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第五章

一元一次方程

——3一元一次方程的應(yīng)用第2課時

《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？”你知道我國古人是如何解決這個問題的嗎？“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？”題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出8錢，則會多出3錢，若每人出7錢，則還少4錢.問合伙的人數(shù)和物品的價格分別是多少？(1)問題中有哪些已知量和未知量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？已知量：每人出8錢，多出3錢，每人出7錢，少4錢.未知量：合伙的人數(shù)、物品的價格.第一種出錢總數(shù)-3=第二種出錢總數(shù)+4思考(2)設(shè)人數(shù)為x，其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎？請完成下表.有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)x出錢總數(shù)物價8x

x

7x

8x

-37x+4思考思考(3)根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？設(shè)人數(shù)為x.根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：.解這個方程，得x=.因此，人數(shù)為

，物價為.77538x

-3=7x+4利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法.如果設(shè)物價為y，你能列出怎樣的方程？與同伴進(jìn)行交流.思考有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)出錢總數(shù)物價y+3y-4yy列方程得：解得

y=53.你比較喜歡用哪種方式列方程呢？“盈不足”問題解題關(guān)鍵是確定等量關(guān)系，方法有兩種.根據(jù)人數(shù)不變找等量關(guān)系；根據(jù)物價不變找等量關(guān)系.歸納例《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數(shù)、金價各幾何？題目大意：幾個人合伙買金，每人出400錢，會多出3400錢；每人出300錢，會多出100錢.合伙人數(shù)、金價各是多少？分析：設(shè)人數(shù)為x，你能把下表補充完整嗎？有關(guān)量每人出400錢每人出300錢人數(shù)x出錢總數(shù)金價400x

400x

-3400x

300x

300x

-100例《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數(shù)、金價各幾何？題目大意：幾個人合伙買金，每人出400錢，會多出3400錢；每人出300錢，會多出100錢.合伙人數(shù)、金價各是多少？解：設(shè)合伙人數(shù)為x，則金價可表示為（400x

-3400）錢，還可表示為（300x

-100）錢，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：400x-3400=300x-100解這個方程，得x=33.300×33-100=9800.因此，人數(shù)為33，金價為9800錢.方程的兩邊就是金價的兩種不同的表達(dá)式.實際問題建立模型確定等量關(guān)系列表分析列方程并求解歸納總結(jié)求解思路應(yīng)用求解古數(shù)學(xué)盈虧問題歸納列一元一次方程求解古數(shù)學(xué)盈虧問題的基本思路：有關(guān)量每人出400錢每人出300錢人數(shù)出錢總數(shù)金價y思考交流(1)對于例題，如果設(shè)金價為

y，能列出怎樣的方程？y+3400y

y+100可列方程得：思考交流(2)《九章算術(shù)》給出了一種算法：

人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差；物價=每人出的較多錢數(shù)×人數(shù)-剩余錢數(shù)，或物價=每人出的較少錢數(shù)×人數(shù)+不足的錢數(shù).你能理解這種解法嗎？與方程的求解過程相比，有什么不同？與同伴進(jìn)行交流.解方程→順向思考算式方法→逆向思考1.《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測井，若將繩三折測之,繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.問繩長、井深各幾何?”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺.問繩長和井深各多少尺？假設(shè)井深為x尺，則符合題意的方程應(yīng)為()A.13x

-4=14x

-1B.3x+4=4x+1C.13x+4=14x+1D.3(x+4)=4(x+1)D2.我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩:“庭前孩童鬧如簇，不知人數(shù)不知梨.每人四梨多十二，每人六梨恰齊足.”其大意是：孩童們在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4個梨，多12個梨；每人分6個梨,恰好分完.設(shè)梨有x個，則可列方程為

.

3.隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.問:人、銀各幾何?(選自《算法統(tǒng)宗》)題目大意:幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩:若每人分9兩，則差8兩.有多少個人?有多少兩銀子?分析：設(shè)人數(shù)為x.有關(guān)量每人分7兩每人分9兩人數(shù)x出錢總數(shù)銀錢數(shù)7x

7x+4x

9x

9x

-83.隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.問:人、銀各幾何?(選自《算法統(tǒng)宗》)題目大意:幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩:若每人分9兩，則差8兩.有多少個人?有多少兩銀子?解：設(shè)人數(shù)為x.7x+4=9x

-8根據(jù)題意，可列方程得：解得：x=67×6+4=46(兩).因此，有6個人，有46兩銀子.4.雞兔同籠是我國古代三大算術(shù)題目之一,最早記載于《孫子算經(jīng)》中,距今約1500年,原文如下:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?翻譯成現(xiàn)代漢語就是:有若干只雞和兔子在同一個籠子里,從上面數(shù)共有35個頭,從下面數(shù)共有94只腳,雞和兔子各有多少只?解：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只.根據(jù)題意,得2x+4(35-x)=94，解這個方程，得x=23.