Page10湖北省十七所重點中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月第一次聯(lián)考試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，則（）A．B．C．D．3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A．B．C．D．4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿意則z的虛部為（）A．B．C．D．5．某氣象愛好小組利用身邊的物品探討當?shù)氐慕涤炅浚麄冞\用一個上底面半徑為、下底面半徑為、高為的水桶盛接降水．當水桶內(nèi)盛水至總高的一半時，水的體積約占水桶總體積的（）A．B．C．D．6．已知平面對量滿意，則的最小值為（）A．2B．4C．8D．167．設(shè)集合，則集合S的元素個數(shù)為（）A．B．C．D．8．設(shè)隨機變量，當正整數(shù)n很大，p很小，不大時，X的分布接近泊松分布，即．現(xiàn)需100個正品元件，該元件的次品率為0.01，若要有以上的概率購得100個正品，則至少需購買的元件個數(shù)為（已知…）（）A．100B．101C．102D．103二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知遞增的正整數(shù)列的前n項和為．以下條件能得出為等差數(shù)列的有（）A．B．C．D．10．已知，則（）A．B．C．D．11．已知．點A，B，C分別在上．則（）A．的最大值為9B．的最小值為C．若平行于x軸，則的最小值為D．若平行于y軸，則的最大值為12．已知正方體的邊長為2，點P，Q分別在正方形的內(nèi)切圓，正方形的外接圓上運動，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知多項式滿意對隨意，則_________（用數(shù)字作答）．14．冰雹猜想是指：一個正整數(shù)x，假如是奇數(shù)就乘以3再加1，假如是偶數(shù)就析出偶數(shù)因數(shù)，這樣經(jīng)過若干次，最終回到1．問題提出八十多年來，很多專業(yè)數(shù)學(xué)家前仆后繼，依舊無法解決這個問題．已知正整數(shù)列滿意遞推式請寫出一個滿意條件的首項，使得，而_____________．15．設(shè)實數(shù)，不等式對隨意實數(shù)恒成立，則a的取值范圍為__________．16．設(shè)橢圓的離心率，C的左右焦點分別為，點A在C上滿．的角平分線交橢圓于另一點B，交y軸于點D．已知，則_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正三棱柱中，點D為線段的中點，側(cè)面的面積為．（1）若證明：；（2）求三棱柱的體積與表面積之比的最大值．18．（12分）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數(shù)量y的關(guān)系，某探討小組將該地區(qū)等面積劃分為200個區(qū)塊，從中隨機抽取20個區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)，部分數(shù)據(jù)如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…經(jīng)計算得：．（1）利用最小二乘估計建立y關(guān)于x的線性回來方程；（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回來方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標系下，橫坐標x，縱坐標y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一樣，（ⅰ）比較前者與后者的斜率大小，并證明；（ⅱ）求這兩條直線的公共點坐標．附：y關(guān)于x的回來方程中，斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．19．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的最小值；（2）證明：．20．（12分）設(shè)點A為雙曲線的左頂點，直線l經(jīng)過點，與C交于不與點A重合的兩點P，Q．（1）求直線的斜率之和；（2）設(shè)在射線上的點R滿意，求直線的斜率的最大值．21．（12分）已知數(shù)列滿意：①對隨意質(zhì)數(shù)p和自然數(shù)n，都；②對隨意互質(zhì)的正整數(shù)對，都有．（1）寫出的前6項，視察并干脆寫出與能整除n的正整數(shù)的個數(shù)的關(guān)系；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．22．（12分）已知直線l與曲線相切于點．證明：（1）l與曲線恰存在兩個公共點；（2）．2024屆湖北省十七所重點中學(xué)第一次聯(lián)考參考答案及評分標準一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678ABDCBCDD7．D對每個，在中的從屬關(guān)系有以下101種：（1），（2），（3），…（101）．由分步乘法計數(shù)原理，集合S中共個元素．8．D記隨機變量X為購買a個元件后的次品數(shù)．由題意，此時X可看成泊松分布．則，記，則．由于t很小，故大致有．分別計算，左邊約等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，即．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9101112ACDBCABDAB11．ABDA：，且能取到等號，故正確；同理B正確．C：試想一個將向左平移的過程，使得平移后的圓與有公共點的最短平移距離即的最小值，為，故錯誤；同理D正確．12．AB以A為原點，為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系．設(shè)點．A：，故正確．B：．記，，故正確．C：取的中點M，穿過一側(cè)的外接圓，取的中點，則不穿過，故必存在點P，使得經(jīng)過外接圓，設(shè)公共點為Q，此時共線，沖突，故不正確．D：假設(shè)成立，則恒成立．利用協(xié)助角消去，則．取，則左邊，故不正確．故選AB．三、填空題：每小題5分，共20分．13．114．12或13（寫出一個即可）15．16．14．本題采納逆推思想．故填12或13．15．令，得．下證：均滿意題意．當時，左邊關(guān)于a遞減，當時，當時，，仍關(guān)于a遞減，故只需證明成立．令，即證．遞增，，故在上遞減，在上遞增，．故填．16．設(shè)點，則．設(shè)角平分線交x軸于T，易知．直線．設(shè)中點為M，則．，得．將點A與橢圓聯(lián)立得，故，解得．故填．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（1）取中點H，則．由平面平面，故．又，故平面．而平面，故．（2）及．表面積，體積．故由基本不等式，，等號成立當且僅當．18．（1）．故回來方程為．（2）（?。┰O(shè)前者和后者的斜率分別為．則，r為y與x的相關(guān)系數(shù)．又，故．下證：．若，則，即恒成立．帶入表格中的一組數(shù)據(jù)得：，沖突．故，即前者斜率小于后者．（ⅱ）留意到，兩直線都過，且，故公共點僅有．19．（1）由余弦定理，，等號成立當且僅當．（2）方法一：當時，．當時，設(shè)線段的中垂線交于點D．．在中，由正弦定理，．，故，由．故．則．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故．由（1），故．則．20．（1）的前6項分別為1，2，2，3，2，3．的大小與能整除n的自然數(shù)個數(shù)相同．（2）方法一：由（1），因為大于小于n的數(shù)不被n整除，故當為偶數(shù)時，．其中第一行2分，其余共4分．為奇數(shù)時，，得證．方法二：設(shè)．先說明．中為的項數(shù)恰為的正整數(shù)解數(shù)，故．再證．時，成立；時，．其中前兩行和后兩行各2分．21．（1）．l斜率明顯存在，故可設(shè)，即．設(shè)即，即．設(shè)的斜率，則，故為方程的兩個實根，