15/15常德市漢壽縣2021年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）計(jì)算：﹣30＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】先計(jì)算30，再求它的相反數(shù)即可．【解答】解：原式＝﹣1，故選：B．2．（3分）用科學(xué)記數(shù)法表示0.0000000314為（）A．0.314×10﹣9 B．3.14×10﹣9 C．3.14×10﹣8 D．3.14×10﹣7【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：0.0000000314＝3.14×10﹣8，故選：C．3．（3分）若分式的值為零，則x的值是（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．﹣2【分析】根據(jù)分子為零同時(shí)根據(jù)分母不為零即可求出x的值．【解答】解：由題意可知：，解得：x＝﹣3，故選：B．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．8a5b﹣3a5b＝5 B．t12÷t6＝t2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣2t2）4＝16t8【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式以及冪的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．【解答】解：A．8a5b﹣3a5b＝5a5b，故此選項(xiàng)不符合題意；B．t12÷t6＝t6，故此選項(xiàng)不合題意；C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此選項(xiàng)不合題意；D．（﹣2t2）4＝16t8，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（3分）已知命題“能被2整除的數(shù)是偶數(shù)”，則其逆命題為（）A．能被2整除的數(shù)不是偶數(shù) B．不能被2整除的數(shù)是偶數(shù) C．偶數(shù)是能被2整除的數(shù) D．偶數(shù)不是能被2整除的數(shù)【分析】交換命題的題設(shè)和結(jié)論即可寫出該命題的逆命題．【解答】解：命題“能被2整除的數(shù)是偶數(shù)”逆命題為“偶數(shù)是能被2整除的數(shù)”，故選：C．6．（3分）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B．a(chǎn) C． D．【分析】將原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝＝a．故選：B．7．（3分）甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時(shí)間相同，已知乙車每小時(shí)比甲車多行駛15千米，設(shè)甲車的速度為x千米/小時(shí)，依據(jù)題意列方程正確的是（）A． B． C． D．【分析】題中等量關(guān)系：甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時(shí)間相同，據(jù)此列出關(guān)系式．【解答】解：設(shè)甲車的速度為x千米/時(shí)，則乙車的速度為（x+15）千米/時(shí)，根據(jù)題意，得＝．故選：C．8．（3分）如圖，AE、AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B＝28°，∠C＝72°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．18° B．22° C．30° D．38°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求解∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求解∠BAD的度數(shù)，由三角形高線可求解∠BAE的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠B＝28°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣28°﹣72°＝80°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝40°，∵AE是△ABC的高線，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，∴∠DAE＝62°﹣40°＝22°．故選：B．二、填空題本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上。9．（3分）（2x﹣1）（﹣1﹣2x）＝1﹣4x2．【分析】原式利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）＝1﹣4x2．故答案為：1﹣4x2．10．（3分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若∠AOD＝120°，AB＝2，OA＝OB，則CO的長(zhǎng)為2．【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)可知△AOB是等邊三角形，所以AO＝AB＝2，則OC＝AO＝2．【解答】解：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴AO＝BO＝CO＝DO．∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°．∴△AOB是等邊三角形．∴AO＝AB＝2，∴CO＝2，故答案為：2．11．（3分）如圖：AB＝CD，AC，BD相交于點(diǎn)O，要使△ABC≌△DCB，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是∠ABC＝∠DCB或AC＝DB或△AOB≌△DOC．【分析】本題已知條件是一條公共邊BC＝BC和AB＝CD，所填條件必須和已知條件構(gòu)成或經(jīng)推理可以得出SSS、SAS，所以添加的條件可以是一條邊對(duì)應(yīng)相等或一個(gè)夾角對(duì)應(yīng)相等．【解答】解：當(dāng)添加∠ABC＝∠DCB時(shí)，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）；當(dāng)添加AC＝DB時(shí)，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；當(dāng)添加△AOB≌△DOC時(shí)，∵△AOB≌△DOC，∴AO＝DO，BO＝CO，∴AO+CO＝DO+BO，即AC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．故填：∠ABC＝∠DCB或AC＝DB或△AOB≌△DOC．12．（3分）計(jì)算a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2＝b8．【分析】先算乘方，再算乘除即可．【解答】解：原式＝a﹣2b2?a﹣6b6÷a﹣8＝b8，故答案為：b8．13．（3分）如圖，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，則∠OAD＝95度．【分析】運(yùn)用全等求出∠D＝∠C，再用三角形內(nèi)角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案為：95．14．（3分）已知2x＝3，2y＝5，則22x﹣y﹣1的值是．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，冪的乘方，可得答案．【解答】解：22x﹣y﹣1＝22x÷2y÷2＝（2x）2÷2y÷2＝9÷5÷2＝，故答案為：．15．（3分）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為45°．【分析】分別在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，繼而可得出∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接AC．根據(jù)勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故答案為：45°．16．（3分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A＝θ．則：（1）∠A1＝；（2）∠An＝．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）與（1）同理求出∠A2，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【解答】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，∵∠A＝θ，∴∠A1＝；（2）同理可得∠A2＝∠A1＝?θ＝，所以∠An＝．故答案為：（1），（2）．三、解答題本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分。17．（5分）解方程+＝1【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3+x2+3x＝x2﹣9，解得：x＝﹣4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣4是分式方程的解．18．（5分）計(jì)算：+．【分析】將原式中能因式分解的分母進(jìn)行因式分解，然后進(jìn)行分式的約分，最后再計(jì)算．【解答】解：原式＝＝＝＝＝﹣1．19．（6分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證：∠C＝∠A．【分析】由SSS證得△ABD≌△CBD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】證明：連接BD，∵在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴∠C＝∠A．20．（6分）如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題（要求寫出已知，求證及證明過程）【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法進(jìn)行組合、證明，答案不唯一．【解答】解：答案不唯一．如：已知：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．求證：BD＝CE．證明：∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．21．（7分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷，其中x＝2．【分析】根據(jù)分式的除法法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝?＝，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【解答】證明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵E是CD的中點(diǎn)（已知），∴DE＝EC（中點(diǎn)的定義）．∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性質(zhì)）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），又∵BE⊥AF，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已證），∴AB＝BC+AD（等量代換）．23．（8分）進(jìn)入防汛期后，某地對(duì)河堤進(jìn)行了加固．該地駐軍在河堤加固的工程中出色完成了任務(wù)．這是記者與駐軍工程指揮官的一段對(duì)話：通過這段對(duì)話，請(qǐng)你求出該地駐軍原來每天加固的米數(shù)．【解答】解：設(shè)原來每天加固x米．根據(jù)題意得：．去分母得：1200+4200＝18x．（或18x＝5400），解得：x＝300．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝300時(shí)，2x≠0（或分母不等于0）．∴x＝300是原方程的解．答：該地駐軍原來每天加固300米．24．（8分）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與