5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

常用的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線有開環(huán)幅相特性曲線和開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。5.3.1開環(huán)幅相特性曲線設典型環(huán)節(jié)的頻率特性為則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性和開環(huán)相頻特性為即:系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性為組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之積，開環(huán)相頻特性為各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之和。當頻率

從

變化時，便可繪制出系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。在控制工程中，只需要繪制概略的開環(huán)幅相特性曲線即可滿足需要。方法如下：（1）將開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)進行分解，并寫出開環(huán)頻率特性表達式。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可分解為開環(huán)頻率特性為（2）確定開環(huán)幅相特性曲線的起點和終點。最小相位系統(tǒng)的起點為起點:取決于比例環(huán)節(jié)和系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）（3）確定開環(huán)幅相特性曲線與實軸和虛軸的交點。最小相位系統(tǒng)的終點為終點:取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項式中最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)的階次和與實軸的交點:令或則與實軸的交點坐標值為求出頻率——實軸穿越頻率與虛軸的交點:令或則與虛軸的交點坐標值為求出頻率——實軸穿越頻率（4）分析開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍（象限、單調性等）。解：例5-7設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下列各式，試分別繪制系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相特性曲線。（1）（2）（1）①系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為②由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

，起點為③與實軸的交點終點為解得

，即系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線除起點外與實軸無交點。與虛軸的交點解得

，即與虛軸的交點坐標值為④在

從

變化時，

的實部可正可負而虛部小于0，故開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍為第Ⅳ和第Ⅲ象限。綜上，可繪出系統(tǒng)概略開環(huán)幅相特性曲線如圖所示。（2）①系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為②由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

，起點為終點為③在

從

變化時，開環(huán)幅相特性曲線與實軸和虛軸均無交點。綜上，可繪出系統(tǒng)概略開環(huán)幅相特性曲線如圖所示。④在

從

變化時，若

，的實部和虛部都小于0，開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍在第Ⅲ象限；若

，

的實部大于0而虛部小于0，開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍在第Ⅳ象限。5.3.2開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性為即:開環(huán)對數(shù)幅頻特性為組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性之和，開環(huán)對數(shù)相頻特性為各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性之和。據(jù)此，可先繪制各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線，然后將它們疊加即可方便地繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。1.開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制實際上，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線在控制系統(tǒng)的分析和設計中具有十分重要的作用方法如下：（1）將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時間常數(shù)形式表達式，確定其由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。（2）確定系統(tǒng)的開環(huán)增益

、積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）

、一階環(huán)節(jié)的轉折頻率

和二階環(huán)節(jié)的轉折頻率

，并將各轉折頻率從小到大標注在半對數(shù)坐標系的橫軸上。（3）繪制低頻段（小于最小轉折頻率

的頻率范圍）漸近特性曲線。當

時，一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線與

線重合，所以低頻段內(nèi)的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線僅由

決定，即滿足方程這是一條斜率為

且過

或

點的直線。（4）繪制頻段的漸進特性曲線。當時，每遇到一個轉折頻率，根據(jù)該轉折頻率對應的典型環(huán)節(jié)的種類，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線的斜率做相應的改變。改變規(guī)律為：慣性環(huán)節(jié)斜率減小，一階微分環(huán)節(jié)斜率增大，振蕩環(huán)節(jié)斜率減小，二階微分環(huán)節(jié)斜率增大。（5）若需要得到較為準確的對數(shù)幅頻特性曲線，可以根據(jù)5.2節(jié)給出的典型環(huán)節(jié)的誤差曲線，在相應轉折頻率點處對分段折線進行修正。解：例5-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式表達式為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線。（2）系統(tǒng)的開環(huán)增益

，

，在半對數(shù)坐標系的橫軸上順序標出轉折頻率：

一階微分環(huán)節(jié)轉折頻率：

慣性環(huán)節(jié)轉折頻率：

振蕩環(huán)節(jié)轉折頻率：

即一條斜率為

且過

點的直線。（3）繪制

的漸進特性曲線。低頻段滿足方程綜上，可繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線如圖所示。（4）繪制

頻段的漸進特性曲線。①當

時，由于一階微分環(huán)節(jié)的作用，漸進線斜率增大

，即由

變化到

；②當

時，由于慣性環(huán)節(jié)的作用，漸進線斜率減小

，即由

變化到

；③當

時，由于振蕩環(huán)節(jié)的作用，漸進線斜率減小

，即由

變化到

；（5）若有必要，對開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線進行修正。系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線的繪制，一般有兩種方法。一種是分別繪出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，然后逐點疊加并連接成光滑曲線，便得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線；另一種是寫出開環(huán)對數(shù)相頻特性

的表達式，通過描點法繪出開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。解：例5-9試繪出例5-8系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性為

當

從

變化時，通過描點法可繪出開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線如圖所示。2.由開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)方法如下：（2）確定開環(huán)傳遞函數(shù)的結構形式。根據(jù)轉折頻率前后直線的斜率，確定該轉折頻率所對應的典型環(huán)節(jié)的類型，從而寫出包含待定參數(shù)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達式。（3）由給定條件確定傳遞函數(shù)中的待定參數(shù)。（1）確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）

和開環(huán)增益

。由低頻漸近線的斜率為

且過

或

點，可以確定

和

。例5-10已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：（1）確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）

和開環(huán)增益

。因為開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線的低頻漸近線的斜率為

，故

；又因為低頻漸近線的延長線過

點，所以

，故

。（2）確定開環(huán)傳遞函數(shù)的結構形式。①

處，漸進線斜率由

變化到

，增大

，所以對應一階微分環(huán)節(jié)

②

處，漸進線斜率由

變化到

，減小

，所以對應慣性環(huán)節(jié)

因此，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)形式為（3）由給定條件確定傳遞函數(shù)中的待定參數(shù)。由解得由解得則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5.3.3MATLAB實現(xiàn)求取并繪制系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線可以用MATLAB提供的nyquist()函數(shù)實現(xiàn)，其調用格式如下。nyquist(sys)%繪制系統(tǒng)在默認頻率范圍內(nèi)的奈奎斯特圖，sys是由函數(shù)tf()、zpk()或ss()建立的系統(tǒng)模型。nyquist(sys,w)%繪制系統(tǒng)在向量w所定義的頻率范圍內(nèi)的奈奎斯特圖。nyquist(sys1,sys2,...)%在同一個繪圖窗口中繪制多個系統(tǒng)的奈奎斯特圖。[re,im,w]=nyquist(sys)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，而是返回系統(tǒng)奈奎斯特圖相應的實部、虛部和頻率向量。[re,im]=nyquist(sys,w)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，而是返回系統(tǒng)奈奎斯特圖在向量所定義頻率范圍內(nèi)的實部、虛部。1.系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線的MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。例5-11已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clear;k=10;T=[2,8];tao=5;forj=1:length(T)num=[k*tao,k];利用MATLAB繪制

、

、

時系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。den=[T(j),1,0];sys=tf(num,den);nyquist(sys);holdon;endgtext('T<tao');gtext('T>tao');運行結果如圖所示。解：MATLAB程序如下。例5-12利用MATLAB繪制例5-8系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。clc;clear;num=[20000,20000];den=conv([1,0],conv([1,5],[1,10,400]));sys=tf(num,den);nyquist(sys);axis([-6,8,-30,30]);運行結果如圖所示。求取并繪制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線可以用MATLAB提供的bode()函數(shù)實現(xiàn)，其調用格式如下。bode(sys)%繪制系統(tǒng)在默認頻率范圍內(nèi)的伯德圖，sys是由函數(shù)tf()、zpk()或ss()建立的系統(tǒng)模型。bode(sys,w)%繪制系統(tǒng)在向量w所定義的頻率范圍內(nèi)的伯德圖。bode(sys1,sys2,...)%在同一個繪圖窗口中繪制多個系統(tǒng)的伯德圖。[mag,phase,w]=bode(sys)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的伯德圖，而是返回系統(tǒng)伯德圖相應的幅值、相位和頻率向量，可用magdB=20*log10(mag)將幅值轉換為分貝值。[mag,phase]=bode(sys,w)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的伯德圖，而是返回系統(tǒng)伯德圖在向量w所定義頻率范圍內(nèi)的幅值、相位和頻率向量，可用magdB=20*log10(mag)將幅值轉換為分貝值。bodeasym(sys)%繪制單個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線。2.系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clear;%K分別取10,100,1000k=[10,100,1000];fori=1:length(k)num=[10*k(i),k(i)];den=conv([1,0],conv([1,1],[0.01,