平面向量初步

一、選擇題

1.如圖，在△ABC中，AC=3AN，尸是上的一點(diǎn)，AP=^m+^AB+^AC,則

實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

1221

A.-B.二C.-D.-

9933

2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中任意一點(diǎn)P,都有

PQ=-2PA+5PB+mCP，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.OB.2C.-iD._2

3.在△ABC中，點(diǎn)。在邊A3上，5D=2ZM.記CA=m,CD=n,則C3=()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.已知點(diǎn)4(1,1),8(4,2)和向量a=(2"),若a//AB,則實(shí)數(shù)4的值為()

2233

A.——B.-C.--D.-

3322

5.已知°，〃為不共線向量，AB=a+5bBC=-2a+8b>CD=3(a-b^,貝U()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

6-AB+BC+CD+DA=()

AACBBACCAD0

7.如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N是單位圓上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限，則

的范圍為()

A"O,⑹B.[0,2)C.[1,V2)D.[l,2)

8.如圖所示,在平行四邊形ABC。中,AE=。尸=工。。,6為石尸的中點(diǎn),則

44

DG=（）

31.3.1.

C.-AD——ABD.-AB——AD

4242

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知,，立是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若實(shí)數(shù)機(jī)，n^mex+ne2=0,貝！Jm=〃二0

B.平面內(nèi)任意一個(gè)向量。都可以表示成〃=加6+ne2,其中機(jī)，〃為實(shí)數(shù)

C.對(duì)于機(jī)，neR,根q+〃?2不一定在該平面內(nèi)

D.對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量0,存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)相，n,使〃二人+川與

10.已知,，4是平面內(nèi)的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（）

A.q+e2和ex一4B.3,-e2和一6弓+46C.e1+e2和e2+er

D.e2和e2+ex

11.已知向量d,b不共線，若AB=4〃+Z?,AC=a+^b,且A,B,。三點(diǎn)共線,

則關(guān)于實(shí)數(shù)4，%的值可以是（）

A.2,-B-3,C.2,--D-3,-

2323

三、填空題

12.把同一平面內(nèi)所有模不小于1且不大于2的向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)。，則這些向

量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為.

13.點(diǎn)C在線段AB上，且^^=3,則AC=AB，BC=AB■

CB2

14.已知百，e2是兩個(gè)不共線的向量，d=el-4e2,b=kex+2e2,若a與b共線，則

k—.

四、解答題

15.已知a,b是一組不共線的向量，x1a+y1b=x2a+y2b,則為=X2，%=%?（）

16.已知a,b是一組不共線的向量，且根=a-2b,n=a+3b,則加，及可以作為一

組基底.（）

17.平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底.（）

18.平面向量的基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用這組基底唯一表示.（）

19.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E、R分別是邊3C、CA、A3上的一個(gè)三等分點(diǎn)，求證：

AD+BE+CF=0.

A

E

B

D

參考答案

1.答案：D

解析：因?yàn)锳C=3A7V，AP=^m+^AB+^AC,

所以A戶=（m+-\AB+-AN.

I3j3

因?yàn)?、P、N三點(diǎn)共線，所以1?+1+!=1,解得加=工

I3）33

故選：D.

解析：Pw平面ABC，若OP=xOA+yO3+zOC則x+y+z=l.

PQ=-2PA+5PB-mPC.又動(dòng)點(diǎn)。在A4BC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

所以—2+5—相=1，解得m=2-

故選：B

3.答案：B

解析：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)。在邊A3上，BD=2DA,所以

CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n,故選B.

解析：由題得AB=(3,1),

因?yàn)閍/MB,

2

所以3/1—2=0,.

3

故選：B

5.答案：A

解析：因?yàn)?0=3。+。。=—2a+8b+3a—3b=a+5b=AB，所以A，B,O三點(diǎn)共

線，

故選：A.

6.答案:D

解析：AB+BC+CD+DA=O>

故選：D

7.答案：A

解析：設(shè)OM，ON的夾角為。,?！?方?！瘎tCOS8G[-1,0)，

\OM+0N^=0M\ON'+20M.ON=2+2cos6e[0,2)，故|OM+ON]的范圍為

[0,V2).

答案A

8.答案：B

解析：DG=-DE+-DF

22

113

=-(DA+AE)+--DC

113

=-(-AD+-AB)+-AB

248

=-AB--AD.

22

故選：B.

9.答案：AB

解析：根據(jù)基底的定義知AB正確；

對(duì)于C,對(duì)于加，neR,加耳+〃02在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,m,“是唯一的，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.答案:ABD

解析：對(duì)于A,,+02與不共線，故可作為一組基底，故A正確；

對(duì)于B,3q-02和-6《+4e?不共線，故可作為一組基底，故B正確;

對(duì)于C,ex+e2=e2+el,故不能作為一組基底，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,02和e2+弓不共線，故可作為一組基底，故D正確.

故選：ABD.

11.答案：AB

解析：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，

則存在實(shí)數(shù)2,使得A5=4AC,

BP\a+b=+，

即\a+b=2a+A/^Z?,

所以（4—彳”+（1-幾4）》=0,

又因?yàn)橄蛄?。，匕不共線，

所以＜，,解得44=1，

1—ZZ2=0

所以實(shí)數(shù)4，友的值互為倒數(shù)即可求解.

故選：AB.

12.答案：3K

解析：這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán)，

其面積為7T-22—7T-I2=3兀.

故答案為3Tl.

13.答案：。,_工

77

解析：由點(diǎn)C在線段A3上，且任=*,可畫(huà)出圖形，

CB2

?..?1▲?.

ACB

設(shè)AC=5,則Cfi=2,

:.AB=7,

AC和AB同向，且AC=gAB,

2一

和AB反向，且3C=—亍AB.

14.答案：-工

2

解析：由向量％,與不共線，得由向量a=q-4G與人=左,+24共線，

——>---k=41

得ke+2e=2(,—4e),XcR,貝!J<,所以左=X=—.

{222——4X2

故答案為：-L

2

15.答案：7

解析：由于。，匕是一組不共線的向量，所以平面的一組基底為

由于%=，根據(jù)平面向量的基本定理可知石=々，%=%，

所以說(shuō)法正確.

故答案為：7.

16.答案:N

解析：由a,b是一組不共線的向量，且〃2=a-2b,n=a+3b,

得掰，〃也是一組不共線的向量，故加，〃可以作為一組基底.

所以說(shuō)法正確.

故答案為：N.

17.答案：x

解析：平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為一組基底.

兩個(gè)共