湖南省洞口二中2025屆高考數學二模試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．2．在復平面內，復數（為虛數單位）的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．數列的通項公式為．則“”是“為遞增數列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要4．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數.對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設勞倫茨曲線對應的函數為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④5．如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現在船往東開2百海里到達處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（）A．3 B． C．4 D．6．在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙7．各項都是正數的等比數列的公比，且成等差數列，則的值為()A． B．C． D．或8．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．9．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．810．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．111．已知函數若函數在上零點最多，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為虛數單位，且，則=_____.14．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．15．在的展開式中，常數項為________.(用數字作答)16．已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，且,，則橢圓的離心率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，函數.（Ⅰ）判斷函數的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.18．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，焦距為4，且橢圓過點，過點且不平行于坐標軸的直線交橢圓與兩點，點關于軸的對稱點為，直線交軸于點.（1）求的周長；（2）求面積的最大值.19．（12分）已知函數，曲線在點處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；（2）討論函數和的單調性；（3）設，求證：.20．（12分）設前項積為的數列，（為常數），且是等差數列.（Ｉ）求的值及數列的通項公式；（Ⅱ）設是數列的前項和，且，求的最小值.21．（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線為參數）與圓的位置關系．22．（10分）一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立．對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數，求的分布列與數學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.【詳解】設四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質可得，又由到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

將復數化簡得,,即可得到對應的點為,即可得出結果.【詳解】，對應的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復數的四則運算,考查共軛復數和復數與平面內點的對應,難度容易.3、A【解析】

根據遞增數列的特點可知，解得，由此得到若是遞增數列，則，根據推出關系可確定結果.【詳解】若“是遞增數列”，則，即，化簡得：，又，，，則是遞增數列，是遞增數列，“”是“為遞增數列”的必要不充分條件．故選：.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據數列的單調性求解參數范圍，屬于基礎題.4、A【解析】

對于①，根據基尼系數公式，可得基尼系數越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．5、B【解析】

先根據角度分析出的大小，然后根據角度關系得到的長度，再根據正弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知：，所以，，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關鍵.6、A【解析】

利用逐一驗證的方法進行求解.【詳解】若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意，故選A．【點睛】本題將數學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查．7、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據題意有，即，因為數列各項都是正數，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.8、A【解析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.9、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．10、C【解析】

根據雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.11、D【解析】

將函數的零點個數問題轉化為函數與直線的交點的個數問題，畫出函數的圖象，易知直線過定點，故與在時的圖象必有兩個交點，故只需與在時的圖象有兩個交點，再與切線問題相結合，即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可，即，當設切點，則，.故選：D.【點睛】本題考查了函數的零點個數的問題，曲線的切線問題，注意運用轉化思想和數形結合思想，屬于較難的壓軸題.12、C【解析】

根據題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當且僅當時取“＝”號．

答案：C【點睛】本題考查基本不等式的應用，“1”的應用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是首先要判斷參數是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁亲詈笠欢ㄒ炞C等號能否成立，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

解：利用復數相等，可知由有．14、【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.16、【解析】

設,則,,由知,,,作,垂足為C，則C為的中點,在和中分別求出,進而求出的關系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設,則,,由橢圓定義知,,因為,所以,,作,垂足為C，則C為的中點,在中,因為,所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關系;利用橢圓的定義,結合焦點三角形和余弦定理是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)故函數在上單調遞增，在上單調遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意得到的解析式和定義域，求導后根據導函數的符號判斷單調性．（Ⅱ）分析題意可得對任意，恒成立，構造函數，則有對任意，恒成立，然后通過求函數的最值可得所求．試題解析：（I）由題意得，，∴.當時，，函數在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得.故函數在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（II）由題意知.，當時，函數單調遞增．不妨設，又函數單調遞減，所以原問題等價于：當時，對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立.記，由題意得在上單調遞減.所以對任意，恒成立.令，，則在上恒成立.故，而在上單調遞增，所以函數在上的最大值為.由，解得.故實數的最小值為．18、（1）12（2）【解析】

（1）根據焦距得焦點坐標，結合橢圓上的點的坐標，根據定義；（2）求出橢圓的標準方程，設，聯立直線和橢圓，結合韋達定理表示出面積，即可求解最大值.【詳解】（1）設橢園的焦距為，則，故.則橢圓過點，由橢圓定義知:，故，因此，的周長；（2）由（1）知:，橢圓方程為:設，則，，，，，當且僅當在短軸頂點處取等，故面積的最大值為.【點睛】此題考查根據橢圓的焦點和橢圓上的點的坐標求橢圓的標準方程，根據直線與橢圓的交點關系求三角形面積的最值，涉及韋達定理的使用，綜合性強，計算量大.19、（1）（2）為減函數，為增函數.（3）證明見解析【解析】

（1）求出導函數，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數的單調性求解）；（2）求函數的導數，由導數的正負確定單調性；（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，．不等式，遞增得()，,,,先證，然后同樣放縮得出結論．【詳解】解：（1）對求導，得.因此.又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.由題意，.顯然，適合上式.令，求導得，因此為增函數：故是唯一解.（2）由（1）可知，，因為，所以為減函數.因為，所以為增函數.（3）證明：由，易得.由（2）可知，在上為減函數.因此，當時，，即.令，得，即.因此，當時，.所以成立.下面證明：.由（2）可知，在上為增函數.因此，當時，，即.因此，即.令，得，即.當時，.因為，所以，所以.所以，當時，.所以，當時，成立.綜上所述，當時，成立.【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查用導數研究函數的單調性，考查用導數證明不等式．本題中不等式的證明，考查了轉化與化歸的能力，把不等式變形后利用第（2）小題函數的單調性得出數列的不等關系：，．這是最關鍵的一步．然后一步一步放縮即可證明．本題屬于困難題．20、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據是等差數列.求解.（Ⅱ），根據前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當時，，所以，即，所以.因為是等差數列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以