第19講解直角三角形重難點(diǎn)1解直角三角形(2018·眉山)如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD＝2．【思路點(diǎn)撥】設(shè)以BC為頂點(diǎn)的小正方形為EKBC，連接BE，BE與CD相交于點(diǎn)F.由題意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO.由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，繼而求得答案．eq\x(方法指導(dǎo))在網(wǎng)格中求某個(gè)角的銳角三角函數(shù)值，如果這個(gè)角是以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的一個(gè)內(nèi)角，可利用銳角三角函數(shù)的定義直接求解；若不是，則可利用相等的角轉(zhuǎn)化或通過(guò)添加輔助線的方法，使這個(gè)角成為直角三角形的內(nèi)角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的邊長(zhǎng)或?qū)?yīng)邊的比值，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．(2018·上海)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝eq\f(3,4).(1)求邊AC的長(zhǎng)；(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求eq\f(AD,BD)的值．【思路點(diǎn)撥】(1)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，解Rt△ABE求出AE，BE，再根據(jù)勾股定理，即可在Rt△AEC中求出AC的長(zhǎng)；(2)作DF垂直平分BC，則BF＝eq\f(1,2)BC，解Rt△BDF求出DF，再利用勾股定理求出BD，進(jìn)而求出AD，則eq\f(AD,BD)的值即可求出．【自主解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,4)，AB＝5.∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理，得AC＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).(2)作DF垂直平分BC，垂足為F，則BD＝CD，BF＝CF＝eq\f(5,2).∵tan∠DBF＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(3,4)，∴DF＝eq\f(15,8).在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理，得BD＝eq\r(（\f(5,2)）2＋（\f(15,8)）2)＝eq\f(25,8).∴AD＝5－eq\f(25,8)＝eq\f(15,8).則eq\f(AD,BD)＝eq\f(3,5).eq\x(方法指導(dǎo))解直角三角形的問(wèn)題時(shí)，通常都是根據(jù)圖形將已知條件在圖形中表示出來(lái)，再根據(jù)要求的邊或角并結(jié)合已知條件，尋找與之對(duì)應(yīng)的邊角關(guān)系來(lái)解題．重難點(diǎn)2解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用(2018·廣安)據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，小強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上的車(chē)輛進(jìn)行測(cè)速．如圖，觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD＝200m，檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60°方向，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45°方向上，一輛轎車(chē)由東向西勻速行駛，測(cè)得此車(chē)由A處行駛到B處的時(shí)間為10s，問(wèn)此車(chē)是否超過(guò)了該路段16m/s的限制速度？(觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì)．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)速度＝eq\f(路程,時(shí)間)，而時(shí)間已知，故要求速度，則需要求出A到B的距離．解Rt△CDA和Rt△CDB分別求出DA和BD，則AB即可求出，進(jìn)而可以求出AB的速度，與16m/s比較大小即可得出結(jié)論．【自主解答】解：由題意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°.在Rt△CDB中，tan∠DCB＝eq\f(DB,DC)＝eq\f(DB,200)＝1.解得DB＝200.在Rt△CDA中，tan∠DCA＝eq\f(DA,DC)＝eq\f(DA,200)＝eq\r(3)，解得DA＝200eq\r(3).∴AB＝DA－DB＝200eq\r(3)－200≈146(m)．騎車(chē)速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(146,10)＝14.6(m/s)＜16(m/s)．答：此車(chē)沒(méi)有超過(guò)該路段16m/s的限制速度．(2018·遂寧)如圖，某測(cè)量小組為了測(cè)量山BC的高度，在地面A處測(cè)得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度i＝1∶eq\r(3)的坡面AD走了200米到達(dá)D處，此時(shí)在D處測(cè)得山頂B的仰角為60°，求山高BC.(結(jié)果保留根號(hào))【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，則DF＝EC，∴BC＝BE＋DF.解Rt△BDE和Rt△DAF分別求出BE，DF即可求解．【自主解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F.∵坡面AD的坡i＝1∶eq\r(3)且AD＝200，∴tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∴∠DAF＝30°.∴DF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×200＝100.∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形．∴EC＝DF＝100.又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°.∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠ABD＝∠BAD.∴AD＝BD＝200.在Rt△BDE中，sin∠BDE＝eq\f(BE,BD).∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×sin60°＝200×eq\f(\r(3),2)＝100eq\r(3).∴BC＝BE＋EC＝100＋100eq\r(3).∴山高BC為(100＋100eq\r(3))米．eq\x(方法指導(dǎo))1．對(duì)于解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題，要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通常是根據(jù)以下方法和步驟解決：(1)有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來(lái)，找與已知量和未知量相關(guān)聯(lián)的三角形，畫(huà)出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；(2)若三角形是直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．若三角形不是直角三角形，可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解決，其中作某邊上的高是常用的輔助線．總的來(lái)說(shuō)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是要根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，正確畫(huà)出圖形或作出輔助線并找準(zhǔn)直角三角形．2．解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題常見(jiàn)圖形類(lèi)型及輔助線作法如圖所示：eq\x(易錯(cuò)提示)在利用銳角三角函數(shù)求解變形時(shí)，易把分子和分母的位置顛倒，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤．考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的定義1．(2018·云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為(A)A．3B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(10),10)D.eq\f(3\r(10),10)2．(2018·孝感)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則sinA等于(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)3．(2018·濱州)在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,2)，則sinB＝eq\f(2\r(5),5)．考點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值4．(2018·大慶)2cos60°＝(A)A．1B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)5．(2018·煙臺(tái))計(jì)算：(π－3.14)0＋tan60°＝1＋eq\r(3)．6．(2018·白銀)計(jì)算：2sin30°＋(－1)2018－(eq\f(1,2))－1＝0．考點(diǎn)3解直角三角形7．(2018·貴陽(yáng))如圖，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)8．(2018·湖州)如圖，已知菱形ABCD對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若tan∠BAC＝eq\f(1,3)，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是2．9．(2018·自貢)如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝6，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝6eq\r(3).在Rt△ACH中，tanA＝eq\f(3,4)＝eq\f(CH,AH).∴AH＝8.∴AB＝AH＋BH＝8＋6eq\r(3)，AC＝eq\r(AH2＋CH2)＝10.考點(diǎn)4解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用10．(2018·宜昌)如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于(C)A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米11．(2018·咸寧)如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為300m.(結(jié)果保留整數(shù)，eq\r(3)≈1.73)12．(2018·襄陽(yáng))為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦，某部門(mén)工作人員乘快艇到漢江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛．在A處測(cè)得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛40秒到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得建筑物P在北偏西60°方向上，如圖所示．求建筑物P到賽道AB的距離．(結(jié)果保留根號(hào))解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，由題意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°.在Rt△PAC中，eq\f(PC,AC)＝tan∠PAC，∴AC＝eq\f(\r(3),3)PC.在Rt△PBC中，eq\f(PC,BC)＝tan∠PBC，∴BC＝eq\r(3)PC.∵AB＝AC＋BC＝eq\f(\r(3),3)PC＋eq\r(3)PC＝10×40＝400.∴PC＝100eq\r(3).答：建筑物P到賽道AB的距離為100eq\r(3)米．13．(2018·荊州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，點(diǎn)D是⊙P上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D到弦OB的距離最大時(shí)，tan∠BOD的值是(B)A．2B．3C．414．(2018·婁底)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，則sinα－cosβ＝(D)A.eq\f(5,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)15．(2018·廣西六市)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)O，F(xiàn)，且OP＝OF，則cos∠ADF的值為(C)A.eq\f(11,13)B.eq\f(13,15)C.eq\f(15,17)D.eq\f(17,19)16．(2018·齊齊哈爾)在四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝eq\f(3,4)，AB＝20，BC＝10，AD＝13，則線段CD＝eq\r(89)或17．17．(2018·荊門(mén))數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組借助載有測(cè)角儀的無(wú)人機(jī)測(cè)量象山嵐光閣與文明湖湖心亭之間的距離．如圖，無(wú)人機(jī)所在位置P與嵐光閣閣頂A、湖心亭B在同一鉛垂面內(nèi)，P與B的垂直距離為300米，A與B的垂直距離為150米，在P處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為α，β，且tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\r(2)－1，試求嵐光閣與湖心亭之間的距離AB.(計(jì)算結(jié)果若含有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào))解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥QB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PD于點(diǎn)E.由題意得，∠PBD＝β，∠PAE＝α，AC＝150，PD＝300.在Rt△PBD中，BD＝eq\f(PD,tan∠PBD)＝eq\f(300,tanβ)＝eq\f(300,\r(2)－1)＝300(eq\r(2)＋1)．∵∠AED＝∠BDC＝∠ACD＝90°，∴四邊形EDCA為矩形．∴DC＝EA，ED＝AC＝150.∴PE＝PD－ED＝300－150＝150.在Rt△PEA中，EA＝eq\f(PE,tan∠PAE)＝eq\f(150,tanα)＝eq\f(150,\f(1,2))＝300.∴BC＝BD－CD＝BD－EA＝300(eq\r(2)＋1)－300＝300eq\r(2).在Rt△ACB中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(1502＋（300\r(2)）2)＝450.答：嵐光閣與湖心亭之間的距離AB為450米．18．(2018·赤峰)閱讀下列材料：如圖1，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，可以得到：圖1S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，∴AD＝c·sinB.∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)acsinB.同理：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(1)通過(guò)上述證明：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；(2)運(yùn)用(1)中的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20eq\r(3)，求AC的長(zhǎng)度；(3)如圖3，為了開(kāi)發(fā)公路旁的城市荒地，測(cè)量人員選擇A，B，C三個(gè)測(cè)量點(diǎn)，在B點(diǎn)測(cè)得A在北偏