAS),

：.AE=DF；

(2)①△CD尸是等腰三角形；

理由：,/AABE^ADCF,

：.AB=CD,

'：AB^CF,

：.CD=CF,

...△CD尸是等腰三角形；

@'：AB//CD,ZB=30",

.,.ZC=ZB=30°,

：△CD尸是等腰三角形，

-'?ZD=ZCFD=yX(180°-30°)=75°，

：.ZDFB=180°-ZCFD=105°.

13.(2023春?漳州期末)如圖，在△ABC中，A8=AC,點。，E分別在邊AC,BC上，連接AE,BD交于

點R/BAC=/BFE=2/AEB.

(1)說明：NEAC=NABD；

(2)若BD平分NABC,BE^15,A尸=6,求48所的面積；

(3)判斷歷，BF,A尸之間的數(shù)量關系，并加以說明.

A

D

BEC

【分析】(1)根據(jù)NBAE+NEAC=NBAC,ZBAE+ZABD=ZBDC,ZBAC=ZBFE,即可證明結論;

(2)過點/作BG_LBC于點G,求出/A2E+NA￡B=90°,得出/BAE=180°-90°=90°,證明E4

±AB,根據(jù)角平分線的性質得出FG=AF=6,根據(jù)三角形面積公式求出

SABEF-j-BEXFG=yX15X6=45=

(3)在8。上截取BH=AE,連接AH,證明△ABH之△C4E(SAS),得出NAEC,NC=/BAH,

證明NH4b=NA"R得出AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,即可證明結論.

【解答】(1)證明：VZBAE+ZEAC=ABAC,NBAE+/ABD=/BDC,

又?；NBAC=NBFE,

：.NBAE+/EAC=/BAE+NABD,

：.ZEAC=ZABD；

(2)解：過點尸作/G_L3C于點G,如圖所示：

*：AB=ACf

：.NABE=/C,

：.ZBAC=1SO°-2AABE,

?'-ZAEB=yZBAC=90°-/ABE，

AZABE+ZAEB=90°,

：.ZBAE=180°-90°=90°,

：.FA.LAB,

,.?5。平分NA5C,FGLBC,

：.FG=AF=6f

SABEF=yBEXFG=yX15X6=45；

(3)解：2AF=BF-EF；理由如下：

在8。上截取B4=AE,連接A”,如圖所示:

在△ABH和△CAE中，

，AB=AC

-ZABH=ZCAE>

BH=AE

AABH^ACAE(SAS),

?.ZAHB=ZAEC,NC=NBAH,

ZAHF=ZAEB-|ZBAC=y(180°-2ZC)=90°-NG

根據(jù)解析(2)可知，ZBAE=90°,

：.ZHAF=90°-ZBAH=90°-ZC,

：.ZHAF=ZAHF,

：.AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,

：.2AF=BF-EF.

14.(2023春?宣漢縣校級期末)已知：ZACB=9Q°,AC=BC,ADICM,BELCM,垂足分別為。，E,

（1）如圖1,把下面的解答過程補充完整，并在括號內注明理由.

①線段和3E的數(shù)量關系是：CD=BE；

②請寫出線段A。，BE,OE之間的數(shù)量關系并證明.

解：①結論：CD=BE.

理由：'：AD±CM,BELCM,

：.ZACB=NBEC=ZADC=90°,

/.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=9Q°,

/.ZACD=_____________

在△ACD和△C2E中，（）

AAACD^ACBE,（）

：.CD=BE.

②結論：AD=BE+DE.

理由：VAACD^ACBE,

CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

(2)如圖2,上述結論②還成立嗎？如果不成立，請寫出線段ADBE,DE之間的數(shù)量關系.并說明理

由.

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等，全等三角形的判定和性質即可解決問題；

(2)結論：DE-BE=AD,只要證明△ACO也△C2E即可解決問題；

【解答】解：(1)'：AD±CM,BELCM,

：.ZACB=NBEC=ZADC=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

NACD=NCBE

fZADC=ZBEC

在△AC。和△CBE中，(，ZACD=ZCBE)

AC=BC

.,.△AC。也△CBE,(AAS)

:.CD=BE.

②結論：AD=BE+DE.

理由：V/\ACD^/\CBE,

：.AD=CE

,/CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

，ZADC=ZBEC

故答案為：ZCBE,，ZACD=ZCBE-A4S,AD=CE.

AC=BC

(2)不成立，結論：DE-BE=AD.

理由：'：AD±CM,BE1.CM,

：.ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

AZACD+ZBCE^90°,NBCE+NCBE=9Q°,

ZACD=ZCBE

在△AC。和中，

，ZADC=ZBEC

<ZACD=ZCBE>

AC=BC

:.△ACDQXCBE,(AAS)

：.AD=CE,CD=BE,

：.DE-BE=DE-DC=CE=AD.

圖2

15.(2022秋?鄒城市校級期末)(1)如圖①，在四邊形ABCZ)中，AB=AD,ZB=Z￡)=90°,E,尸分別

是邊BC,CD上的點，且/胡尸=工/胡。.請直接寫出線段EFBE,FD之間的數(shù)量關系：；

2----

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+Z￡>=180°,E,尸分別是邊BC,CD上的點，且/

EAF=L/BAD,(1)中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；

2

(3)在四邊形A2CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E,歹分別是邊BC,C。所在直線上的點，且/

請直接寫出線段ERBE,如之間的數(shù)量關系：

【分析】(1)如圖1,延長班到G,使BG=D尸,連接AG,即可證明△ABGg/XADR可得AF=AG,

再證明△AM0ZvlEG,可得EF=EG,即可解題；

(2)如圖2,同理可得：EF=BE+DF；

(3)如圖3,作輔助線，構建△ABG,同理證明咨和AAEG

^AAEF.可得新的結論：EF=BE-DF.

【解答】解：(1)如圖1,延長班到G,BG=DF,連接AG.

:在△ABG與△AO尸中，

'AB=AD圖1

"NABG=NADF=90°，

BG=DF

/.AABG^AADF(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

.?.Z1+Z3=Z2+Z3=AZBAD=Z￡AF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易證△AEG絲△AEF.

：.EG=EF.

;EG=BE+BG.

；.EF=BE+FD

(2)(1)中的結論仍然成立.

理由是：如圖2,延長即到G,使BG=。尸，連接AG.

VZABC+Z￡>=180°,ZABG+ZABC=180°,

ZABG=ZD,

:在△ABG與△AO尸中，

圖2

'AB=AD

</ABG=ND，

BG=DF

AABG^AADF(.SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

：.Z\+Z3=Z2+Z3=^-ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

：.AAEG出AAEF.

：.EG=EF.

'：EG=BE+BG.

:.EF=BE+FD

(3)當(1)結論EF=BE+FD成立,

當圖三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

證明：在BE上截取BG,使連接AG.

VZB+ZA￡)C=180°,ZADF+ZADC=ISO°,

ZB=ZADF.

:在與△&￡(尸中，

'AB=AD

<NABG=/ADF，

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG^AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=/EAF=L/BAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

'：AE=AE,

:.△AEG<AAEF(SAS).

：.EG=EF

；EG=BE-BG

:.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

；EG=BG-BE

：.EF=FD-BE.

故答案為：⑴EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.

16.(2023春?榮成市期末)已知在△ABC中，AC=BC,分別過A,8兩點作互相平行的直線AM,BN,過

點C的直線分別交直線AM,BN于點、D,E.

(1)如圖1,若求證：CD=CE；

(2)如圖2,ZABC=ZDEB=60°,判斷線段AD,OC與BE之間的關系，并說明理由.

圖1圖2

【分析】(1)延長AC交8N于點R證明△AOC四△f'EC(ASA),即可得出結論;

(2)在EB上截取E"=EC,連接CH,證明4cg△8CBADiy

一.

(AA5),得出AO=C”，DC=BH,即可得出結論.

【解答】(1)證明：如圖1,延長AC交于點R

'：AC^BC,BEF

：.ZCAB=ZCBA,圖1

：.ZBAM=9Q°,

又,：AM〃BN,

：.ZBAM+ZABN=180°,

/.ZABN=90°,

/.ZBAF+ZAFB=90°,ZABC+ZCBF=90°,

：.ZCBF=ZAFB,

：.BC=CF,

：.AC=FC,

又'CAM//BN,：.ZDAF=ZAFB,

，ZDAC=ZEFC

在△&￡>(?和△BEC中，，AC=FC，

ZACD=ZFCE

:.△ADCZAFEC(ASA),

：.DC=EC；

(2)解：AD+DC=BE；理由如下：

如圖2,在EB上截取EH=EC,連接C”，

,：AC^BC,ZABC=60°,

.?.△ABC為等邊三角形，

■:/DEB=60°,

...△C”E是等邊三角形，

圖2

：.ZCHE=60°,ZHCE=60°,

；./BHC=120°,

'JAM//BN,

：.ZA￡)C+ZBEC=180°,

：.ZA￡)C=120°,

/.ZDAC+ZDCA=60°,

又：/OCA+/AC8+/BCH+/"CE=180°,

：.ZDCA+ZBCH=60°,

ZDAC=ZBCH,

fZDAC=ZHCB

在△ZMC與△HCB中，，ZADC=ZCHB>

AC=CB

:.△DA8AHCB(AAS),

:.AD=CH,DC=BH,

又?：CH=CE=HE,

：.BE=BH+HE^DC+AD,

即AD+DC=BE.

17.（2023春?吉安縣期末）如圖，△ABC中，。為A3的中點，AO=5厘米，/B=NC,BC=8厘米.

（1）若點尸在線段BC上以3厘米/秒的速度從點8向終點C運動，同時點。在線段C4上從點C向終

點A運動，若點。的速度與點尸的速度相等，經1秒鐘后，請說明△8P。gZkCOP；

（2）若點尸以3厘米/秒的速度從點B向點C運動，同時點。以5厘米/秒的速度從點C向點A運動,

它們都依次沿△ABC三邊運動，則經過多長時間，點。第一次在△ABC的哪條邊上追上點尸？

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得到NB=NC,再加上BP=CQ=3,PC=BD=5,則可判斷△BPD

與△CQP全等；

（2）設經過x秒后，點。第一次追上點P,由題意得5x-3x=2X10,解方程得到點P運動的路程為3

X10=30,得到此時點P在BC邊上，于是得到結果.

【解答】解：（1）：BP=3X1=3,C2=3X1=3,

：.BP=CQ,

:。為A2的中點，

：.BD=AD^5,

,:CP=BC-BP=5,

：.BD=CP,

在△BP。與△C。尸中，

'BD=CP

-ZB=ZC-

BP=CQ

:.ABPD咨ACQP（SAS）；

（2）設經過x秒后，點。第一次追上點P,由題意得5x-3x=2X10,

解得：尤=10,

.1?點P運動的路程為3X10=30,

V30=28+2,

此時點P在BC邊上，

,經過10秒，點。第一次在2C邊上追上點P.

18.（2022秋?葫蘆島期末）在等腰△ABC中，AB^AC,。為AB上一點，￡為C。的中點.

（1）如圖1,連接AE,作E8_LAC,若AD=28。，S^BDC=6,EH=2,求A8的長.

（2）如圖2,尸為AC上一點，連接8尸，BE.若NBAC=NABE=/CBF,求證：BD+CF=AB.

A

【分析】(1)利用三角形面積之間的關系進行轉化，可得：S“EC=6,再利用三角形面積公式可求得A2

=6；

(2)通過倍延中線構造全等三角形的方法，延長2E至G,使EG=BE,連接CG,則

(SAS),再證明：AABF^AGBC(AAS)即可.

【解答】⑴解：?.ND=2B￡),SABDC=6,

SAACD=2SMCD=2X6=12,

:E為CD中點，

S^ACE——S/^ACD—6r

2

'JEHLAC,

；.^AC-EH=6,

2

,:EH=2

；.AC=6

'：AB=AC

；.AB=6

(2)證明：如圖2,延長BE至G,使EG=BE,連接CG,

在△BE。和△GEC中,

'BE=EG

<ZBED=ZGEC-

DE=CE

:ABED咨4GEC(SAS),

：.BD=CG,/ABE=/G,

\'AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

即：ZABF+ZCBF=ZACB,

?：/BAC=/CBF,

：.ZABF+ZBAC=ZACB.

:ZBFC=AABF+ABAC,

：.ZBFC=/ACB,

；?BF=BC,

'：ZBAC=NABE=/CBF,

：.ZBAC=ZG,ZABF+ZEBF=NCBG+NEBF,

：.ZABF=/GBC,

在△AB尸和△G8C中，

2BAC=NG

,NABF=NGBC，

BF=BC

AAABF^AGBC(A4S),

：.AF=CG,

又?；BD=CG,

:?AF=BD,

VAF+CF=AC,AB=AC,

：.BD+CF=AB.

19.(2022秋?萊州市期末)在△ABC中，AB=AC,。是邊3C上一點，點石在AO的右側，線段AE=AO,

且N0AE=N3AC=a.

(1)如圖1,若a=60°,連接CE,DE.則NAOE的度數(shù)為；8D與CE的數(shù)量關系是.

(2)如圖2,若a=90°,連接EC、BE試判斷的形狀，并說明理由.

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)已知條件證明△△￡>￡是等邊三角形，然后證明△A3。絲△%(?￡(SAS),即可解決問題;

(2)根據(jù)已知條件證明△48C,△相>￡是等腰直角三角形，然后證明△A8O0Z\ACE(SAS),可得

=ZACE=45°,進而可以解決問題.

【解答】解：(1)當NZME=/BAC=a=60°時，

'：AE^AD,ZDAE^6Q°,

.?.△ADE是等邊三角形，

ZADE=60°,

'：AB=AC,ZBAC=60°,

...△ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,

NDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC,即ZCAE=ABAD,

在△ABO和AACE中，

，AB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,

故答案為：60°,BD=CE；

(2)ABCE是直角三角形，理由如下：

當NZMEnNBACnangO。時，

.,.△ABC,ZVIDE是等腰直角三角形，

ZDAE-ZCAD=ZBAC-ZCAD,即ZBAD=ACAE,

在△A3。和△人(7￡■中，

，AB=AC

，ZBAD=ZCAE-

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS),

AZABD=ZAC￡=45°,

ZBCE=ZACB+ZACE=9Q°,

.二△BCE是直角三角形.

20.(2023春?本溪期末)在△ABC中，A8=AC,點D在射線BA上，點E在AC的延長線上，且BD=CE.連

接DE,與BC邊所在的直線交于點?

(1)當點。在線段R4上時，如圖所示，求證：DF=EF.

(2)過點。作DHLBC交直線BC于點"若BC=4,CF=1,求應/的長是多少？

AA

D

B------------------------------------------------------------------

備用圖

【分析】（1）過點。作0G〃AC交BC于點G,利用平行線的性質和等邊對等角證明NDG8=NB,得

到5D=G。，進而推出GO=CE,再證明△OG/gZXEC—即可證明。尸=EF；

（2）分當點。在線段A5上時，過點E作EOLBC,交5c延長線于O,當點。在R4的延長線上時，

過點E作EOLBC交BC的延長線于點0,先證明得到5"=C0,進而求出“0=4,

再證明△?！ㄊ魇疧R得至"HF=0F=2,再根據(jù)線段之間的關系求出的長即可.

【解答】（1）證明：過點。作。G〃AC,交BC于點G.

ZDGB=ZACB,

VAB=AC,

???NB=NACB,

：.ZDGB=ZB,

:?BD=GD,

■:BD=CE,

：.GD=CE,

\*DG//AC,

：.ZGDF=ZCEFfZDGF=AECF,

在△DG尸和尸中

'/GDF=NCEF

<GD=CE，

ZDGF=ZECF

:?△DGF/AECF(ASA),

:?DF=EF；

(2)解：如圖所示，當點。在線段A3上時，過點E作￡0,3。，交3c延長線于0,

VAB=AC,

/./B=ZACB=/OCE,

XVZDHB=ZEOC=90°,BD=CE,

???△DHB咨LEOC(A4S),

:,BH=CO,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4,

VZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,=EF(由第一小問已經證明),

:?△DHFm/\EOF(AAS),

?■?HF=0F=yH0=2-

VCF=1,

當點。在BA的延長線上時，過點E作EOLBC交BC的延長線于點O,

同理可證△D/ffigzXEOC,△DHF妾AEOF,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4,

?*-HF=OF=yHO=2>

,:CF=1,

BH=CO=0F+C尸=2+1=3；

綜上所述，①/的長為1或3.

D

21.(2023春?東源縣期末)如圖，AE與8。相交于點C,AC=EC,BC=DC,4B=8c7w,點P從點出發(fā),

沿A-B-A方向以2c機/s的速度運動，點。從點。出發(fā)，沿。一E方向以心機/s的速度運動，P、。兩點

同時出發(fā)，當點尸到達點A時，P、。兩點同時停止運動，設點尸的運動時間為f(s).

(1)求證：AB//DE.

(2)寫出線段AP的長(用含f的式子表示).

【分析】(1)證明△ABC四△EOC(SAS),可得NA=/E,然后根據(jù)內錯角相等兩直線平行即可得出結

論；

(2)分兩種情況討論：當時，AP=2tcm,當4<fW8時，BP=(2f-8)cm,可得AP=8-(2?

-8)=(16-2f)cm,進而可以解決問題；

(3)先證△ACP四△EC。(ASA),得AP=EQ,再分兩種情況列方程求解即可.

【解答】(1)證明：在△ABC和△EDC中，

fAC=EC

<ZACB=ZECD,

BC=DC

AAABC^AEDC(SAS),

ZA=Z￡,

(2)解：當0WfW4時，AP=2tcm,

當4<fW8時，BP=(2L8)cm,

：.AP=8-⑵-8)=(16-2。cm,

線段AP的長為2tcm或(16-2t)cm-,

(3)解：根據(jù)題意得

則EQ—(8-f)cm,

由(1)得：AA—ZE,ED—AB—Scm,

在△ACP和△EC。中，

fZA=ZE

<AC=EC，

ZACP=ZECQ

.?.△ACP峪△EC。(ASA),

：.AP=EQ,

當0W/W4時，2r=8-t,

解得:t=—；

3

當4V/W8時,16-2Z=8-t,

解得：f=8；

綜上所述，當線段尸。經過點C時，f的值為6或8.

3

22.(2023春?梅江區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC=S,8C=12,點。從8出發(fā)以每秒2個單位的

速度在線段BC上從點B向點C運動，點E同時從C出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段CA上向點A運

動，連接A。、DE,設。、E兩點運動時間為/秒(0<f<4)

(1)運動秒時，AE=ADC；

3

(2)運動多少秒時，能成立，并說明理由；

(3)若乙ABD咨ADCE,ZBAC^a,則(用含a的式子表示).

【分析】(1)依據(jù)2D=CE=2t,可得CD=12-2f,AE=8-It,再根據(jù)當AE=2OC,時，8-2t=—(12

33

-It'),可得t的值；

(2)當△ABDgADCE成立時，A2=CO=8,根據(jù)12-2f=8,可得f的值；

(3)依據(jù)/C￡)E=NBA￡),ZAZ)E=180°-ZCDE-ZADB,ZB=Z180°-ZBAD-ZADB,即可

得到再根據(jù)NR4C=a,AB^AC,即可得出/ADE.

【解答】解：(1)由題可得，BD=CE=2t,

：.CD=U-26AE=8-2t,

.,.當時，8-2f=』(12-2r),

33

解得t=3,

故答案為：3；

(2)當△A3。也△￡>€：￡；成立時，AB=CD=S,

A12-2r=8,

解得t=2,

???運動2秒時，△A5O之△OCE能成立；

(3)當△ABDgADCE時,ZCDE=ZBADf

又???NAOE=180°-/CDE-/ADB,ZB=Z180°-ZBAD-ZADB,

：./ADE=NB,

又???N3AC=a,AB=AC,

：.ZADE=ZB=^(180°-a)=90°-2a.

22

故答案為：90°-Aa.

2

23.（2022秋?通川區(qū)期末）已知：△A8C是等腰三角形，CA=CB,0°<NACB<90°.點M在邊AC上，

點N在邊8C上（點M、點N不與所在線段端點重合），BN=AM,連接AMBM,射線AG〃8C,延長

交射線AG于點。，點E在直線AN上，5.AE^DE.

（1）如圖，當/AC8=90°時；