2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題十七大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式1．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an中，a1=2，且n(n+1)an+12．（2004·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列an中，a1=1，且a(1)求a3(2)求an3．（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知數(shù)列ann∈N*的前n項(xiàng)和為(1)求a2(2)試猜想an4．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an滿足a1=3(1)試寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)若bn=a(3)根據(jù)（2）寫出an題型2題型2求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)5．（23-24高二下·遼寧·期末）已知數(shù)列an滿足a(1)計(jì)算a2,a(2)設(shè)bn=an36．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求數(shù)列an(2)若bn=a7．（23-24高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=8．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列an題型3題型3等差數(shù)列的判定與證明9．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=(1)證明數(shù)列{1an(2)求數(shù)列anan+1的前n10．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足an+1a(1)判斷數(shù)列1a(2)求數(shù)列an11．（23-24高二下·海南·期末）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an滿足：a(1)證明1an是等差數(shù)列，并求(2)記數(shù)列anan+1的前n項(xiàng)和為S12．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=1，a(1)證明：an+1?a(2)設(shè)bn=an+題型4題型4等比數(shù)列的判定與證明13．（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列an,bn滿足(1)求a3(2)證明數(shù)列an?n?114．（23-24高三下·全國(guó)·開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，(1)證明：數(shù)列Sn(2)求an15．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，a(1)求a3,a(2)證明：數(shù)列an+116．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an和bn滿足a1=λ，an+1=2(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列an(2)試判斷數(shù)列bn題型5題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用17．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列an滿足：a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足：a1bn+a218．（23-24高二上·四川成都·期末）已知遞增數(shù)列an和bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，且a1=3b1(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=ln19．（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn①求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T②若不等式λTn?Sn20．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足：a1=2，b1(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)數(shù)列cn是數(shù)列an和數(shù)列bn的相同項(xiàng)從小到大組成的新數(shù)列，Sn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求S題型6題型6數(shù)列的求和21．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=an?1322．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a12+a22(1)求數(shù)列an(2)求b123．（24-25高二上·上海·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n(1)求an(2)求數(shù)列1anan+1的前24．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：a1=1(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列an為遞增數(shù)列，數(shù)列bn滿足：bn=2an題型7題型7數(shù)列不等式25．（24-25高二上·山東·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求證：數(shù)列1a(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：26．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求an(2)若數(shù)列bn,cn滿足bn=?2log2an，cn=b27．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2a(1)求數(shù)列an(2)記cn=log2an，數(shù)列cnan的前n28．（23-24高二下·安徽·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(n?1)Sn?1?(n?3)(1)求數(shù)列Sn(2)若數(shù)列1an2的前n項(xiàng)和為Tn，證明：當(dāng)題型8題型8數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)1+3+5+?+2n?1(2)1×4+2×7+3×10+?+n3n+130．（23-24高三·全國(guó)·對(duì)口高考）是否存在正整數(shù)m使得fn=2n+7?3n+931．（23-24高二下·北京房山·期中）已知數(shù)列an中，a1=0(1)求數(shù)列an(2)根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想數(shù)列an32．（23-24高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）證明：凸n邊形的內(nèi)角和等于n?2π題型9題型9新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獢?shù)列an，若an+an+1(1)若數(shù)列an具有性質(zhì)P，且a1=a2(2)若bn=2n+(3)設(shè)c1+c2+?+cn=n2+n，數(shù)列d34．（24-25高三上·福建福州·期中）已知數(shù)列A:a1,a2,???,an，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、...、第im項(xiàng)i1<i2(1)對(duì)于數(shù)列A：2，0，2，4，寫出A的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求N(A)；(2)對(duì)于數(shù)列A:a1,a2(3)對(duì)于整數(shù)n,k(1≤k≤n?1且n≥3)，數(shù)列A:a1,a2,???,a35．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期中）已知m∈N?,?m≥5，定義：數(shù)列an共有m項(xiàng)，對(duì)任意i,?j(i,?j∈N(1)若an=n(1≤n≤10,?(2)已知遞增數(shù)列a1,?(3)已知數(shù)列an單調(diào)遞增，且為“封閉數(shù)列”，若a1≥136．（24-25高二上·福建漳州·期中）若數(shù)列an滿足an+12?an2=p(n為正整數(shù)，(1)已知數(shù)列xn，yn的通項(xiàng)公式分別為：xn(2)若數(shù)列an既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列a(3)若數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在1的條件下，在yk與yk+1之間依次插入數(shù)列an2中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列cn：y1，a12，y2，a22，a32題型10題型10切線問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx上任意一點(diǎn)x(2)求曲線y=fx在點(diǎn)3,f38．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx過(guò)點(diǎn)1,1(2)若曲線y=fx在點(diǎn)1,1處的切線與曲線y=gx在x=tt∈39．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=4x+1ex，曲線y=f(1)求直線l的方程；(2)求函數(shù)fx在閉區(qū)間?2,140．（24-25高三上·山西朔州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間?2,(2)曲線y=fx在點(diǎn)Pm,fm處的切線也是曲線y=4題型11題型11函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題41．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)f(x)=2x(1)求f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞減，求42．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)若當(dāng)x≥2時(shí)fx為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a43．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)若fx在區(qū)間0,e單調(diào)遞增，求(2)討論fx44．（24-25高三上·山東煙臺(tái)·期中）已知函數(shù)f(x)=e(1)當(dāng)a=2時(shí)，求過(guò)點(diǎn)(0,0)且與函數(shù)f(x)圖象相切的直線方程；(2)當(dāng)a<0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.題型12題型12函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用45．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)求函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程(2)求函數(shù)在[?2,1]上的極值和最值46．（24-25高三上·貴州黔西·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2?x(a,b∈R)，且當(dāng)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若對(duì)于區(qū)間[?3,3]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，有47．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x=?1是函數(shù)fx(1)求fx(2)討論fx在區(qū)間m,m+48．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若a=0，求曲線y=fx在點(diǎn)P(2)若fx在x=1處取得極值，求f(3)若fx在1,e上的最小值為?2a，求題型13題型13利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）49．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù)f(x)=aln(1)若f(x)在x=4處取得極大值，求f(4)的值；(2)求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).50．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3+2ax2(1)求a,b的值；(2)當(dāng)x∈?1,2時(shí)，方程fx=k51．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2alnx+1(1)當(dāng)a>0時(shí)，試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x152．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=1+(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)若方程fx=1有兩個(gè)不同的根（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x1題型14題型14利用導(dǎo)數(shù)證明不等式53．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(x+a)e(1)若f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，xe54．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)fx(1)若a=3，求fx(2)求函數(shù)fx(3)若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x255．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=xlnx+t在點(diǎn)(1)求t的值；(2)若存在x1<x2，使得(3)證明：f(x)+x56．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)討論函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在e(3)若fx=m有兩解x1，x2，且題型15題型15利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性問(wèn)題57．（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)若對(duì)于任意的x∈[?1,2],f(x)?mx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．58．（24-25高三上·北京·期中）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若關(guān)于x的不等式f′x<?x+a59．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)f(x)=1(1)求fx(2)設(shè)gx=x2?2x，若對(duì)任意x1∈(0,2]60．（24-25高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2kx2?4lnx(1)若y=fx+329x(2)討論函數(shù)fx(3)若對(duì)任意x1,x2∈0,e題型16題型16利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題61．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若fx為增函數(shù)，求a(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,62．（23-24高二下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x263．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)f(x)=4x?12x(1)當(dāng)a=3時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x①求a的取值范圍②證明：f(64．（24-25高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若x1,x①求a的取值范圍；②求證：f′x12+題型17題型17導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題65．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）給出定義：設(shè)f′x是函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x(1)若4,f4是函數(shù)fx的“拐點(diǎn)”，求a的值和函數(shù)(2)若函數(shù)fx的“拐點(diǎn)”在y軸右側(cè)，討論f66．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）若函數(shù)fx在a,b上存在x1,x2a<x1<x2<b，使得f′x(1)判斷函數(shù)fx=x(2)已知函數(shù)fx=12x2?xlnx?ax，存在m>n>0，使得fm=f①求a的取值范圍；②證明：x167．（23-24高二下·江蘇南京·期中）設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間D上可導(dǎo)，g′x為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù).若g′x是D上的減函數(shù)，則稱g(x)為D上的“上凸函數(shù)”；反之，若g(x)為D上的“上凸函數(shù)”，則(1)判斷函數(shù)f(x)=2xcosx?1在(2)若函數(shù)?(x)=?13x68．（23-24高三下·重慶·期中）若函數(shù)fx在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)x1,x2，同時(shí)滿足fx1(1)證明：fx(2)若gx=xln（?。┣笞C：x1（ⅱ）求證：a+122024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題十七大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式1．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an中，a1=2，且n(n+1)an+1【解題思路】方法一，由已知可得an?an+1=【解答過(guò)程】（法一）由題意知，an則an?1累加得：a1?an=1?故an=1+1故?n∈N（法二）由題意知，an?a所以a所以an2．（2004·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列an中，a1=1，且a(1)求a3(2)求an【解題思路】（1）代入序數(shù)，逐項(xiàng)計(jì)算即可求得a3（2）根據(jù)a2k+1=a再由a2k?1?a2k?3=【解答過(guò)程】（1）a2a3a4a5所以a3=3，（2）由a2k+1所以a2k+1同理a2k?1又a3所以(=(所以a2k+1于是a2k+1于是a2kan當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an3．（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知數(shù)列ann∈N*的前n項(xiàng)和為(1)求a2(2)試猜想an【解題思路】（1）由數(shù)列的遞推式，分別令n=1和n=2，計(jì)算可得所求值；（2）猜想an【解答過(guò)程】（1）由題知，a2=2同理，a3=2（2）由（1）可猜想an已知an=2n+1S化簡(jiǎn)得n?1Sn=則有Sn又a1=S則an當(dāng)n=1時(shí)，上式仍成立，則an4．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an滿足a1=3(1)試寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)若bn=a(3)根據(jù)（2）寫出an【解題思路】（1）由遞推公式直接計(jì)算即可；（2）構(gòu)造法證明bn（3）由（2）可知an+1=b【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n+1=2a所以a2=2aa4=2a（2）因?yàn)閍n+1=2aan+1所以an+1+1a所以bn是以b1=所以bn（3）由（2）可知：bn所以an+1=2題型2題型2求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)5．（23-24高二下·遼寧·期末）已知數(shù)列an滿足a(1)計(jì)算a2,a(2)設(shè)bn=an3【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系得到前三項(xiàng)，猜想通項(xiàng)并利用新數(shù)列的關(guān)系加以證明；（2）寫出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，利用bn+1b【解答過(guò)程】（1）由題意得a2=3×1?2×1+1=2，a3式子an+1=3a因?yàn)閍1?1=0，所以因此數(shù)列{an}（2）由bn=an33a若13(1+1當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn+1當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1故n=3時(shí)，bn取最大值b6．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求數(shù)列an(2)若bn=a【解題思路】（1）根據(jù)an（2）根據(jù)an得到b【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）由已知得b1當(dāng)n≥2時(shí)，bn則bn≥b得2n≥104104≥2n?1所以當(dāng)n≥2，bn又b7所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第77．（23-24高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=【解題思路】（1）根據(jù)an（2）求出b1=15，當(dāng)n≥2時(shí)，計(jì)算出bn+1bn=1【解答過(guò)程】（1）Sn=2n+3當(dāng)n≥2時(shí)，an其中21?1故a（2）當(dāng)n=1時(shí)，b1當(dāng)n≥2時(shí)，bn則bn+1當(dāng)n=2時(shí)，b3當(dāng)n≥3時(shí)，1n+1≤43，故n≥2時(shí)，bn的最大項(xiàng)為b又b3>b1，故數(shù)列8．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）由于an>0，所以分別由anan?1>1n≥2（2）由（1）可得a8【解答過(guò)程】（1）證明：因?yàn)閍n>0，令即n+1910nn910n?1>1，整理得同理，令an即當(dāng)n=9時(shí)，a8令anan?1即當(dāng)n>9時(shí)，an綜上，數(shù)列an從第1項(xiàng)到第8項(xiàng)遞增，從第9項(xiàng)起遞減，即數(shù)列a（2）由（1）知，a8≥a故a8=a題型3題型3等差數(shù)列的判定與證明9．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=(1)證明數(shù)列{1an(2)求數(shù)列anan+1的前n【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列定義推理得證，再求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即得.【解答過(guò)程】（1）由an+1+2an+1an?an所以數(shù)列{1an1an=3+2(n?1)=2n+1（2）由（1）知an所以Sn10．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足an+1a(1)判斷數(shù)列1a(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到(1an+2（2）由（1）可得1an+1?【解答過(guò)程】（1）由正項(xiàng)數(shù)列an滿足a可得1an+即(1又由a1=1,a故數(shù)列1an+1?（2）由（1）可得1a所以1a將以上式子累加，可得1a可得1an=11．（23-24高二下·海南·期末）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an滿足：a(1)證明1an是等差數(shù)列，并求(2)記數(shù)列anan+1的前n項(xiàng)和為S【解題思路】（1）通過(guò)構(gòu)造法，利用等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的概念求解an（2）通過(guò)裂項(xiàng)法求解Sn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n≠0，故由可得1a又1a1=1所以1an=1+3（2）易得an所以S==易知fn=1?13n+1在因此1412．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=1，a(1)證明：an+1?a(2)設(shè)bn=an+【解題思路】（1）根據(jù)條件，利用等差數(shù)列定義，即可證明結(jié)果，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到an+1（2）由（1）得bn=n2+kn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n+2=2a又a2?a1=3，所以數(shù)列a所以an+1當(dāng)n≥2時(shí)，(a所以an?a1=n2?1，又所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）由（1）知bn=n所以bn+1?b得到k<(n+1)2n2對(duì)題型4題型4等比數(shù)列的判定與證明13．（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列an,bn滿足(1)求a3(2)證明數(shù)列an?n?1【解題思路】（1）已知a1,b1的值，代入遞推公式得出（2）由兩式消元得到2an+1+bn+1=4n+4，將n+1變?yōu)閚得到等式，代入①式消元得到【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2當(dāng)n=2時(shí)，a3（2）∵an+1∴①×2+②得到2a則bn=4n?2a則a∴an+1且a1∴數(shù)列an∴an∴an14．（23-24高三下·全國(guó)·開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，(1)證明：數(shù)列Sn(2)求an【解題思路】（1）由an+1=S（2）先結(jié)合（1）求出Sn=3n2n?1+1，再根據(jù)n≥2時(shí)，【解答過(guò)程】（1）∵a∴S即2n?1S即2n?1S即2n?1S即Sn+1又∵S∴數(shù)列Sn?12n?1是以首項(xiàng)為3（2）由（1）知：Sn即Sn當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1an又∵a故an15．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，a(1)求a3,a(2)證明：數(shù)列an+1【解題思路】（1）先根據(jù)遞推公式得出a3（2）結(jié)合已知應(yīng)用遞推公式,根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列.【解答過(guò)程】（1）由2an=結(jié)合a1=1,a2=2（2）因?yàn)閍n+2所以an為正項(xiàng)遞增數(shù)列，所以a所以an+2故數(shù)列an+116．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an和bn滿足a1=λ，an+1=2(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列an(2)試判斷數(shù)列bn【解題思路】（1）利用反證法，根據(jù)a2（2）代入化簡(jiǎn)可得bn+1【解答過(guò)程】（1）∵an+1=23an+n?4假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列an則a22=a1a3故對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列an（2）∵bn∴bn+1∵b1∴當(dāng)λ=?18時(shí)，b1=0，此時(shí)數(shù)列當(dāng)λ≠?18時(shí)，b1≠0，此時(shí)bn+1題型5題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用17．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列an滿足：a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足：a1bn+a2【解題思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）令Dn=a1bn+a【解答過(guò)程】（1）設(shè)an公差為d，又a所以a2又a1=1，即1+d2=2+2d，解得而d=?1時(shí)，不滿足a1,a所以an（2）令Dn所以Dn+1兩式相減有：Dn+1所以數(shù)列bn的前n+1項(xiàng)和為2?3n又D1=a所以Tn18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知遞增數(shù)列an和bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，且a1=3b1(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=ln【解題思路】（1）由等差和等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題意列方程組，解出a1（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)再簡(jiǎn)單放縮可得cn【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為由題意可得：a1=3b由上述式子可得：13化簡(jiǎn)得：a1+9da1?3d若a1=?9d，可得b1若a1=3d，帶入得q=3，又由a1+b1q=6于是得到數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n+2，數(shù)列b（2）由題可得cn由于n∈N?時(shí)，則3n≥3所以cn則c1c2所以c119．（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn①求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T②若不等式λTn?Sn【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解；（2）①先計(jì)算bn的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解T②代入Tn,Sn，得到λ≤2?n3n【解答過(guò)程】（1）依題意得3a1+∴an=（2）①bnanTn3T所以?2Tn=3+2?3+2?32∴T②由（1）易求得Sn=n(n+2)，所以不等式λT即轉(zhuǎn)化為λ≤2?n3n令fn=2?n又fn+1當(dāng)1≤n≤2時(shí)，fn+1?fn<0；所以f(1)>f(2)>f(3)，且f(3)<f(4)<?，則λ≤fn所以實(shí)數(shù)λ的最大值為?120．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足：a1=2，b1(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)數(shù)列cn是數(shù)列an和數(shù)列bn的相同項(xiàng)從小到大組成的新數(shù)列，Sn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求S【解題思路】（1）根據(jù)題意分別可得關(guān)于等差數(shù)列{an}的公差d和等比數(shù)列{bn}的公比為q的方程，解方程可得d和（2）由（1）知道數(shù)列{an}和數(shù)列{【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{則a2解得d=2，∴a∴b解得q=?2，∴b即an=2n（2）由（1）知道數(shù)列{an}和數(shù)列{即是：22，24，26，28，210，212，…，即cn所以Sn=4(1?4n題型6題型6數(shù)列的求和21．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=an?13【解題思路】（1）根據(jù)an與S（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【解答過(guò)程】（1）令n=1，得a1當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?Sn=(2n+1)兩式相減得4a即(2n?3)an=(2n?1)所以a2a1所以an又a1=1，符合上式，所以（2）bn則Tn13兩式作差得23即23所以Tn22．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a12+a22(1)求數(shù)列an(2)求b1【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，得到a1（2）利用倒序相加法求和即可.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1a1①－②得：an∴an=2n，當(dāng)∴an（2）∵bn∴b=∴b1b99又∵b1+∴b123．（24-25高二上·上?！て谥校┰O(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n(1)求an(2)求數(shù)列1anan+1的前【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an之間的關(guān)系可求得（2）由（1）得1anan+1的通項(xiàng)公式，再由前n項(xiàng)和的定義寫出【解答過(guò)程】（1）由題意得，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式a當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an又當(dāng)n=1時(shí)，2×1=1滿足an所以數(shù)列{an}（2）由（1）可得，an+1所以1a所以數(shù)列1anan+1=====n所以數(shù)列1anan+1的前24．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：a1=1(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列an為遞增數(shù)列，數(shù)列bn滿足：bn=2an【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義由等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得公差，即求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得bn【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由a1,a解得d=0或d=2；當(dāng)d=0時(shí)，可得an當(dāng)d=2時(shí)，可得an所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=1（2）由（1）可得an=2n?1，所以因此an所以T=1+3+???+2n?1即數(shù)列an+bn的前題型7題型7數(shù)列不等式25．（24-25高二上·山東·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求證：數(shù)列1a(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：【解題思路】（1）an+1=an2+an（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到an=12n?1，從而S1【解答過(guò)程】（1）已知an+1=a所以1an+1+1=2所以數(shù)列1a（2）由（1）知，1an+1=2×當(dāng)n=1時(shí)，S1當(dāng)n≥2時(shí)，an所以Sn綜上所述，Sn26．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求an(2)若數(shù)列bn,cn滿足bn=?2log2an，cn=b【解題思路】（1）利用Sn（2）由條件求出bn,cn，利用錯(cuò)位相減法求出【解答過(guò)程】（1）由2Sn+1?Sn=2，令又a1=1，得2S又a2=12a則數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1∴an=（2）由題意得bn=?2log所以Tn2T②?①得Tn∴T∵不等式Tn?2≥λc即不等式(n?1)2n+1≥λn?2n∵n∈N?，∴λ≤0．27．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2a(1)求數(shù)列an(2)記cn=log2an，數(shù)列cnan的前n【解題思路】（1）利用條件，再寫一式，兩式相減，可證得數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列a（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出Tn，再將題意轉(zhuǎn)化為可得nn+12nmax≤λ【解答過(guò)程】（1）由2an=兩式相減可得：2an+1?2令n=1，可得2a1=所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a（2）∵cn=可得Tn=1兩式相減得：1=1?12n因?yàn)閚2?Tn原題意等價(jià)于關(guān)于n的不等式nn+12n記bn令bn≥bn+1b則b1<b2=b3>b可得λ≥32，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍28．（23-24高二下·安徽·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(n?1)Sn?1?(n?3)(1)求數(shù)列Sn(2)若數(shù)列1an2的前n項(xiàng)和為Tn，證明：當(dāng)【解題思路】（1）利用公式n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1，得到關(guān)于數(shù)列S（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并放縮為1【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時(shí)，(n?1)?(n+1)法一：S∴S=當(dāng)n=1時(shí)，S1=1，也滿足法二：可得Sn所以數(shù)列SnSn（2）Sn=n(n+1)首項(xiàng)a1=1滿足，所以所以1n(n+1)設(shè)數(shù)列bn數(shù)列bn前n項(xiàng)和為1分析可得，數(shù)列1an2設(shè)數(shù)列c數(shù)列cn前n項(xiàng)和為1+1?所以nn+1題型8題型8數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)1+3+5+?+2n?1(2)1×4+2×7+3×10+?+n3n+1【解題思路】（1）記Sn=1+3+5+?+2n?1=n2，驗(yàn)證當(dāng)（2）記Tn=1×4+2×7+3×10+?+n3n+1=nn+12n∈【解答過(guò)程】（1）證明：記Sn當(dāng)n=1時(shí)，則有S1假設(shè)當(dāng)n=kk∈N+則Sk+1這說(shuō)明當(dāng)n=k+1k∈故對(duì)任意的n∈N+，（2）證明：設(shè)Tn當(dāng)n=1時(shí)，T1假設(shè)當(dāng)n=kk∈即Tk所以，T=k+1這說(shuō)明當(dāng)n=k+1k∈所以，對(duì)任意的n∈N+，30．（23-24高三·全國(guó)·對(duì)口高考）是否存在正整數(shù)m使得fn=2n+7?3n+9【解題思路】求出f1、f2的最大公約數(shù)，可得出m的值，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明出fn【解答過(guò)程】解：f1=9×3+9=36，所以，f1、f2的最大公約數(shù)為猜想：對(duì)任意的n∈N?，fn當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?，猜想成立，即f即存在t∈N?，使得則當(dāng)n=k+1k∈N=108t+2?3因?yàn)?k?1為奇數(shù)，則3k?1?1為偶數(shù)，則18所以，fk+1能被36這說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，故對(duì)任意的n∈N?，fn=2n+7?3故m的最大值為36.31．（23-24高二下·北京房山·期中）已知數(shù)列an中，a1=0(1)求數(shù)列an(2)根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想數(shù)列an【解題思路】（1）由題意逐個(gè)計(jì)算即可得；（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果可猜想出數(shù)列an【解答過(guò)程】（1）由a1=0且an+1a3=1（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果可猜想an當(dāng)n=1時(shí)，a1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即有ak則當(dāng)n=k+1時(shí)，有ak+1即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立；故猜想an32．（23-24高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）證明：凸n邊形的內(nèi)角和等于n?2π【解題思路】驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=kk∈N*,k≥3時(shí)，結(jié)論成立，分析可知凸k+1k≥3,k∈N*邊形A1A2?Ak【解答過(guò)程】設(shè)f(n)=(n?2)π當(dāng)n=3時(shí)，三角形的內(nèi)角和為π，即f3假設(shè)當(dāng)n=kk∈N*假設(shè)凸k+1k≥3,k∈N*則凸k+1k≥3,k∈N*邊形A1A2?Ak所以，fk+1這說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，故凸n邊形的內(nèi)角和fn題型9題型9新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獢?shù)列an，若an+an+1(1)若數(shù)列an具有性質(zhì)P，且a1=a2(2)若bn=2n+(3)設(shè)c1+c2+?+cn=n2+n，數(shù)列d【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列數(shù)列an具有性質(zhì)P可得a（2）依據(jù)數(shù)列新定義，結(jié)合等比數(shù)列定義即可判斷結(jié)論，進(jìn)而證明；（3）求出cn=2n,可得dn+dn+1=【解答過(guò)程】（1）由題意數(shù)列an具有性質(zhì)P,an由a1=∴q=2,∴a3（2）數(shù)列bn具有性質(zhì)P因?yàn)閎n所以b則bn+1+b所以數(shù)列bn具有性質(zhì)P（3）因?yàn)閏1+c1故cnc1=2適合該式,故所以由d得d∴d因?yàn)閿?shù)列dn具有性質(zhì)P，故dn+dn+1故d當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),d=2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),d=2故dn34．（24-25高三上·福建福州·期中）已知數(shù)列A:a1,a2,???,an，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、...、第im項(xiàng)i1<i2(1)對(duì)于數(shù)列A：2，0，2，4，寫出A的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求N(A)；(2)對(duì)于數(shù)列A:a1,a2(3)對(duì)于整數(shù)n,k(1≤k≤n?1且n≥3)，數(shù)列A:a1,a2,???,a【解題思路】（1）根據(jù)N(A)的定義結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)題意可知N(A)≤N(B)，結(jié)合對(duì)稱可得N(B)≤N(A)，得N(A)=N(B)，同理N(A)=N(C)?（3）令A(yù)??：00?0n?k個(gè)?11?1k個(gè)，得數(shù)列A【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閿?shù)列A：2，0，2，4，可得：A的長(zhǎng)度為3的子列為：2,0,2;2,0,4;2,2,4;0,2,4，有4個(gè)，且A的長(zhǎng)度為2的子列有5個(gè)，長(zhǎng)度為4的子列有1個(gè)，所以N(A)=10.（2）N(A)=N(B)=N(C)，理由如下：若m1,m則mk,m若m1,m2,???,則mk,mk?1,則N(A)≤N(B)；同理可得N(B)≤N(A)，所以N(A)=N(B)；同理可得N(A)=N(C)；所以有N(A)=N(B)=N(C).（3）由已知可得，數(shù)列A?:a1,令A(yù)?下證：N(A)≥N(A由于A?所以A?的子列中含有i個(gè)0，j個(gè)1(i=0,1,?,n?k,j=0,1,???,k,i+j≥2)設(shè)為：00因?yàn)閿?shù)列A?:a1,所以N(A)≥N(A數(shù)列A?不含有0的子列有k?1個(gè)，含有1個(gè)0的子列有k個(gè)，含有2個(gè)0的子列有k+1個(gè)，?，含有n?k個(gè)0的子列有k+1個(gè)，所以N(A所以N(A)的最小值為nk+n?k35．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期中）已知m∈N?,?m≥5，定義：數(shù)列an共有m項(xiàng)，對(duì)任意i,?j(i,?j∈N(1)若an=n(1≤n≤10,?(2)已知遞增數(shù)列a1,?(3)已知數(shù)列an單調(diào)遞增，且為“封閉數(shù)列”，若a1≥1【解題思路】（1）舉出反例，得到數(shù)列an（2）數(shù)列遞增，由a5a5=1求出a1=1，通過(guò)分析得到a58,a5a3（3）數(shù)列an單調(diào)遞增，所以amam=1是an中的項(xiàng)，即a1=1，且amai【解答過(guò)程】（1）由題意知，數(shù)列an因?yàn)閍2?a7=2×7=14,所以數(shù)列an（2）由題意數(shù)列遞增可知a1<2<a3<8<所以a5a5=1是因?yàn)閍5ai>a所以a58=2由a5a3=a（3）因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以am>1，則a所以amam=1是因?yàn)閍mai(1<i≤m,?i∈N所以1=a因?yàn)閍1,a所以am類似地，2<j≤m?1,?j∈N?,所以am?1aj1=a所以am?1由①和②得am所以an36．（24-25高二上·福建漳州·期中）若數(shù)列an滿足an+12?an2=p(n為正整數(shù)，(1)已知數(shù)列xn，yn的通項(xiàng)公式分別為：xn(2)若數(shù)列an既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列a(3)若數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在1的條件下，在yk與yk+1之間依次插入數(shù)列an2中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列cn：y1，a12，y2，a22，a32【解題思路】（1）根據(jù)等方差數(shù)列的定義，即可判斷；（2）根據(jù)等差數(shù)列及等方差數(shù)列的定義即可求解；（3）首先說(shuō)明yn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閤n+12?所以數(shù)列xn因?yàn)閥2所以數(shù)列yn（2）證明：因?yàn)閍n是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d則a又an是等方差數(shù)列，所以故an所以an即da所以d=0，故an（3）由題意知數(shù)列an故an+12?anyn而新數(shù)列cn中yk+1項(xiàng)(含yk+1令k+1k+22≤30，結(jié)合k∈故數(shù)列cn中前30項(xiàng)含有yn的前7項(xiàng)和數(shù)列所以數(shù)列cn中前30項(xiàng)的和T題型10題型10切線問(wèn)題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx上任意一點(diǎn)x(2)求曲線y=fx在點(diǎn)3,f【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點(diǎn)的斜率；（2）先求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值得出斜率再點(diǎn)斜式求出切線方程.【解答過(guò)程】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=fx上任意一點(diǎn)x0,f則由導(dǎo)數(shù)的定義，可得f′即曲線y=fx上任意一點(diǎn)x0,f（2）f3=0，由（1）知，曲線y=fx在點(diǎn)3,f所以切線方程為y?0=2x?3，即2x?y?6=038．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx過(guò)點(diǎn)1,1(2)若曲線y=fx在點(diǎn)1,1處的切線與曲線y=gx在x=tt∈【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求過(guò)一點(diǎn)的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線平行列方程求參數(shù)值.【解答過(guò)程】（1）由導(dǎo)數(shù)公式得f′設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0由題意可得：y0?1=k(所以x0=1y0從而切線方程為2x+y?3=0或x?4y+3=0.（2）由(1)可得：曲線y=fx在點(diǎn)1,1處的切線方程為y=?2x+3由g′x=?2e?2x+1，可得曲線y=g由題意可得?2e?2t+1=?2，

從而此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為12,1，曲線y=gx在x=即y=?2x+2，故符合題意，所以t=139．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=4x+1ex，曲線y=f(1)求直線l的方程；(2)求函數(shù)fx在閉區(qū)間?2,1【解題思路】（1）求出f'0=5（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值.【解答過(guò)程】（1）f'x=4x+5e故曲線y=fx在0,f0處的切線方程為故切線方程為y=5x+1.（2）由（1）可得?2<x<?54時(shí)，f′x<0故fx在?2,?54故fxmin=f40．（24-25高三上·山西朔州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間?2,(2)曲線y=fx在點(diǎn)Pm,fm處的切線也是曲線y=4【解題思路】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性判斷函數(shù)在區(qū)間?2,3（2）根據(jù)題意先求出曲線y=fx在點(diǎn)Pm,fm處的切線方程，將該切線方程與曲線方程y=4x2?a聯(lián)立得出關(guān)于【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒x=x令f′x<0令f′x>0，可得x<?1所以函數(shù)fx在?∞,?1所以函數(shù)fx在區(qū)間?2,?1,1,由f1故函數(shù)在?2,32上的值域?yàn)椋?）由f′所以曲線y=fx在點(diǎn)P處的切線斜率為：k=f′所以曲線y=fx在點(diǎn)P處的切線方程為：y?整理得：y=聯(lián)立方程y=3m2?3x?2由題意得：Δ整理得：?16a=9m令gx則g′令g′x>0，可得?令g′x<0，可得x<?所以函數(shù)gx的增區(qū)間為?13由g3=?288,g?有?16a≥?288，可得a≤18.題型11題型11函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題41．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)f(x)=2x(1)求f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞減，求【解題思路】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到斜率，進(jìn)而求得切線；（2）令g(x)=f′(x)=(2?a)sinx+4x【解答過(guò)程】（1）由題可知f′則f′(0)=0，又故f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=0.（2）令g(x)=f則g′當(dāng)a<6時(shí)，g′(0)>0,g′π記其中最小的零點(diǎn)為x0，則g′(x)在0,x0故f′(x)在0,x故f(x)在0,x當(dāng)a≥6時(shí)，在0,π2上有故g′(x)<0,g(x)在即f′(x)在0,π故f(x)在0,π故a的取值范圍為[6,+∞42．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)若當(dāng)x≥2時(shí)fx為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a【解題思路】（1）求導(dǎo)，令f'x<0（2）依題意，f'x≥0【解答過(guò)程】（1）fx的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a=1∴f'當(dāng)0<x<1時(shí)，f'x<0，當(dāng)x>1所以fx在0,1上的單調(diào)遞減，在1,+（2）當(dāng)x≥2時(shí)fx所以f'x=所以a≥2x?x令φx=2x?x所以φx在[2,+所以φx∴a≥?1.43．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)若fx在區(qū)間0,e單調(diào)遞增，求(2)討論fx【解題思路】（1）由題意可知：當(dāng)x∈0,e時(shí)，（2）分a≤22和a>2【解答過(guò)程】（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，fx在區(qū)間0,e單調(diào)遞增，即當(dāng)x∈0,亦即a≤1x+2x因?yàn)?x+2x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)所以a的取值范圍為?∞（2）①當(dāng)a≤22時(shí)，f′x則fx在0,+②當(dāng)a>22時(shí)，f′x令f′x=0，解得x1當(dāng)x1<x<x2，f′x<0所以，fx在區(qū)間x1,x2綜上所述，當(dāng)a≤22時(shí)，fx在當(dāng)a>22時(shí)，fx在區(qū)間在區(qū)間0,a?a244．（24-25高三上·山東煙臺(tái)·期中）已知函數(shù)f(x)=e(1)當(dāng)a=2時(shí)，求過(guò)點(diǎn)(0,0)且與函數(shù)f(x)圖象相切的直線方程；(2)當(dāng)a<0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【解題思路】（1）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0的切線過(guò)點(diǎn)(0,0)，可得切線方程為y?(e（2）求導(dǎo)得f′(x)=2(ex+a2【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=e2x?2x設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0的切線過(guò)點(diǎn)(0,0)，所以又f(x所以y?(e又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0,0)，所以0?(e所以?e2x所以切線方程為y?e+1=(2e（2）由f(x)=e可得f′當(dāng)?2<a<0時(shí)，由f′(x)>0，可得x<ln所以函數(shù)f(x)在(?∞,ln由f′(x)<0，可得ln(?a2當(dāng)a=?2時(shí)，由f′(x)≥0，可得x∈R，所以函數(shù)f(x)當(dāng)a<?2時(shí)，由f′(x)>0，可得x<0或x>ln(?a2)由f′(x)<0，可得0<x<ln(?a綜上所述：當(dāng)?2<a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,ln(?a當(dāng)a=?2時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a<?2時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,0)和(ln題型12題型12函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用45．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)求函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程(2)求函數(shù)在[?2,1]上的極值和最值【解題思路】（1）對(duì)f(x)=xex求導(dǎo)，進(jìn)而求得f′（2）令f′(x)=0，可得x=?1，可求f(x)在【解答過(guò)程】（1）由f(x)=xex，得所以f′(1)=(1+1)e1=2又f(1)=e，所以函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為：y?e=2（2）令f′(x)=0，可得(x+1)e當(dāng)x∈(?2,?1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)=xe當(dāng)x∈(?1,1)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)=xe所以f(x)=xex在x=?1有極小值又f(?2)=?2e2所以f(x)=xex在[?2,1]上的最小值為?146．（24-25高三上·貴州黔西·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2?x(a,b∈R)，且當(dāng)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若對(duì)于區(qū)間[?3,3]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，有【解題思路】（1）利用根據(jù)極值及極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0.列出方程求解，注意檢驗(yàn)，即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大最小值，根據(jù)題意最大值與最小值之差即為c的最小值.【解答過(guò)程】（1）f′由題意得f1=?76經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=43,b=?32時(shí)，f(x)所以f(x)=4（2）f′令f′(x)>0得?3≤x<?14或1<x≤3；令所以f(x)在?3,?14上單調(diào)遞增，在?1因?yàn)閒(?3)=?93所以f(x)對(duì)于區(qū)間[?3,3]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x所以c≥66,c的最小值為66．47．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x=?1是函數(shù)fx(1)求fx(2)討論fx在區(qū)間m,m+【解題思路】（1）根據(jù)極值點(diǎn)求出a，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得出單調(diào)性即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用m對(duì)區(qū)間m,m+5【解答過(guò)程】（1）fx的定義域?yàn)镽，f當(dāng)a≠?1時(shí)，f′?1=e?a?1當(dāng)a=?1時(shí)，令f′x=?xf′x在?∞,?1小于0，在區(qū)間故fx在?∞,?1單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2單調(diào)遞增，在2,+∞單調(diào)遞減，此時(shí)綜上，fx在?∞,?1單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2（2）由（1）可知：fx在?∞,?1單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2當(dāng)m+5≤?1,即m≤?1?5時(shí)，fx在區(qū)間當(dāng)?1?5<m<?1時(shí)，fx在m,?1單調(diào)遞減，在?1,m+當(dāng)?1<m<2?5時(shí)，fx在區(qū)間m,m+5當(dāng)2?5≤m≤2時(shí)，fx在m,2單調(diào)遞增，在2,m+當(dāng)m>2時(shí)，fx在區(qū)間m,m+5單調(diào)遞減，故最大值為48．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若a=0，求曲線y=fx在點(diǎn)P(2)若fx在x=1處取得極值，求f(3)若fx在1,e上的最小值為?2a，求【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）根據(jù)fx在x=1處取得極值，求出a（3）分類討論，討論a與區(qū)間1,e的位置關(guān)系，確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值，即可確定a【解答過(guò)程】（1）若a=0，則fx=x故f2故曲線y=fx在點(diǎn)P2,f2處的切線方程為y?2=3（2）fx=x則f′由于fx在x=1處取得極值，故f則f′令f′x>0，則0<x<12或x>1令f′x<0，則12<x<1故當(dāng)x=12時(shí)，fx當(dāng)x=1時(shí)，fx取到極小值f（3）由于f′當(dāng)a≤1時(shí)，f′x≥0，僅在a=1,x=1時(shí)等號(hào)取得，f則fx當(dāng)1<a<e時(shí)，則1<x<a時(shí)，f′x<0，a<x<e時(shí)，f′x>0，故fx當(dāng)a≥e時(shí)，f′x<0，故fx綜上，可知a的取值范圍為(?題型13題型13利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）49．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù)f(x)=aln(1)若f(x)在x=4處取得極大值，求f(4)的值；(2)求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解題思路】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0求出a，再檢驗(yàn)即可得解；（2）分0<a<1,a=1,a>1三種情況討論，討論時(shí)，列出當(dāng)x變化時(shí)，f′【解答過(guò)程】（1）fx的定義域?yàn)閍,+f因?yàn)?是f(x)的極大值點(diǎn)，所以f′4=0，即4?2a3?a當(dāng)a=2時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′x2,333,444,+f+0?0+f↗極大值↘極小值↗此時(shí)，4是fx當(dāng)a=3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′x3,444,666,+f+0?0+f↗極大值↘極小值↗此時(shí)4是fx因此a=3，此時(shí)f4（2）①當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′xa,2a2a2a,a+1a+1a+1,+f+0?0+f↗極大值↘極小值↗f2a=alna?2a又f(4a+2)=aln3a+2>0，因此f(x)因此f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.②當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意x>1,f′(x)≥0，f(x)又f(2)=?1<0,f(6)=ln因此f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.③當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′xa,a+1a+1a+1,2a2a2a,+f+0?0+f↗極大值↘極小值↗fa+1=?32又f(4a+2)=aln3a+2>0，因此f(x)因此f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.綜上，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.50．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3+2ax2(1)求a,b的值；(2)當(dāng)x∈?1,2時(shí)，方程fx=k【解題思路】（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再依據(jù)題意（2）由（1）得f(x)=x3+2x2+x和f′(x)，接著研究【解答過(guò)程】（1）由fx=x依題意可知f?1=0f′(?1)=0此時(shí)fx=x由f′(x)=3x2+4x+1=當(dāng)x<?1時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)當(dāng)?1<x<?13時(shí)，f′故x=?1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(?1)=0（2）由（1）得f(x)=x3+2令f′(x)=0，解得x=?13或故當(dāng)?1<x<?13時(shí)f′(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，當(dāng)?1當(dāng)x=?13時(shí)，f(x)取得極小值，無(wú)極大值，所以所以在區(qū)間[?1,2]上，f(x)的最大值為f(?1)或f(2)，而f(?1)=0,f(2)=8+8+2=18，所以f(x)在區(qū)間[?1,2]上的最大值為18，最小值為?4作出函數(shù)y=f(x)與直線y=k的圖像，如圖，

由圖知?451．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2alnx+1(1)當(dāng)a>0時(shí)，試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x1【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)并討論參數(shù)a的范圍研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷單調(diào)性；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性判斷f(2)、f(a)的符號(hào)，排除a≥0，再在a<0的情況下研究f(x)的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；（ii）由（i）有0<x1<2<x2【解答過(guò)程】（1）由題設(shè)f′(x)=2a當(dāng)0<a<2時(shí)，在(0,a)上f′(x)>0，在(a,2)上f′(x)<0，在所以，在(0,a)、(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，在(a,2)上當(dāng)a=2時(shí)，在(0,+∞)上f′(x)≥0恒成立，故當(dāng)a>2時(shí)，在(0,2)上f′(x)>0，在(2,a)上f′(x)<0，在所以，在(0,2)、(a,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，在(2,a)上（2）（i）由f(2)=2aln若a>0時(shí)，f(a)=2aln令y=4lna?a?4且a>0，則所以0<a<4時(shí)y′>0，a>4時(shí)故y=4lna?a?4在(0,4)上遞增，在(4,+∞所以f(a)<0，結(jié)合（1）中f(x)的單調(diào)性，易知a>0不可能出現(xiàn)兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，又a=0時(shí)，f(x)=12x所以a<0，此時(shí)，在(0,2)上f′(x)<0，在(2,+∞故在(0,2)上f(x)單調(diào)遞減，在(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，則又x趨向于0或負(fù)無(wú)窮時(shí)，f(x)趨向正無(wú)窮，只需g(a)=a(ln顯然g(a)在(?∞,0)上遞減，且當(dāng)a=1所以，1ln2?1<a<0時(shí)g(a)<0（ii）由（i），在1ln2?1<a<0時(shí)，f(x)不妨令0<x1<2<x2，要證x由（i）知：在(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，只需證由2alnx令?(x)=f(4?x)?f(x)，且0<x<2，則?(x)=2a=2aln所以，在(0,2)上?′(x)=?2a?(x?2)2x(4?x)所以?(x)<?(2)=2aln2?2aln所以x152．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=1+(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)若方程fx=1有兩個(gè)不同的根（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x1【解題思路】（1）求函數(shù)fx（2）方程fx=1可化為1+lnxx（3）設(shè)x1<x2，由（i）0<x1<1<x2，由已知lnx1+1x1=lnx2+1x2，法一：先證明x2≥2時(shí)結(jié)論成立，構(gòu)造函數(shù)px=g【解答過(guò)程】（1）由題意得fx=1+lnx由f′x=0當(dāng)0<x<1時(shí)，f′當(dāng)x>1時(shí)，f′綜上，fx在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+（2）（i）由1+lnxax設(shè)gx由（1）得gx在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+又g1e=0,g1=1，當(dāng)x>1時(shí)，g所以當(dāng)0<a<1時(shí)，方程1+lnxx故a的取值范圍是0,1．

（ii）不妨設(shè)x1<x2，則法一：當(dāng)x2∈2,+∞時(shí)，結(jié)合（i）知當(dāng)x2∈1,2設(shè)px=g則p所以px在區(qū)間0,1則px<p1所以g又x1∈0,1所以2?x1<又x1≠x故2x12法二：設(shè)?x=gx則?′所以?x在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，又所以?x1=g又gx2=g又x2>1,1所以x2>1又x1≠x題型14題型14利用導(dǎo)數(shù)證明不等式53．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(x+a)e(1)若f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，xe【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可得解.（2）構(gòu)造函數(shù)?(x)=ex?x,x>0【解答過(guò)程】（1）函數(shù)f(x)=(x+a)ex+1的定義域?yàn)镽，f(x)≥0?a≥?x?依題意，a≥g(x)恒成立，g′(x)=?1+1ex，當(dāng)x<0時(shí)，g則函數(shù)g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥?1.（2）當(dāng)x>0時(shí)，令?(x)=ex?x，求導(dǎo)得?′(x)=則?(x)>?(0)=1，即ex>x+1，因此ee令φ(x)=xex?ex+1,x>0，求導(dǎo)得φ(x)>φ(0)=0，即xex>所以xe54．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)fx(1)若a=3，求fx(2)求函數(shù)fx(3)若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2【解題思路】（1）a=3代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）x1，x2是方程gx=0的兩個(gè)根，有ax1=x12+2，ax2【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=3時(shí)，fx=?1f′當(dāng)1<x<2，f′x>0，f0<x<1或x>2，f′x<0，fx在∴fx的極大值為f2=4?2ln2（2）由fx=?12令gx=x2?ax+2當(dāng)Δ=a2?8≤0，即?22所以fx在0,+當(dāng)Δ=a2?8>0，即（i）當(dāng)a<?22時(shí)，gx在0,+∞從而f′x<0，所以f（ii）當(dāng)a>22時(shí)，函數(shù)gx有兩個(gè)零點(diǎn)：x1列表如下：x0,xxxxf-0+0-f減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)綜上，當(dāng)a≤22時(shí)，fx的減區(qū)間是當(dāng)a>22時(shí)，fx的增區(qū)間是a?a2?8（3）由（2）知，當(dāng)a>22時(shí)，fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x則x1，x2是方程gx=0的兩個(gè)根，從而由韋達(dá)定理，得x1x2所以0<x2f=?=?=x令t=x22t>2，則?′當(dāng)t>2時(shí)，?′t>0，則?t在故2fx55．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=xlnx+t在點(diǎn)(1)求t的值；(2)若存在x1<x2，使得(3)證明：f(x)+x【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性可證不等式；（3）由題意只需證lnx+1x+1<exx，令?【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒′x=因?yàn)閒1=t，所以切線方程為y?t=x?1因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以0=0+t?1，所以t=1；（2）因?yàn)閒x=xln令f′x>0令f′x<0所以fx在1e,+因?yàn)閒1e=1?所以存在x1<x2，f要證x1x2因?yàn)?e2<因?yàn)閒x1令gx即gx所以g因?yàn)?e<x<1，所以所以gx在1e,1所以fx>f1所以x1（3）要證fx+xcos即證lnx+因?yàn)閏osx∈?1,1令?x=由?′因?yàn)閤>0，1?e令?′x>0，0<x<1；令?所以?x在x=1所以?max所以?x56．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)討論函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在e(3)若fx=m有兩解x1，x2，且【解題思路】（1）計(jì)算f′x，求f′x>0（2）計(jì)算fe2以及（3）偏移法證明x1+x【解答過(guò)程】（1）fx的定義域?yàn)?,+∞，f′x=1?lnx，當(dāng)f′x=0時(shí)，x=e，當(dāng)x∈0,e（2）fe2=0，f′e即x+y?e（3）先證x1+x2>2e，由（1）可知：0<x即證：fx令gx=fx則g′所以gx在區(qū)間0,e內(nèi)單調(diào)遞增，gx即x1再證x1+x2<e2令mxm′x=2?lnx故當(dāng)x∈0,e2時(shí)，f則m=fx2<φ又0<x1<∴x1題型15題型15利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性問(wèn)題57．（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)若對(duì)于任意的x∈[?1,2],f(x)?mx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）求導(dǎo)，利用賦值法求得f′（2）法一，分x=0，?1≤x<0，0<x≤2三種情況分離變量，并求得最值求得m的取值范圍.法二，令g(x)=ex?1+x2【解答過(guò)程】（1）求導(dǎo)得f′令x=1，則f′∴f(x)=∴l(xiāng):y?3=3(x?1)，即：3x?y=0．（2）方法一，ex?1①當(dāng)x=0時(shí)，左邊=1②當(dāng)?1≤x<0時(shí)，m≥令g(x)==當(dāng)?1≤x<0時(shí)，x?1<0,ex?1+x+1≥∴g③當(dāng)0<x≤2時(shí)，?m≤令g′(x)=0?x=1，當(dāng)0<x<1時(shí)，當(dāng)1<x≤2時(shí)，g′∴g綜上：m的取值范圍為?e法二，令g(x)=f(x)?mx=ex?1+令φ(x)=ex?1+2x?m，所以φ′(x)=①若g′(2)=e+4?m≤0∴g(x)在[?1,2]單調(diào)遞減，∴g(x)與m≥e+4矛盾，②若g′(?1)=e?x∈[?1,2],g′(x)≥∴g(x)故?1③若g'(?1)<0g?x0∈(?1,2)使得，∴g即：1?∵∴m=ex綜上?158．（24-25高三上·北京·期中）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若關(guān)于x的不等式f′x<?x+a【解題思路】（1）求出函數(shù)的定義域，f′(x)=2lnx+1x?x（2）令g(x)=2lnx+1x?a【解答過(guò)程】（1）定義域?yàn)閧x|x>0}，f′設(shè)?(x)=2?'所以?(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，且?(1)=0則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?(x)>0，即f′則當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?(x)<0，即所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(1,+（2）由（1）知f′(x)=2ln令g(x)=2lng′當(dāng)x∈0,12時(shí)，g′(x)<0所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g1所以若關(guān)于x的不等式g(x)<0有解，則2?2ln即a>2?2ln59．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)f(x)=1(1)求fx(2)設(shè)gx=x2?2x，若對(duì)任意x1∈(0,2]【解題思路】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況及函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)題意可得f(x)【解答過(guò)程】（1）由f(x)=12a得f′令f′(x)=0，解得當(dāng)0<a<12時(shí)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′當(dāng)x∈2,1a當(dāng)x∈1a,+當(dāng)a=12時(shí)，1a=2,f當(dāng)a>12時(shí)，當(dāng)x∈0,1a當(dāng)x∈1a,2當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，綜上所述，當(dāng)0<a<12時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和1a,+∞當(dāng)a=12時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)a>12時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1a和（2）因?yàn)閷?duì)任意x1∈(0,2]，均存在x2所以f(x)當(dāng)x=2時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為0.由（1）得，當(dāng)0<a≤12時(shí)，f(x)在即當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最大值f(2)=2a?(2a+1)×2+2ln所以2a?2+2ln2<0，解得a<1?ln當(dāng)a>12時(shí)，f(x)在0,1當(dāng)x=1a時(shí)，f(x)取得最大值f1設(shè)s(a)=?1則s′(a)=1所以s(a)≥s12=綜上所述，a的取值范圍為{a∣0<a<1?ln60．（24-25高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2kx2?4lnx(1)若y=fx+329x(2)討論函數(shù)fx(3)若對(duì)任意x1,x2∈0,e【解題思路】（1）根據(jù)極值點(diǎn)求得k，并進(jìn)行驗(yàn)證.（2）先求得f′x，然后對(duì)k進(jìn)行分類討論，從而求得（3）由（2）求得fx的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求得gx的最大值，再結(jié)合已知條件來(lái)求得【解答過(guò)程】（1）令tx由題意f′x=4kx?4由已知得t′1=此時(shí)t′易知在區(qū)間0,1上fx單調(diào)遞增，在1,e上則函數(shù)fx在x=1處取得極小值，因此k=（2）由題意f′其中x∈0,e，①當(dāng)kk<e，即k>1e2，②當(dāng)kk≥e，即0<k≤1e綜上，當(dāng)0<k≤1e2時(shí)，f當(dāng)k>1e2時(shí)，fx的單調(diào)遞減區(qū)間為（3）當(dāng)k>1>1e2時(shí)，由（2）可知當(dāng)x=即fx由gx=lnxk即當(dāng)x=e時(shí)，g對(duì)任意x1,x2∈則必有fxmin>gxmax所以k的取值范圍是e,+題型16題型16利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題61．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若fx為增函數(shù)，求a(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,【解題思路】（1）f′x=ex?x+a，由題意得f′x≥0（2）由（1）知，當(dāng)a<?1時(shí)，fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，設(shè)x1<0，則x2>0，設(shè)?x=f′【解答過(guò)程】（1）f′x=設(shè)gx=e令g′x=0當(dāng)x<0時(shí)，g′x<0，所以f當(dāng)x>0時(shí)，g′x>0，所以f所以x=0是函數(shù)f′故當(dāng)f′0=1+a≥0所以當(dāng)fx為增函數(shù)，a的取值范圍為?1,+（2）f′x=ex?x+a，即a<?1時(shí)，fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x故f′x1=f設(shè)?x則?′故?x在0,+∞上單調(diào)遞增，所以所以f′x>故f′所以f′又x1<0,?x故x1所以x162．（23-24高二下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2【解題思路】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)f′（2）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得方程2x2?ax+1=0在0,+∞上有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2，由此可得韋達(dá)定理的結(jié)論，將【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=3時(shí)，fx=lnx+x2?3x∴當(dāng)x∈0,12∪1,+∞時(shí)，∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,12，1,+（2）∵fx定義域?yàn)?,+∞，∴fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2等價(jià)于2∴x1+x2=a∴fx1?fx2設(shè)gx則g′∴gx在0,1上單調(diào)遞減，∴g即fx∴fx1?f63．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)f(x)=4x?12x(1)當(dāng)a=3時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x①求a的取值范圍②證明：f(【解題思路】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）①首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于一元二次方程有2個(gè)不同的正實(shí)根，即可求解；②首先求fx1+fx2【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=3時(shí)f(x)=4x?12x∴f′令f′如圖表示x,fx0,111,333,+f+0?0+f單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增∴f(x)在0,1,3,+∞（2）①f=?因?yàn)閒(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x即：x2?4x+a=0在所以Δ=4?4a>0所以0<a<4，②由①得xf(=4(=a?a要證f(即證：a?aln只需證(1?a)令g(a)=(1?a)g令m(a)=則m′所以m(a)在(0,4)