專題05幾何壓軸題

1.（2021?深圳）在正方形/BCD中，等腰直角AAEF,NAFE=90°,連接CE,H為CE中點,連接

RF

BH、BF、HF,發(fā)現(xiàn)一和ZHBF為定值.

BH

②NHBF=；

③小明為了證明①②，連接/C交5。于。，連接08,證明了也和空的關(guān)系，請你按他的思路證明①

AFBO

②.

（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2,—=—=

ADFA

ABDA=/EAF=6>（0°<0<90°）.

求①言=------------------用"的代數(shù)式表示）

圖1圖2

【答案】（1）①行；②45。；③見解析（2）①3②S4kcosf

2k

【詳解】①正；②45。；

③由正方形的性質(zhì)得：—=42,。為/C的中點，

BO

又一：H為CE的中點，

:.OH//AE,OH=-AE,

2

A4EF是等腰直角三角形,

AE=42AF,

這3理

OHBO

-OH//AE,

，ZCOH=NCAE,

/BOH=ABAF,

ABOH^\BAF,

—=①/HBO=ZFBA,

BH

/HBF=AHBO+/DBF=/DBA=45°；

(2)①如圖2,連接NC交5。于點O,連接OH,

由(1)中③問同理可證：NDOH^NDAF,

FDAD_2

,?茄一麗—％'

②由①知：NDOH^NDAF,

ZHDO=/FDA,

AHDF=ABDA=6,

PD7

在Affl邛中，——=—,

HDk

設(shè)DF=2t,HD=kt,

作。/于M,

HM=DHxsin=ktsin0,DM=ktcos?,

:.MF=DF-DM=(2-kcos0)t,

在RtAHMF中，由勾股定理得：

HF=tlk2-4Acos6+4,

FH"2-4%COS6>+4

DH~k

2.（2021?河?xùn)|區(qū)二模）如圖，矩形N3C。中，已知/8=6.8C=8,點E是射線3c上的一個動點，連接

/E并延長，交射線。C于點尸.將AA8E沿直線/E翻折，點2的對應(yīng)點為點B'.

（1）如圖1,若點E為線段3C的中點，延長48,交CD于點求證：AM=FM；

RF

（2）如圖2,若點"恰好落在對角線NC上，求絲的值；

RF?

（3）若些=2,求/以9的正弦值.

CE2

圖1圖2備用圖

【答案】（1）見解析；（2）-3；（3）Q=或125

54117

【詳解】（1）證明：???四邊形45CZ）為矩形，

AB//CD,

ZF=ZBAF,

由折疊可知：ZBAF=ZMAF,

ZF=/MAF,

/.AM=FM.

（2）解：同（1）的證法可得A4cb是等腰三角形，AC=CF,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

AC=yjAB2+BC2=V62+82=10,

,\CF=AC=10,

AB//CF,

,\ABE^\FCE,

BEAB63

CECF105

(3)①當點￡在線段5C上時，如圖3,/夕的延長線交CD于點

sbFCE，

目口

ABBE一3，即一6=一3

CFCE2CF2

.\CF=4,

同(1)的證法可得=

^DM=x,貝ljMC=6—x,則/M=FM=10—x,

在RtAADM中，AM2=AD2+DM1,BP(10-x)2=82+x2,

9

解得：x=?

5

941

貝!JAM=\Q-x=\0——

55

9

5_9

4141

5

②當點E在5C的延長線上時，如圖4,

E

圖4

由AB//CF可得：\ABE^\FCE,

ABBE363

二.——=——=一，即nn——=一，

CFCE2CF2

，CF=4,

則。方=6—4=2,

設(shè)同(1)的證法可得4四=廠A/=2+x,

在RtAADM中，AM2=AD2+DM2,BP(2+x)2=82+x2,

解得：x=15,

貝?。軦M=2+x=17,

.…n，DM15

..smNZX4B----——.

AM17

綜上所述：當生=3時，/"夕的正弦值為2或”.

CE24117

3.(2021?天寧區(qū)校級一模)如果三角形的兩個內(nèi)角a與父滿足4=90。，那么我們稱這樣的三角形為

“準互余三角形”.

(1)若AA8C是“準互余三角形”，乙4>90。，48=20。，求NC的度數(shù)；

(2)如圖①，在RtAABC中，ABAC=90°,AB=4,BC=5,點。是延長線上一點.若A4AD是“準

互余三角形”，求CD的長；

(3)如圖②，在四邊形48CD中，AC,3。是對角線，AC=4,CD=5,ZBAC=90°,

ZACD=2ZABC,且ABCD是“準互余三角形”，求AD的長.

圖①圖②

45,—

【答案】(1)35°；(2)—(3)3713

7

【詳解】(1)???A/18C是“準互余三角形"，NN>90°,48=20°,

若44一/8=90°,則44=110°,

ZC=180°-110°-20°=50°,

若NN-NC=90°,

ZA+ZB+ZC=180°,

ZC=35°；

(2)?/ABAC=90°,AB=4,BC=5,

:.AC=^BC2-AB2=V25-16=3,

???AABD是“準互余三角形”，

ABAD-AB=90°,或ABAD-ZADB=90°,

當/B4D-乙4DB=90。,

ABAC+ACAD-NADB=90°,

/CAD=ZADB,

;.AC=CD=3,

當ABAD—/B=90°,

ABAC+/CAD-ZB=90°,

ZB=/CAD,

???ZADC=ABDA,

\ADC^\BDA,

.CDADAC

"茄一茄一花’

CDAD_3

,*ID-CD+5~4’

?0-45

7

(3)如圖，將A48C沿5C翻折得到

圖②E

：.CE=AC=4,/BCA=/BCE,ZCBA=ZCBE,ZE=ABAC=90°,

ZABE+ZACE=1SO°,

???ZACD=2NABC=/ABE,

:.ZACD+AACE=\^°,

.?.點。，點。，點￡三點共線,

???ZBCD=ZACD+ZACB=2ZABC+ZACB=90°+ZABC,

ZBCD-NABC=90°,

；ABCD是“準互余三角形”，

ZBCD-ZCDB=90°,

90°+ZABC-ZCDB=90°,

ZCDB=ZABC=NEBC,

又?.?/￡=NE,

NCEBsKBED,

?生BE

■,~BE—訪

4BE

即——

BE~~9~

:.BE二=6,

BD=^BE2+DE2=J36+81=3屈.

4.(2021?寧波模擬)【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖①，NABC=NACD=NCED=a,求證：\ABC^\CED.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖②，在菱形48CD中，N/=60。，點E,尸分別為邊ND,上兩點，將菱形48c。沿E尸翻

折，點/恰好落在對角線上的點尸處，若PD=2PB,求生的值.

AF

【拓展提高】

(3)如圖③，在矩形ABCD中，點尸是4。邊上一點，連接,PC,若尸N=2,PD=4,

ZBPC=120°,求48的長.

【答案】⑴見解析；⑵?⑶

【詳解】（1）;NABC=NACD=a,NACE=NA+NABC,

ZDCE+a=ZA+a,即//=/ECD，

?「/ABC=ZCED=a,

\ABC^\CED；

(2)?.?四邊形Z5CQ為菱形，

AB=AD,

???N4=60°,

A45。為等邊三角形，

ZEPF=ZA=ZADB=/ABD=60°,

由(1)得：ADPE^ABFP,

.ED_PD_PE

"PB-BF-PF'

設(shè)BP=a,貝I」。尸=2。，AE=PE=x,AF=PF=y,

貝!jDE=3a-x,BF=3a-y,

3a-x_2a_x

-----=------=一,

a3q_yy

解得：色=3,

y4

；.二的值為3；

AF4

(3)如圖，在4。上取點E、F,使N/5E=NOC尸=30。，

四邊形45CD為矩形，

/A=/D=90°,

ABEP=ABPC=ZPFC=120。，

/EPB+ZFPC=180。一120。=60°,AEPB+/EBP=60°,

ZFPC=/EBP,

ABEP^APFC,

BE_EP

PF-FC'

^AB=CD=m,

2m

則5-二

.m2m

F

73

解得：m=V1T-A/3—V3-V1I（舍去）,

AB=4H-43.

5.(2021?達州)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究:

圖1圖2

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形中，點E,尸分別是N8,4。上的兩點，連接DE,CF,DE_LC/，則——

CF

的值為;

(2)如圖2,在矩形48c。中，40=7,CD=4,點￡是4。上的一點，連接CE,BD,且CE_L&),

則cm的值為；

BD

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形48co中，乙4=NB=90。，點E為AB上一點,連接DE,過點C作DE的垂線交

ED的延長線于點G,交/。的延長線于點尸，求證：DEAB=CFAD；

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtAABD中，ABAD=90°,AD=9,tanZADB=-,將AA8D沿3。翻折，點/落在點

3

C處得ACBD,點、E,尸分別在邊48,4D上，連接,CF,DE1CF.

①求匹的值；

CF

②連接AF,若/石=1,直接寫出2斤的長度.

【答案】(1)1;(2)—；(3)見解析；(4)①2；②士回

735

【詳解】(1)如圖1,設(shè)DE與CF交于點G,

圖1

??,四邊形ABCD是正方形,

:./A=/FDC=90。，AD=CD,

?「DELCF,

ZDGF=90°,

/ADE+ZCFD=90°,/ADE+ZAED=90°,

ZCFD=ZAED,

在A4EQ和AZX中，

'/A=ZFDC

<ZCFD=ZAED,

AD=CD

AAED=ADFC(AAS),

DE=CF,

.DE

??二1;

CF

(2)如圖2,設(shè)。5與CE交于點G,

E

圖2

???四邊形45CD是矩形，

N4=ZEDC=90°,

???CEVBD,

:.ZDGC=90Q,

ZCDG+ZECD=90°,/ADB+ZCDG=90°,

ZECD=NADB,

ZCDE=ZA,

NDECS\ABD,

.CEDC4

…BD~liD~7'

故答案為：

7

圖3

CG1EG,

/G=/H=/A=/B=90°,

四邊形為矩形，

AB=CH,ZFCH+ZCFH=ZDFG+ZFDG=90°,

ZFCH=ZFDG=/ADE,NA=NH=90°,

/.\DEA^\CFH,

.DE_AD

,~CF~~CH'

.DEAD

,~CF~^B'

...DE?AB=CF?AD；

(4)①如圖4,過點。作CG，/。于點G,連接ZC交助于點〃，CG與。內(nèi)相交于點O,

圖4

???CFLDE,GCLAD,

ZFCG+ZCFG=/CFG+/ADE=90°,

ZFCG=/ADE,/BAD=ZCGF=90°,

/.ADEAsACFG,

.DEAD

t~CF~~CGJ

在RtAABD中，tmZADB=-,AD=9,

3

/.AB=3，

在RtAADH中，tanZ^D/f

3

AH1

-----——,

DH3

^AH=a,貝!J07/=3Q,

???AH2+DH2=AD2,

z.a2+(3a)2=92,

Q.—

/.a=一V10(負值舍去)，

10

AH=—y/u),DH=—4W,

1010

:.AC=2AH=W廂,

???S.,=-ACDH=-ADCG,

IAAUnIc^22

1Q1

z.-x-VlOx一回=—x9CG,

25102

27

...CG=—,

5

DEAD_9_5

,CF-CG=27=3；

T

9i—27

②=—J10,CG=—,ZAGC=90°,

55

AG=4AC1-CG1=Jg廂y-(y)2=|，

由①得ADE4sAe尸G,

.DEAE

"~CF~~FG'

936

AF=AG-FG=----=一，

555

22

BF=^AB+AF=卜+§)2=|V29.

6.(2021?武漢模擬)【問題背景】

(1)如圖1,在A48c中，。為/C上一點，2ABD=NC,求證：—=—■

BCAB

【變式遷移】

(2)如圖2,在RtAABC中，44c8=90。，D為4B上一點,CD=CA,DE上AB交BC于點、E,連接

Ap

AE.求證：——=tan/B；

AB

【拓展遷移】

FD2

(3)如圖3,在菱形/反力中，F(xiàn)為CD上一點,E為BCk一點、,EC=\,——=-,/EAF=ND,

CF3

4

tanZD=—,直接寫出/￡的長.

3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）717

【詳解】(1)證明：???N/AD=NC,NA=NA,

AABD^AACB,

.BD_AD

,?瓦-IF；

(2)證明：?:CD=CA,

ACAD=ZCDA,

???/ACB=ZADE=90°,

ZCAD+ZB=ZADC+ZCDE=90°,

ZB=ZCDE,

又?；4DCE=/BCD,

NCDEsbCBD,

.CECD

,~CD~~CB"

.CECA

T~CA~~CB'

?/NACE=ZBCA,

ACAEshCBA,

/c4ECE

/CAE—/B，----------，

ABCA

4E

tan/CAE==tan/B.

AB

(3)解：如圖，在上取點〃，AM=AE,

ZAME=ZAEM,

???ZEAF=ZD,ZC+ZD=180°,

Z￡L4F+ZC=180°,

，/AEC+/AFC=180。,

/AEM=NAFC,

ZAME=NAFC,

ZAMB=ZAFD,

又?.?/8=N。，AB=AD,

KABM?AADF(AAS),

:.BM=DF,

過點/作ZG_LM石于點G,則MG=GE,

設(shè)DF=MB=2x,

FD2

,~CF~3"

CF=CM=3x,

AB=5x=BC=CD,

3r-1

:.ME=3x-l,MG=-------,

2

17_1

BG=BM+MG=2x+-------=----r----,

22

4

tan/B=tanZD=—,

3

3

cosB=—,

5

..x—1,

.?./G=4,EG=\,

：.AE=yjAG2+EG2=742+12=后.

7.（2021?濮陽一模）一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖1所示的位置擺放（點E、/、D

在同一條直線上）.

（1）發(fā)現(xiàn)BE與DG數(shù)量關(guān)系是,BE與DG的位置關(guān)系是.

（2）將正方形/EFG繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,（1）中的結(jié)論還成立嗎？若能，請給出證明；

若不能，請說明理由.

AJ77

(3)把圖1中的正方形分別改寫成矩形4MG和矩形/BCD,AE=2,AB=4,將矩

AGAD3

形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖3).連接DE,5G.小組發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中，。爐+3G?的值

E

圖3

【答案】(1)BE=DG；BE工DG；(2)見解析；(3)65

【詳解】(1)如圖1,延長DG交BE于H,

四邊形48c￡＞、四邊形EFGN為正方形,

AB=AD,AE=AG,NGAD=/EAB=90°,

在NDAG和NBAE中,

DA=BA

<NDAG=NBAE,

AG=AE

AD4G=ABAE(SAS),

BE=DG,ZADG=ZABE,

???NAGD=NBGH,

：.4BHG=/GAD=90°,BPBE±DG,

故答案為：BE=DG；BEIDG；

(2)(1)中的結(jié)論成立，

理由如下：如圖2,延長。G交AE1于"，交AB于N,

?.?四邊形N2CD、四邊形EFGN為正方形，

AB=AD,AE=AG,ZGAD=ZEAB=90°,

ZBHG=ZGAD

在NDAG和ABAE中,

DA=BA

<NDAG=/BAE,

AG=AE

:.\DAG=\BAE{SAS),

:.BE=DG,ZADG=ZABE,

???ZAND=ZBNM，

/BMN=ZNAD=90°，即_LQG；

(3)如圖3,連接此、EG,設(shè)BE、0G交于點尸,

AEAB2

AE=2,AB=4,

AGAD3

/.AG=3,AD=6,

EG2=AE2+AG2=13,BD2=AD2+AB2=52,

1|=今,NEAB=NGAD,

二.■ABSAGAD,

/ABE=ZADG,

?「ZAHG=ZDHB,

ZDPB=/DAB=90°,

/.BEIDG,

DE2+BG2=DP2+PE2+PG2+PB2=EG2+BD2=65.

圖2

8.（2020?深圳）背景一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、/、D

在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)跳'=r>G且BELOG.

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形NEFG繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1）,還能得到嗎？若能，請給出證明；若

不能，請說明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形4MG和菱形/8CA,將菱形NEFG繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如

圖2）,試問當NE/G與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論8E=OG仍成立？請說明理由；

AJ7AR7

（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形/EFG和矩形AE=4,AB=8,將矩

AGAD3

形/EFG繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,連接OE,5G.小組發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中，。爐+8G2的值

是定值，請求出這個定值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）260

【詳解】（1）證明：?.?四邊形工斯G為正方形,

AE=AG,AEAG=90°,

又：四邊形4BCA為正方形,

AB=AD,/BAD=90°,

/EAB=ZGAD,

AAEB二AAGD(SAS),

/.BE=DG；

(2)當NE4G=N5/Z)時，BE=DG,

理由如下：

???/EAG=ABAD,

/EAB=ZGAD,

又四邊形4EFG和四邊形4BCD為菱形,

:.AE=AG,AB=AD,

\AEB=AAGD(SAS),

BE=DG；

(3)解：方法一：過點￡作畫交。4的延長線于點M,

過點G作GN，AB交AB于點N,

由題意知，AE=4,AB=8,

??4E_4B_2

,~AG~7D~3"

，/G=6,AD=12f

???/EMA=ZANG,/MAE=ZGAN,

AAME^AANG,

設(shè)EN=2Q,AM=2b,貝(JGN=3Q,AN=3b,貝!|BN=8—3b,

/.ED2=(2Q)2+(12+26)2=4a2+144+48b+4b2,

GB2=(3a)2+(8-3b了=9a2+64-48b+%2,

ED2+GB2=13(/+^)+208=13X4+208=260.

方法二：如圖2,設(shè)5￡與0G交于0,BE與4G交于點尸,

E

:.AG=6,AD=n.

???四邊形AEFG和四邊形ABCD為矩形,

NEAG=ABAD,

/./EAB=ZGAD,

..EA_AB

?~AG~^D'

AEAB^AGAD,

/BEA=/AGD,

E,G,。四點共圓，

ZGQP=NPAE=90°,

/.GDLEB,

連接EG,BD,

ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=EG2+BD2,

EG2+BD2=42+62+82+122=260.

9.(2020?徐州)我們知道如圖①，點8把線段4C分成兩部分，如果生=必，那么稱點8為線段4c

ABAC

的黃金分割點.它們的比值為避二1.

2

(1)在圖①中，若/C=20c〃z,則48的長為cm；

(2)如圖②，用邊長為20c加的正方形紙片進行如下操作：對折正方形N2CA得折痕￡尸，連接CE,將

CS折疊到CE上，點8對應(yīng)點〃，得折痕CG.試說明：G是N8的黃金分割點；

(3)如圖③，小明進一步探究：在邊長為。的正方形N8CL1的邊ND上任取點E(/E>DE),連接2E,作

CF1BE,交于點尸，延長￡尸、C3交于點尸.他發(fā)現(xiàn)當尸8與BC滿足某種關(guān)系時，E、尸恰好分

別是4D、N2的黃金分割點.請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由.

B

圖①圖②

【答案】(1)(104-10)；(2)見解析；(3)見解析

【詳解】⑴???點3為線段/C的黃金分割點，AC=20cm,

AB=x20=(1075-10)C/M.

故答案為：(104-10).

(2)延長￡/,CG交于點M,

?.?四邊形ABCD為正方形，

DMIIBC,

AEMC=ZBCG,

由折疊的性質(zhì)可知，NECM=NBCG,

/EMC=NECM,

EM=EC,

■.■DE=10,DC=20,

EC=yjDE2+DC2=V102+202=1075,

:.EM=10#,

.-.DM=10V5+10,

DC202A/5-1

tan/DMC=------產(chǎn)--------——產(chǎn)—

DM10V5+10V5+12

「.tan/BCG="匚，

2

即變二51,

BC2

???AB=BC,

.BG_下-\

??—,

AB2

.?.G是ZB的黃金分割點；

(3)當8P=BC時，滿足題意.

理由如下：

??,四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZBAE=ZCBF=90°,

BELCF,

NABE+ZCFB=90°,

又ZBCF+ZBFC=90°,

/.ZBCF=ZABE,

/.MBE^ABCF(ASA),

/.BF=AE,

???AD//CP,

\AEF^^BPF,

.AE_AF

…而一而‘

當E、尸恰好分別是40、的黃金分割點時,

?/AE>DE,

.AFBF

一~BF~^4B'

???BF=AE,AB=BC,

.AFBF_AE

.AEAE

BP=BC,

10.（2021?福山區(qū)期末）如圖，在矩形Z8CD中，/8=20,點E是3C邊上的一點，將A48E沿著ZE折

疊，點8剛好落在CD邊上點G處；點廠在。G上，將A/1D尸沿著Z尸折疊，點。剛好落在NG上點〃處,

此時SbGFH：S刈FH=2：3.

(1)求證：\EGC^\GFH；

(2)求4。的長；

(3)求HF的值.

【答案】(1)見解析；(2)12；(3)6

【詳解】(1)證明一?四邊形是矩形，

/./B=/D=/C=90°,

由折疊對稱知：/AGE=/B=90°,ZAHF=ZD=90°,

:./GHF=NC=90。，ZEGC+AHGF=90°,AGFH+AHGF=90°,

ZEGC=ZGFH,

\EGCS\GFH.

(2)解：?：SkGFH：SwFH=2：3，且AGM和A4W等高，

:.GH:AH=2:3,

???將AASE沿著折疊，點8剛好落在CD邊上點G處，

AG=AB=GH+AH=2b,

:.GH=8,AH=12,

AD=AH=12.

(3)解：在RtAADG中，DG=4AG2-AD2=7202-122=16,

由折疊的對稱性質(zhì)可設(shè)。尸=尸〃=X，貝!]G/=16-x,

HG2+HF2=FG2,

82+X2=(16-X)2,

解得x=6,

:.HF=6.

11.（2021?深圳模擬）如圖1,點8在線段CE上，RtAABC=RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,

ZBAC=30°,BC=l.

（i）求點尸到直線a的距離;

（2）固定AABC,將AC跖繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30。，使得C尸與C4重合，并停止旋轉(zhuǎn).

①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段歷經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不

要求寫畫法）并求出該圖形的面積;

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,線段CF與N2交于點O,當。￡時，求的長.

【詳解】（1）如圖，過點尸作萬于X.

（圖1）

在RtAFCH中，ZFHC=90°,CF=CA=1BC=2,

:.FH=-CF=1.

2

（2）①旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形，如圖所示,

30乃?（事）［：無

==

S陰S扇形，CF-S、AE，C+S莊FC~S扇形ECE，--

—360—-12

②如圖2中，過點E作瓦7_LC尸于X,T§：OE=OB=X.

A

O

BC

(圖2)

EF=BC=\,ZCEF=90°,ZECF=30°,

CF=2EF=2,ZF=60°,

i萬

:.FH=EFcos600=-,EH=EF-smbO0=—,

22

???ZB=90°,OB=x,BC=\,

2

OC=A/1+x,

???EO2=OH2+HE2,

+(|_7[77)2=x2,

解得/=?,

9

42

:.OF=CF-OC=2——=-.

33

12.（2021?深圳模擬）如圖1,點8在線段CE上，RtAABCsRtACEF,AABC=ACEF=90°,

ZBAC=30°,BC=\.

（1）點F到直線CA的距離是；

（2）固定AA8C,將ACE/繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30。，使得C尸與C4重合，并停止旋轉(zhuǎn).

①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段跖經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不

要求寫畫法）.該圖形的面積為；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段C尸與交于點。，當OE=O8時，求OF的長.

【答案】⑴k⑵①4②"羊解】⑴如圖1中‘作如小于，

(圖1)

?/RtAABC=RtACEF,/ABC=/CEF=90。,ABAC=30°,BC=1.

ZACB=60°,ZFCE=ABAC=30°,AC=CF,

.\ZACF=30°,

ABAC=ZFCD,

在A45C和AC。尸中，

ABAC=ZFCD

<ZABC=ZCDF,

AC=CF

/.\ABC=\CDF(AAS),

,.FD=BC=1,

法二：?/ZECF=ZFCD=30°,FDLCD,FELCE,

DF=EF,

EF=BC=\,

:.DF=1.

故答案為1；

(2)線段所經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形如圖所示，此時點￡落在W上的點"處.

圖1-1

30?^■.2230/.(屈二兀

S陰=SAEFC+S扇形4CF-S扇形C￡H-^MHC='扇形XCF一S扇形上切=2gQ

360-12

故答案為？

(3)如圖2中，過點￡作EH_LC/于〃.T^OB=OE=X.

圖2

在RtAECF中，??-EF=1,ZECF=30°,EHVCF,

EC=y/3EF=y/3,￡1//=—,CH=y[3EH=~,

22

在RtABOC中，OC=^OB2+BC2=^1+X2,

:.OH=CH-OC=--^+x2,

2

在RtAEOH中，則有/=(乎/+(|-V1+x2)2,

解得x="或-"(不合題意舍棄)，

33

???CF=2EF=2,

42

OF=CF-OC=2――=一.

33

解法二：作。G_LEC于G,設(shè)OG=x,則。C=2x,CG=gx,

在RtAOBC中，利用勾股定理，構(gòu)建方程，求出x,可得結(jié)論.

13.（2021?開福區(qū)模擬）勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的一個定理.早在2000多年以前，人們就開始對它

進行研究，至今已有幾百種證明方法.在歐幾里得編的《原本》中證明勾股定理的方法如下，請同學(xué)們仔

細閱讀并解答相關(guān)問題：

如圖，分別以RtAABC的三邊為邊長，向外作正方形BCFG、ACHI.

（1）連接2/、CE,求證：KAB1=NAEC；

（2）過點8作NC的垂線，交/C于點交出于點N.

①試說明四邊形/與正方形4BDE的面積相等；

②請直接寫出圖中與正方形2CFG的面積相等的四邊形.

（3）由第（2）題可得：

正方形ABDE的面積+正方形BCFG的面積=的面積，即在RtAABC中,

AB2+BC2=.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②四邊形與正方形8c尸G的面積相等；（3）正方形NC印,

AC-

【詳解】（1）證明：?.?四邊形四邊形/C即是正方形，

AB=AE,AC=A1,ZBAE=ACAI=90°,

AEAC=ABAI,

AB=AE

在NABI和\AEC中,]ABAI=NEAC,

AI=AC

\ABI=AAEC(SAS)；

(2)①證明：BM1AC,AllAC,

BMHAI,

四邊形/AW7的面積=2A42/的面積，

同理：正方形4BDE的面積=2AAEC的面積，

Xv\ABI=\AEC,

四邊形AMNI與正方形ABDE的面積相等.

②解：四邊形CMW與正方形BC/G的面積相等，理由如下：

連接，過笈作H°_L8C于尸，如圖所示：

易證NCPH=AABC(AAS),四邊形CMNH是矩形，

.-.PH=BC,

■：NBCH^^^=-CHxNH=-BCxPH,

22

:.CHxNH=BC2,

二.四邊形CWH與正方形8CFG的面積相等；

(3)解：由(2)得：正方形N2DE的面積+正方形2CFG的面積=正方形NC?〃的面積;

即在RtAABC中，AB1+BC-=AC2

14.(2021?安徽模擬)我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形.

(1)如圖1,在四邊形/BCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形是垂直四邊形嗎？請說明理由;

(2)如圖2,四邊形42CA是垂直四邊形，求證：AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)如圖3,RtAABC中，ZACB=90°,分別以/C、N2為邊向外作正方形/CFG和正方形4&DE,連

接C￡,BG,GE,已知/C=4,BC=3,求GE長.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)V73

【詳解】(1)解：四邊形N2CD是垂直四邊形；理由如下：

???AB=AD,

：.點A在線段BD的垂直平分線上，

---CB=CD,

.?.點C在線段3。的垂直平分線上，

直線AC是線段BD的垂直平分線，

AC1BD,即四邊形ABC?是垂直四邊形；

(2)證明：設(shè)/C、AD交于點E,如圖2所示：

ACVBD,

NAED=NAEB=NBEC=NCED=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=AE1+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+DE2+CE2,

AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)解：連接CG、BE,如圖3所示：

正方形ACFG和正方形ABDE,

:.AG=AC,AB=AE,CG=@C=4也，BE=yflAB,ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ABAC=NBAE+ABAC,即AGAB=ZCAE,

AG=AC

在AGAB和NCAE中，＜ZGAB=/CAE,

AB=AE

:.AGAB=\CAE(SAS),

NABG=ZAEC,

又???ZAEC+NCEB+ZABE=90°,

AABG+ACEB+AABE=90°,BPCE1BG,

四邊形CGE3是垂直四邊形，由(2)得，CG?+BE?=BC?+GE?,

■.■AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2—J42+3。=5,BE=y[2AB=5^/2,

GE2=CG2+BE2-BC2=(4A/2)2+(5A/2)2-32=73,

GE=5.

圖3

15.(2021春?連云港期末)A48c中，ZBAC=90°,4B=NC,點。為直線上一動點(點。不與8,

如圖1,當點。在線段BC上時，

①8c與C尸的位置關(guān)系為：；

②BC、CD、。廠之間的數(shù)量關(guān)系為：；

(2)深入思考

如圖2,當點。在線段C8的延長線上時，結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請

你寫出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當點。在線段8c的延長線上時，正方形/對角線交于點。.若已知48=2后，CD=-BC,

4

請求出OC的長.

【答案】(1)②垂直；②BC=CF+CD；(2)見解析；(3)U

2

【詳解】(1)①正方形尸中，AD=AF,

???ABAC=ZDAF=90°,

/BAD=ZCAF,

在ADAB與"AC中，

AD=AF

<ABAD=ZCAF,

AB=AC

ADAB=AFAC(SAS),

/ABC=ZACF,

AB=AC,NBAC=90。,

ZABC=ZACB=45°,

ZACB+ZACF==45°+45°=90°,

即BC±CF；

故答案為：垂直；

?\DAB^\FAC,

CF=BD,

???BC=BD+CD,

BC=CF+CD；

故答案為：BC=CF+CD；

(2)CF_L3C成立；BC=CZ)+C尸不成立，CD=CF+BC.理由如下:

?/正方形ADEF中，AD=AF,

???ABAC=ZDAF=90°,

/BAD=ZCAF,

在AD4B與\FAC中,

AD=AF

</BAD=ZCAF,

AB=AC

NDAB=AFAC(SAS),

.../ABD=ZACF,

vABAC=90°,AB=AC,

ZACB=/ABC=45°.

ZABD=180°-45°=U5°,

ZBCF=ZACF-ZACB=135?！?5°=90°,

...CFIBC.

?；CD=DB+BC,DB=CF,

CD=CF+BC.

(3)vABAC=90°,AB=AC=242,

BC=4,

:.CD=-BC=\