第一章

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題含答案解析

第1節(jié)集合

考試要求1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.理解集合間包含與

相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義,

會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系

與基本運(yùn)算.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.元素與集合

⑴集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號(hào)分別為?和a

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常用數(shù)集及記法

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合4B,如果集合Z中任意一個(gè)元素都是集合8

中的元素,就稱集合A為集合B的子集.記作A￡8(或B?4).

(2)真子集：如果集合ZC-但存在元素x?瓦且x版，就稱集合Z是集合3的

真子集,記作/8(或8A).

(3)相等：若ZG8,且8"則Z=A

(4)空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為。，則集

符號(hào)表示AUBAHB

合Z的補(bǔ)集為CUA

S3

u?

圖形表示

AUBAAB

集合表示{x\x^A,或x?8}{小且口￡8}{x\xU,且xq4}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)202=/,ZP0=0,A^B=B^A.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)2n(C必)=0,NU(CuA)=U,CtXCuA)=A.

［常用結(jié)論］

1.若有限集Z中有〃個(gè)元素，則Z的子集有2〃個(gè)，真子集有2〃一1個(gè)，非空子集

有2"—1個(gè)，非空真子集有2"一2個(gè).

2.Z口=ZC8=Z=ZU8=8=C必？CuB.

3.CMZn5)=(C必)U(CuB),Ct44UB)=(C〃)n(CuB).

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.()

(2){x[y=x2+l}={j^=x2+l}={(x,j>=x2+l}.()

(3)若1G&2,x},則x=—1或1.()

(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合4B,(Zn8)G(ZU5)恒成立.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集.

(2)錯(cuò)誤.{加=4+l}=R,{y\y=x2jrl}=[l,+°°),{(x,7>=<+1}是拋物線了

=x2+l上的點(diǎn)集.

(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x=l時(shí)，不滿足集合中元素的互異性.

2.(必修一P14習(xí)題1.3T1改編)集合Z={x|2Wx<4},B={x\3x-7^8~2x},則

4cB=.

答案{x|3<x<4}

解析易知B={Rx23},故/A5={x|3^x<4}.

3.已知集合/={加+2,2m2+m},若3G/,則加的值為.

答案一:

解析當(dāng)機(jī)+2=3時(shí)，m=l,此時(shí)，m+2=2m2+m=3,故舍去；

a

當(dāng)力層+機(jī)=3時(shí)，解得機(jī)=一：（機(jī)=1舍去）.

4.（必修一P9T5改編）已知集合4={鄧）<%<研,B={x\l<x<2},若3"則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

答案［2,+8）

解析由圖可知。三2.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一集合的基本概念

例1⑴（2023?泰州調(diào)研）已知集合4={0,1,2,3,4},B={（x,y）\x^A,y&A,

x-y^A},則5中所含元素的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6

C.10D.15

答案D

解析因?yàn)閤GZ,y^A,x—y^A,

所以分以下5種情況:

①x-y=l,有四個(gè)，(2,1),(3,2),(4,3),(1,0)；

@x-y=2,有三個(gè),(3,1),(4,2),(2,0)；

@x-y=3,有兩個(gè)，(4,1),(3,0)；

@x-y=4,有一個(gè)，（4,0）；

⑤x—y=0,有五個(gè)，(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

綜上，B中所含元素的個(gè)數(shù)為15.

(2)若集合N={a—3,2a—1,a2-4},且一3GZ,則實(shí)數(shù)a=.

答案0或1

解析①當(dāng)a—3=—3時(shí)，a=0,此時(shí)N={—3,—1,—4),

②當(dāng)2a—1=—3時(shí)，a=-1,此時(shí)Z={-4,—3,13}舍去，

③當(dāng)(22—4=—3時(shí)，<2=±1,由②可知。=一1舍去，則當(dāng)。=1時(shí)，z={-2,1,

—3}，

綜上，a=0或1.

感悟提升1.研究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是數(shù)集、點(diǎn)集，還是

其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.

2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)

集合中的元素是否滿足互異性.

訓(xùn)練1⑴(2023?湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢)已知集合/={x|(2a—x)(x—。)<0}，若2c4,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(—8,1)U(2,+8)B.[l,2)

C.(L2)D.[L2]

答案D

解析因?yàn)?生4所以(2a—2)(2—a)>0,解得lWaW2.

(2)(2023?石家莊聯(lián)考)已知集合4={(x,y)\x2+y2=l},集合3={(x,y)\y=\x\-l},

則集合ZHB的真子集的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.7D.8

答案C

解析結(jié)合圖象可知，集合znB有3個(gè)元素，所以集合znB的真子集的個(gè)數(shù)為

23—1=7.

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

例2(1)已知集合幺={x,2—2x—3W0},集合5={x||x—1]W3},集合C=

x+5J,則集合4B,C的關(guān)系正確的是()

A匹ZB.Z=5

C.CQBD.ZGC

答案D

解析因?yàn)?—2x—3W0,所以一1WXW3,則Z=[—1,3]；

又|x—1|W3,即一3Wx—1W3,所以一2WxW4,則8=[—2,4]；

X—4

因?yàn)閃O,所以一5<xW4,

x+5

則C=(—5,4］,所以ZC5,AQC,BQC.

(2)(2022?西安二模)已知集合4="I卜―4I<；},5=司“<”<2】若8受，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

答案［0,+°0)

解析由I"4I<1,得:,

4444

解得0<x<《，即2=［仇0

2

當(dāng)。三1時(shí)，5=0,滿足5白；

2

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?CZ,所以0Wa<1

22

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0,+-).

感悟提升1.若3三4,應(yīng)分5=0和5W0兩種情況討論.

2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)

間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)

參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.

訓(xùn)練2(1)已知集合2={小2—3x+2=0},8={xWN|x2—6x<0},則滿足ZCQB

的集合C的個(gè)數(shù)為()

A.4B.6

C.7D.8

答案C

解析?.1={1,2},B={1,2,3,4,5},且NCQB,

...集合C的所有可能為{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,

2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7個(gè).

(2)(2023?景德鎮(zhèn)模擬)設(shè)集合M={x|—3<xV7},N={x\2~t<x<2t+l,/?R}.

若M^N=M,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

答案(一8,3]

解析由MUN=〃，得NGM

因?yàn)榧虾?{川-3<x<7},N={x\2-t<x<2t+l,PR},

當(dāng)N=0時(shí)，有2—/22%+1,解得/WL

3

2t~\~1>2—t,

當(dāng)NW。時(shí)，有-2%+1W7,解得

2一/三一3,

綜上，實(shí)數(shù)/的取值范圍為(一8,3].

考點(diǎn)三集合的運(yùn)算

例3(lX2022?新高考I卷)若集合/={xg<4},N={x|3x卻},則MAN=()

A.{x|0<x<2}B-X|J<X<2-

C.{x|3<x<16)D.h<⑹

答案D

解析因?yàn)?={訃6<4},所以/={x|0Wx<16}；

因?yàn)镹={x|3x21},所以

所以MnN=「3J,故選D.

(2)(2022?全國(guó)甲卷)設(shè)全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合Z={-1,2},B

={x|x2-4x+3=0},則C必U8)=()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

答案D

解析集合8={1,3},所以ZU5={-1,1,2,3),所以C必U5)={—2,

0).

(3)集合”={x|2/—x—1VO},N={x|2x+tz>0},U=R.若MC(CuN)=。,則a

的取值范圍是.

答案［1,+8)

解析易得〃={x|2x2—X—1<0}=卜—

\*N={x\lx+a>(}}=L2J,/.CuN=2.

由〃n(C亦)=0,則一g,得a>l.

感悟提升1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再研究

其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.

2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：

(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；

(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是

空心.

訓(xùn)練3(1)(2022?浙江卷)設(shè)集合Z={1,2},B={2,4,6},則ZU5=()

A.{2}B.{1,2}

C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

答案D

解析由集合并集的定義，得ZU8={1,2,4,6).

(2)(多選)(2022?武漢二模)已知集合/={1,4,a},B={1,2,3},若ZUB={1,

2,3,4},則。的取值可以是()

A.2B.3

C.4D.5

答案AB

解析因?yàn)閆U8={1,2,3,4),

所以{1,4,a}{1,2,3,4},

所以a=2或3.

(3)(2023,沈陽(yáng)聯(lián)考)已知。={x|—3WxV3},/={x|—2WxV3},則圖中陰影表示

的集合是

u

A

答案[—3,-2)

解析由題圖可知，陰影表示的集合為集合/相對(duì)于全集。的補(bǔ)集，即陰影表示

的集合是CuA—｛x\—3WxV-2｝.

考點(diǎn)四集合的新定義問(wèn)題

例4非空數(shù)集Z如果滿足：①0胡；②若VxL,有則稱2是“互倒集”.

X

給出以下數(shù)集：

?_2

①｛%?此/+"+1=0｝；②｛小2—6x+lW0｝；③"x''',其中是“互

倒集”的序號(hào)是.

答案②③

解析①中，｛xGR|x2+ax+1=0｝,

二次方程判別式/=屋一4,

故一2＜。＜2時(shí)，方程無(wú)根，該數(shù)集是空集，不符合題意；

②中，｛x|x2—6x+1^0),

即｛x|3—22WxW3+2/｝,

顯然0生4

乂3+2/\、3―23，

即3-2/W&3+2也

X

故1也在集合中，符合題意；

X

③中，卜代J2xe[1)4,

易得蛆20W2；0生幺，

又!W22,

2了

故1也在集合Z中，符合題意.

感悟提升解決集合新定義問(wèn)題的關(guān)鍵

解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題

目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

訓(xùn)練4（2023?青島調(diào)研）設(shè)2,B,C是非空集合，定義且且

xGC}.已知2=任b=世2+4%},B={y\y=Y+\},C={x|log2%<3},則Z0C=

答案（1，8）

解析因?yàn)锳={x[y=^x2+4x}={x|x2+4x>0}={x|x<—4或x>0},

B={y\y=y+l]={y\y>l],

C={x|log2%<3}={x|0<x<8},

所以/必?。=（1,8）.

~Venn圖的應(yīng)用拓展視野

在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，常用Venn圖表示兩個(gè)集合的

交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問(wèn)題，直觀簡(jiǎn)捷，事半功倍用Card表示

有限集中元素的個(gè)數(shù)，即Card。）表示有限集幺的元素個(gè)數(shù).

例（2020?新高考全國(guó)I卷）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生

喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡

足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

答案C

解析用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占比例之間的關(guān)系如圖，

V^60%-x82%-x^y

設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為X,

則（60%—x）+（82%—x）+x=96%,解得x=46%.

訓(xùn)練某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂(lè)的講座，其中有85人聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座，

70人聽(tīng)了歷史講座，61人聽(tīng)了音樂(lè)講座，16人同時(shí)聽(tīng)了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人

同時(shí)聽(tīng)了數(shù)學(xué)、音樂(lè)講座，9人同時(shí)聽(tīng)了歷史、音樂(lè)講座，還有5人聽(tīng)了全部講

座，則聽(tīng)講座的人數(shù)為

答案184

解析將已知條件用Venn圖表示出來(lái)如圖所示，所以聽(tīng)講座的人數(shù)為

62+7+5+11+45+4+50=184.

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?全國(guó)乙卷）設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合“滿足C以f={1,3},則（）

A.2cMB.3￡M

CA^MD.5"f

答案A

解析由題意知M={2,4,5）.

2.設(shè)集合幺={刈082（%一1）<2},5={x|x<5},貝U（）

A.A=BB.BQA

C.AQBD.Zn8=0

答案C

解析由log2（xT）<2得0<xT<4,

解得l<x<5,則2={卻<》<5},

又5={x|x<5},所以NGA

3.（2023?廣州模擬）已知集合2="?2|—1?;（<1},8={x|0WxW2},則ZAB的

子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.6

答案C

解析由題意得zn8={0,1},所以其子集個(gè)數(shù)為4.

4（2022?新高考H卷）已知集合4={—1,1,2,4},4—10},則203=

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析由|x—1|W1,得一iWxTWl,解得0WxW2,

所以8={x|0WxW2},所以/n8={l,2}.

5.(2023?石家莊調(diào)研)已知集合工={1,2,3,4},B={y\y=2x-3,x^A},則集

合zn5=()

A.{1}B.{1,2}

C.{1,3}D.{1,2,4}

答案C

解析由題設(shè)，5={-l,1,3,5),故/05={1,3}.

6.(2022?北京卷)已知全集。=3一3<x<3},集合2={x|—2<xWl},則CuA=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(—3,-2]U(1,3)

答案D

解析因?yàn)槿?(—3,3),A=(-2,1],

所以C必=(—3,-2]U(1,3).

7.設(shè)集合尸={y[y=x2+l},M={x^=x2+l},則集合〃與集合尸的關(guān)系是()

A.M=PB.P^M

C.MPD.PM

答案D

解析因?yàn)槭?{y[y=x2+l}=[y[y〉l},

M={x[y=x2+l}=R,所以尸M.

8.(2022?南京三模)已知R是實(shí)數(shù)集，集合/={xeZ||x|Wl},8={x|2x—1NO},

則Zn(CR5)=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.0

答案A

-1-.ko]oI

解析因?yàn)殓?{-1,0,1},B=[2,J,

所以zn（cR8）={—i,o}.

9.（2023?長(zhǎng)沙質(zhì)檢）設(shè)集合A={x|x<3},B={x|x2-6x+5W0},則ZnB=.

答案[b3]

解析由/—6x+5=（x—l）（x—5）W0,

解得1WXW5,即8=[1,5],

又N={x|xW3},：.A^B=[\,3].

10.（2022?廈門二模）已知集合2=[1,6],B={x\y=^c^a},若ZCB,則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

答案（一8,1]

解析由X—'。三0,得

所以8=[a,+°°）,

因?yàn)閆=[l,6],JLAQB,所以aWl,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（一8,1].

n.若全集U=R,z={x|—1WXW6},5={x|0<x<8},則圖中陰影部分所表示的

集合為.

答案{x|0<x<6}

解析由題圖知陰影部分所表示的集合為Zn8={x|0<xW6}.

12.已知集合/={x[y=lg(a—x)},B={x\l<x<2},且(CR5)UN=R,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

答案[2,4-o0)

解析由已知可得z=(—8,a),CR5=(—1]U[2,+°°),

V(CR8)UZ=R,：.a、2.

【B級(jí)能力提升】

13.(多選)若集合Z={Rsin2x=l},B={y\y=^+^,左?Z},則下列結(jié)論正確的是

A.4UB=BB.CRBQCRA

C.AHB=0D.CRZGCRB

答案AB

々力?.c1、.小=E+4Lx=4hi+^^EZ

解析^={x|sin2x=l}=r'4J=r'4J

y[y=^+p左卜上;2^,左ez

B=

4/兀+兀2E+兀

x\x,左?Z

顯然集合44

所以NG8,則NU8=5成立，所以A正確.

CRBQCRZ成立，所以B正確，D錯(cuò)誤.

AC\B=A,所以C錯(cuò)誤.

14.（多選X2023?福州聯(lián)考）已知全集。={0,I,2,3,4,5,6,7},集合4={xWN|x

<5},B={\,3,5,7},則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{0,2,4}B.{2,4}

C.An（CuB）D.（C必）n（c出）

答案AC

解析由圖可知陰影部分所表示的集合為zn（c中），故c正確；

因?yàn)?={xGN|x<5}={0,I,2,3,4},CuB={0,2,4,6）,

所以zn（c的）={0,2,4},故A正確.

15.已知集合N={x|l<xV3},B={x\2m<x<