必修五簡單的線性規(guī)劃演講人：日期：目錄contents線性規(guī)劃基本概念線性規(guī)劃圖解法單純形法求解線性規(guī)劃對偶理論與靈敏度分析運輸問題和指派問題求解整數(shù)規(guī)劃問題簡介線性規(guī)劃基本概念01定義線性規(guī)劃是一種數(shù)學方法，用于在給定線性約束條件下，求解線性目標函數(shù)的最優(yōu)解。特點線性規(guī)劃的目標函數(shù)和約束條件都是線性的，這使得問題可以通過數(shù)學方法得到精確解。此外，線性規(guī)劃具有廣泛的應用性，可以應用于各個領域。線性規(guī)劃定義與特點資源分配問題生產(chǎn)計劃問題運輸問題其他問題線性規(guī)劃問題分類01020304涉及如何將有限資源分配給不同部門或項目，以最大化或最小化特定目標。涉及如何安排生產(chǎn)計劃，以滿足市場需求并最小化成本。涉及如何將物品從供應地運輸?shù)叫枨蟮?，以最小化運輸成本。包括投資組合優(yōu)化、網(wǎng)絡流優(yōu)化等。表示要優(yōu)化（最大化或最小化）的線性表達式，通常表示為c^Tx，其中c是目標函數(shù)系數(shù)向量，x是決策變量向量。目標函數(shù)表示決策變量必須滿足的線性等式或不等式，通常表示為Ax<=b或Ax=b，其中A是約束條件系數(shù)矩陣，b是約束條件向量。約束條件滿足所有約束條件的決策變量集合?？尚杏蛟诳尚杏騼?nèi)使目標函數(shù)達到最優(yōu)值的決策變量取值。最優(yōu)解線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃圖解法02滿足所有約束條件的解構(gòu)成的集合，在平面上表現(xiàn)為一個多邊形區(qū)域。可行域最優(yōu)解邊界與頂點在可行域中，使得目標函數(shù)達到最大或最小值的解?？尚杏虻倪吔缬杉s束條件決定，頂點為多條約束條件交匯的點，通常是最優(yōu)解的候選點。030201可行域與最優(yōu)解概念繪制約束條件確定可行域?qū)ふ易顑?yōu)解示例分析圖解法步驟及示例將線性規(guī)劃問題的約束條件轉(zhuǎn)化為直線方程，并在坐標系中繪制出來。通過平移目標函數(shù)直線，觀察其與可行域的交點，確定最優(yōu)解的位置。根據(jù)約束條件的符號（≤、≥、=），確定可行域的范圍。結(jié)合具體例題，展示圖解法的應用過程。圖解法適用于二維平面上的線性規(guī)劃問題，對于高維問題無法直接應用。適用場景有限圖解法需要手工繪制圖形并觀察交點，過程較為繁瑣，容易出錯。手工操作繁瑣由于手工操作和觀察的限制，圖解法的精度可能受到一定影響。精度受限對于大規(guī)模線性規(guī)劃問題，圖解法效率低下，難以實際應用。無法處理大規(guī)模問題圖解法局限性分析單純形法求解線性規(guī)劃03單純形法是一種迭代算法，用于求解線性規(guī)劃問題。它的基本思想是從一個可行解出發(fā)，通過不斷迭代，逐步改善目標函數(shù)值，直到找到最優(yōu)解。單純形法利用線性規(guī)劃問題的特殊結(jié)構(gòu)，通過一系列線性變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一系列等價的子問題，從而逐步逼近最優(yōu)解。單純形法原理簡介大M法通過在原線性規(guī)劃問題中加入人工變量和一個大數(shù)M，構(gòu)造一個新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解即為原問題的初始基可行解。初始基可行解是單純形法迭代過程的起點，可以通過兩階段法或大M法等方法獲取。兩階段法將原問題分為兩個階段進行求解，第一階段求解一個輔助線性規(guī)劃問題，得到一個基可行解，第二階段在保持基可行性的前提下，逐步改善目標函數(shù)值。初始基可行解獲取方法單純形法的迭代過程是通過不斷進行基變換，將非基變量逐一出基，將進基變量換入基中，從而得到新的基可行解。在每次迭代中，需要選取一個合適的非基變量進行出基操作，以及選取一個合適的進基變量進行換入基操作，以保證目標函數(shù)值得到改善。最優(yōu)解判定是通過檢驗所有非基變量的檢驗數(shù)是否均小于等于0來進行的。若所有非基變量的檢驗數(shù)均小于等于0，則當前基可行解即為最優(yōu)解；否則，需要繼續(xù)進行迭代。迭代過程及最優(yōu)解判定對偶理論與靈敏度分析04在數(shù)學規(guī)劃中，每一個線性規(guī)劃問題都存在一個與之相聯(lián)系的對偶問題，對偶問題是從不同角度、用不同提法來描述實質(zhì)相同的問題。對偶問題定義對偶問題具有對稱性，即原問題的對偶問題的對偶問題是原問題；弱對偶性，即原問題的任一可行解所對應的目標函數(shù)值，總是大于等于對偶問題的任一可行解所對應的目標函數(shù)值；強對偶性，即在一定條件下，原問題的最優(yōu)解只由各個約束條件的邊界匯合而成，對偶問題的最優(yōu)解也只由各個約束條件的邊界匯合而成，此時原問題與對偶問題的最優(yōu)解相等。對偶問題性質(zhì)對偶問題定義及性質(zhì)對偶單純形法求解過程確定初始基可行解首先找到一個初始基可行解，這可以通過兩階段法或者大M法來實現(xiàn)。進行最優(yōu)性檢驗計算非基變量的檢驗數(shù)，如果所有檢驗數(shù)都小于等于0，則當前基可行解就是最優(yōu)解，否則需要進行基變換。選擇出基變量與進基變量根據(jù)一定的規(guī)則（如最小檢驗數(shù)規(guī)則）選擇出基變量和進基變量，進行基變換，得到新的基可行解。重復進行最優(yōu)性檢驗和基變換直到找到最優(yōu)解為止。靈敏度分析定義01靈敏度分析是研究線性規(guī)劃問題中參數(shù)變化時最優(yōu)解的變化情況，即分析當某些數(shù)據(jù)在一個小范圍內(nèi)變動時，最優(yōu)解將如何變化，它為決策者在實際問題中提供了一定的預測和決策依據(jù)。靈敏度分析步驟02首先求解原問題得到最優(yōu)解，然后分析目標函數(shù)系數(shù)或約束條件右端項的變化對最優(yōu)解的影響，最后根據(jù)分析結(jié)果給出相應的預測或決策建議。應用舉例03例如在生產(chǎn)計劃中，當原材料價格、市場需求等因素發(fā)生變化時，可以通過靈敏度分析來預測和調(diào)整生產(chǎn)計劃，以達到降低成本、提高效益的目的。靈敏度分析及應用舉例運輸問題和指派問題求解05運輸問題是一種特殊的線性規(guī)劃問題，其數(shù)學模型通常包括供應地、需求地、運輸成本等要素，目標是最小化總運輸成本或最大化總運輸效益。運輸問題數(shù)學模型運輸問題可以采用多種方法進行求解，如單純形法、表上作業(yè)法、內(nèi)點法等。其中，表上作業(yè)法是一種簡便易行的方法，適用于規(guī)模較小的運輸問題。求解方法運輸問題數(shù)學模型及求解方法指派問題數(shù)學模型指派問題是一種特殊的0-1整數(shù)規(guī)劃問題，其數(shù)學模型通常包括n個任務和n個人，每個人完成不同任務的成本不同，目標是最小化總成本或最大化總效益。求解方法指派問題可以采用匈牙利算法、分支定界法等方法進行求解。其中，匈牙利算法是一種高效的求解方法，適用于大多數(shù)指派問題。指派問題數(shù)學模型及求解方法運輸問題和指派問題關系探討運輸問題和指派問題都是線性規(guī)劃問題的特例，它們在數(shù)學模型上具有一定的相似性。例如，都可以表示為最小化或最大化某個目標函數(shù)的形式，都需要滿足一定的約束條件。運輸問題和指派問題的聯(lián)系運輸問題和指派問題在問題規(guī)模、約束條件、求解方法等方面存在一定的差異。例如，運輸問題通常涉及多個供應地和需求地，而指派問題則只涉及一組任務和一組人；運輸問題的約束條件通常比較復雜，而指派問題的約束條件則相對簡單；此外，兩者的求解方法也有所不同。運輸問題和指派問題的區(qū)別整數(shù)規(guī)劃問題簡介06整數(shù)規(guī)劃定義與分類整數(shù)規(guī)劃定義整數(shù)規(guī)劃是指一類數(shù)學規(guī)劃問題，其中全部或部分決策變量被限制為整數(shù)值。這類問題在實際應用中廣泛存在，如生產(chǎn)調(diào)度、物流配送、資源分配等。整數(shù)規(guī)劃分類根據(jù)約束條件和目標函數(shù)的性質(zhì)，整數(shù)規(guī)劃可分為線性整數(shù)規(guī)劃、二次整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)規(guī)劃。線性整數(shù)規(guī)劃是最常見的一類，其約束條件和目標函數(shù)均為線性函數(shù)。分支定界法是一種求解整數(shù)規(guī)劃的常用方法。它通過不斷將原問題分解為子問題（分支）并估計子問題的解的范圍（定界），從而逐步縮小搜索范圍，最終找到最優(yōu)解。分支定界法原理分支定界法的基本步驟包括選擇分支變量、創(chuàng)建子問題、求解子問題、更新上下界和剪枝等。在實際應用中，還需要根據(jù)問題的具體特點選擇合適的分支策略和定界方法。分支定界法步驟分支定界法求解整數(shù)規(guī)劃VS割平面法是一種求解整數(shù)線性規(guī)劃的常用方法。它通過引入額外的線性