數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．在一次籃球比賽中，某支球隊共進行了8場比賽，得分分別為，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A．38 B．39 C．40 D．412．直線的方向向量是（

）A． B． C． D．3．裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③4．若直線：與直線：平行，則的值為（）A．2 B． C．2或 D．或5．設(shè)，，，，且，，則（

）A． B． C．3 D．6．如圖，平行六面體中，E為BC的中點，，，，則（

）A．B．C． D．7．在如圖所示的電路中，三個開關(guān)，，閉合與否相互獨立，且在某一時刻，，閉合的概率分別為，，，則此時燈亮的概率為（

）

A． B． C． D．8．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線：，下列說法正確的是（

）A．直線過定點-1,1B．當時，關(guān)于軸的對稱直線為C．點到直線的最大距離為D．直線一定經(jīng)過第四象限10．已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（

）A．若與互斥，則B．若與相互獨立，則C．若，則與相互獨立D．若發(fā)生時一定發(fā)生，則11．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．非零向量，，若，則B．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個點，，，，，則，，三點共線第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)5，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.13．直線l的方向向量為，且l過點,則點到直線l的距離為.14．在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為170和10，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和15.則估計出總樣本的方差為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點的坐標.16．第22屆亞運會已于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為慶祝這場體育盛會的勝利召開，某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，，，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．(1)求這3人中至多有2人通過初賽的概率；(2)求這3人都參加市知識競賽的概率；(3)某品牌商贊助了社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了獎勵方案：只參加了初賽的選手獎勵200元，參加了決賽的選手獎勵500元．求三人獎金總額為1200元的概率．17．某省實行“”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級學(xué)生的生物成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定共五個等級，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分．其中，等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；現(xiàn)從全年級的生物成績中隨機抽取名學(xué)生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如下圖：

(1)求圖中的值；(2)從生物原始成績?yōu)榈膶W(xué)生中用分層抽樣的方法抽取人，從這人中任意抽取人，求人均在的概率；(3)用樣本估計總體的方法，估計該校本次生物成績原始分不少于多少分才能達到賦分后的等級及以上（含等級）？（結(jié)果保留整數(shù)）18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.19．在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子、分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記.(1)證明：平面；(2)當為何值時，的長最小并求出最小值；(3)當?shù)拈L最小時，求平面與平面夾角的余弦值.

數(shù)學(xué)答案參考答案：題號12345678910答案BABCDBDBABCBC題號11答案ABD1．B解析：8場比賽的得分從小到大排列為：25，29，30，32，37，38，40，42，因為，所以第75百分位數(shù)為.故選：B.2．A解析：直線的斜率為12，所以方向向量是.故選：A.3．B解析：解：設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.故選：B4．C解析：直線：與直線：平行，則，解得或，當時，此時直線：與直線：平行，當時，此時直線：與直線：平行，故或故選：C5．D解析：因為，且，所以，解得，所以，又因為，且，所以，所以，所以，所以，故選：D.6．B解析：在平行六面體中，E為BC的中點，所以.故選：B7．D解析：此時燈亮由兩個獨立事件組成，即開關(guān)同時閉合和開關(guān)同時閉合，由這兩個獨立事件至少有一組閉合，燈就一定亮，而它的對立事件是這兩個獨立事件同時都不滿足閉合，所以燈亮的概率為.故選：D.8．B解析：根據(jù)題意進行類比，在空間任取一點，則，平面的法向量為，，所以該平面的方程為.故選：B.9．ABC解析：對于A，由直線，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點-1,1，所以A正確；對于B，當時，直線，在直線上取兩點，則點關(guān)于軸對稱的點，點B-2,0關(guān)于軸對稱的點，所以關(guān)于軸對稱直線為，即，所以B正確；對于C，由A項知直線過定點，則當直線時，點到直線的距離最大，最大距離為，所以C正確；對于D，直線不一定經(jīng)過第四象限，比如：當k=1時，直線：不經(jīng)過第四象限，所以D錯誤.

故選：ABC.10．BC解析：對于選項A，因為與互斥，則，所以選項A錯誤，對于選項B，與相互獨立，則，所以選項B正確，對于選項C，因為，所以，由相互獨立的定義知與相互獨立，所以選項C正確，對于選項D，因為發(fā)生時一定發(fā)生，所以，則，所以選項D錯誤，故選：BC.11．ABD解析：對于，非零向量，，若，則，正確；對于，若對空間中任意一點，有，，，，，四點共面，故正確；對于，∵∴共面，不可以構(gòu)成空間的一組基底，故錯誤；對于，若空間四個點，，，，，∵，則，，三點共線，故正確．故選：．12．17解析：由條件可知，那么.故答案為：13．解析：，點到直線l的距離為.故答案為：.14．37解析：由題意知，總樣本的平均數(shù)為，總樣本的方差為.故答案為：3715．(1)(2)直線的方程為：，解析：（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點的坐標為．16．(1)(2)(3)解析：（1）由題意可得：3人全通過初賽的概率為，所以這3人中至多有2人通過初賽的概率為；（2）甲參加市知識競賽的概率為，乙參加市知識競賽的概率為，丙參加市知識競賽的概率為，所以這3人都參加市知識競賽的概率為；（3）由題意可得：要使得獎金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，記“甲、乙、丙三人獲得獎金之和為1200元”為事件，則.17．(1)(2)(3)分解析：（1），.（2）原始分在和的頻率之比為，抽取的人中，原始分在的人數(shù)為，記為；原始分在的人數(shù)為，記為；則從人中抽取人所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，共個基本事件；其中抽取的人原始分均在的結(jié)果有：，，，，，，共個基本事件；人均在的概率.（3）由題意知：等級排名占比為，則原始分不少于總體的中位數(shù)才能達到賦分后的等級及以上（含等級）；，，中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，原始分不少于分才能達到賦分后的等級及以上（含等級）.18．（1）見解析；（2）；（3）存在，解析：試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點，連結(jié)，，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因為平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（2）取的中點，連結(jié)，，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點，則存在使得.因此點.因為平面，所以平面當且僅當，即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時.考點：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計算；3.空間向量的運用.19．(1)證明見解析(2)時，最小為(3)解析：（1）證明：因為四邊形為正方