專題03二元一次方程組的應(yīng)用壓軸題十種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一二元一次方程組的應(yīng)用——年齡問題】 1【考點(diǎn)二二元一次方程組的應(yīng)用——分配問題】 2【考點(diǎn)三二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題】 4【考點(diǎn)四二元一次方程組的應(yīng)用——行程問題】 5【考點(diǎn)五二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題】 7【考點(diǎn)六二元一次方程組的應(yīng)用——和差倍分問題】 9【考點(diǎn)七二元一次方程組的應(yīng)用——方案問題】 10【考點(diǎn)八二元一次方程組的應(yīng)用——銷售、利潤問題】 12【考點(diǎn)九二元一次方程組的應(yīng)用——數(shù)字問題】 14【考點(diǎn)十二元一次方程組的應(yīng)用——幾何問題】 15【過關(guān)檢測】 16【典型例題】【考點(diǎn)一二元一次方程組的應(yīng)用——年齡問題】例題：（2023下·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【考點(diǎn)二二元一次方程組的應(yīng)用——分配問題】例題：（2023上·重慶·八年級(jí)重慶八中校考期中）某共享單車運(yùn)營公司準(zhǔn)備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，準(zhǔn)備招聘一批新工人．已知2名熟練工人和3名新工人每天共安裝44輛共享單車；4名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與5名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車；(2)共享單車安裝公司計(jì)劃抽調(diào)出熟練工人若干，并且招聘新工人共同安裝共享單車．如果25天后剛好交付運(yùn)營公司3500輛合格品投入市場，求熟練工人和新工人各多少人．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建南平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“建盞”作為一種茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一張名片．“建盞”的焙燒方法目前有兩種：“柴燒”和“電燒”，制坯的原料是用當(dāng)?shù)氐募t土和白土．已知某種同樣規(guī)格的建盞，一個(gè)柴燒的坯體原料紅土需要90克，白土需要60克，一個(gè)電燒的坯體原料紅土需要75克，白土需要75克．在不考慮破損的情況下，某生產(chǎn)車間在一次生產(chǎn)中恰好用了紅土1530克，白土1170克．(1)在這次生產(chǎn)中，“柴燒”和“電燒”建盞各生產(chǎn)多少個(gè)？(2)該車間計(jì)劃購買禮盒，現(xiàn)有兩種禮盒可供選擇，A禮盒可裝2個(gè)建盞，B禮盒可裝6個(gè)建盞，若要把本次生產(chǎn)的建盞恰好全部裝完，且禮盒裝滿，有幾種購買方案？請說明理由．【考點(diǎn)三二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題】例題：（2023·廣東佛山·?？家荒＃┪覈糯鷶?shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕，一雀一燕交而處，衡適平，并燕、雀重一斤，問燕、雀一枚各重幾何？”其大意為：今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕，將一只雀、一只燕交換位置而放，則衡器兩邊的總重量相等，如果5只雀和6只燕的總重量為一斤．問雀、燕每1只各重多少斤？【變式訓(xùn)練】1．（2023下·吉林長春·七年級(jí)校考期中）列方程組解古算題：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢六十，乙得甲太半而亦錢六十，甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢60．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢60．甲、乙兩人各帶了多少錢？【考點(diǎn)四二元一次方程組的應(yīng)用——行程問題】例題：（2023上·陜西咸陽·八年級(jí)咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2小時(shí)，從乙碼頭到甲碼頭逆流而行，用了2.5小時(shí)，已知輪船在靜水中的平均速度為27千米/時(shí)，求水流的速度和甲、乙碼頭間的距離？（順?biāo)俣褥o水速度水流速度；逆水速度靜水速度水流速度，用二元一次方程組的知識(shí)解答）【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┘滓覂傻叵嗑?40千米，一輛小車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1小時(shí)20分兩車相遇．相遇后，摩托車?yán)^續(xù)前進(jìn)，小車在相遇處停留1個(gè)小時(shí)后調(diào)頭按原速返回甲地，小車在返回后半小時(shí)追上了摩托車，(1)求小車和摩托車的速度．(2)求相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛多少小時(shí)兩車相距30千米？【考點(diǎn)五二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題】例題：（2023下·云南昆明·七年級(jí)校考階段練習(xí)）巴川河是銅梁的母親河，為打造巴川河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由A、兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成．工程隊(duì)每天整治米，工程隊(duì)每天整治米，共用時(shí)天．(1)求A、兩工程隊(duì)分別整治河道多少天？(2)若A工程隊(duì)整改一米的工費(fèi)為元，工程隊(duì)整改一米的工費(fèi)為元，求完成整治河道時(shí)，這兩工程隊(duì)的工費(fèi)共是多少？【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南邵陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付給兩組費(fèi)用共元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做天可以完成，需付給兩組費(fèi)用共元，問：(1)甲、乙兩組單獨(dú)工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)完成需要天，乙組單獨(dú)完成需要天，若裝修完后，商店每天可盈利元，你認(rèn)為如何安排施工有利于商店經(jīng)營？說說你的理由．（提示：三種施工方式：方式一甲單獨(dú)完成；方式二乙組單獨(dú)完成；方式三甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工．）【考點(diǎn)六二元一次方程組的應(yīng)用——和差倍分問題】例題：（2023上·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為落實(shí)“五育并舉”、提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校在課后服務(wù)中大力開展球類運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)需要購買一批足球、籃球．已知購買1個(gè)足球和1個(gè)籃球共需140元，購買2個(gè)足球和3個(gè)籃球共需340元，求足球和籃球的單價(jià)．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河南周口·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）“綠水青山就是金山銀山”，保護(hù)環(huán)境從日常出行做起．我市實(shí)行限行政策后，某天小林在某停車場觀察到：該停車場停有三輪車和小轎車兩種車型共30輛，已知停車場的車輪總數(shù)為110個(gè)，求三輪車和小轎車各有多少輛？（請用二元一次方程組解答）【考點(diǎn)七二元一次方程組的應(yīng)用——方案問題】例題：（2023上·山東·八年級(jí)期末）現(xiàn)欲將一批荔枝運(yùn)往外地銷售，若用2輛A型車和1輛B型車載滿荔枝一次可運(yùn)走10噸；1輛A型車和2輛B型車載滿荔枝一次可運(yùn)走11噸．現(xiàn)有荔枝31噸，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿荔枝一次可分別運(yùn)送多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）下列兩題任選一道（1）初二兩班共計(jì)有95名學(xué)生，他們的體育平均達(dá)標(biāo)率達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分率是，如果一班學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是，二班學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是，那么一、二班人數(shù)各是多少人？（2）某單位新蓋了一棟樓房，要從相距132米處的自來水主管道處鋪設(shè)水管，現(xiàn)有8米長的與5米長的兩種規(guī)格的水管可供選用．請你設(shè)計(jì)一種方案，如何選取這兩種水管，才能恰好從主管道鋪設(shè)到這座樓房？這樣的方案有幾種？若8米長的水管每根50元，5米長的水管每根35元，選哪種方案最省錢？【考點(diǎn)八二元一次方程組的應(yīng)用——銷售、利潤問題】例題：（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）水果店老板老李第1次用3900元購進(jìn)荔枝、龍眼兩種水果，銷售完后獲得利潤1200元，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：（總利潤＝單件利潤×銷售量）商品價(jià)格荔枝龍眼進(jìn)價(jià)（元/箱）120100售價(jià)（元/箱）150140(1)老李第1次購進(jìn)荔枝、龍眼兩種水果各多少箱？(2)老李第2次以原價(jià)購進(jìn)荔枝、龍眼兩種水果，購進(jìn)荔枝箱數(shù)不變，而購進(jìn)龍眼的箱數(shù)是第1次的2倍，荔枝按原價(jià)銷售，而龍眼打折銷售，等兩種水果銷售完畢，結(jié)果發(fā)現(xiàn)所獲利潤與第一次不一樣，只有960元，則龍眼是打幾折銷售的？【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西榆林·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某體育用品商場銷售，兩款足球，售價(jià)和進(jìn)價(jià)如表：類型進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）售價(jià)（元/個(gè)）款120款90若該商場購進(jìn)5個(gè)款足球和12個(gè)款足球共需1120元；若該商場購進(jìn)10個(gè)款足球和15個(gè)款足球共需1700元．(1)求和的值；(2)為了提高銷量，商場實(shí)施：“買足球送跳繩”的促銷活動(dòng)：“買1個(gè)款足球送1根跳繩，買3個(gè)款足球送2根跳繩”，每根跳繩的成本為10元，某日售出兩款足球總計(jì)盈利600元，那么該日商場銷售、兩款足球各多少個(gè)?（每款都有銷售，且購買款足球的數(shù)量都是3的倍數(shù)）【考點(diǎn)九二元一次方程組的應(yīng)用——數(shù)字問題】例題：（2023上·江蘇·七年級(jí)?？贾軠y）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和為，若把個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調(diào)，則所得的數(shù)比原數(shù)的倍小，求原來的兩位數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河南南陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明和小華在一起玩數(shù)字游戲，他們每人取了一張數(shù)字卡片，拼成了一個(gè)兩位數(shù)，小明說：“哇！這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和恰好是9．”他們又把這兩張卡片對調(diào)，得到了一個(gè)新的兩位數(shù)，小華說：“這個(gè)兩位數(shù)恰好也比原來的兩位數(shù)大9．”那么，你能回答以下問題嗎？(1)他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是幾？(2)第一次，他們拼出的兩位數(shù)是多少？【考點(diǎn)十二元一次方程組的應(yīng)用——幾何問題】例題：（2023上·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在大長方形中放入個(gè)相同的小長方形（圖中空白部分），若大長方形的周長是，圖中陰影部分的面積是，設(shè)小長方形的長為，寬為，求一個(gè)小長方形的周長和面積分別是多少？

【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅張掖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖：用塊相同的長方形拼成一個(gè)寬為厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023上·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知某首歌曲的歌詞的字?jǐn)?shù)是一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的兩倍，且十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大4，則這首歌的歌詞的字?jǐn)?shù)是（

）A．84 B．48 C．41 D．1482．（2023上·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)校考期末）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023上·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）將4個(gè)完全相同的小長方形分別放入兩個(gè)形狀大小完全相同的長方形中，兩個(gè)大長方形未被覆蓋部分分別是圖（1）和圖（2）的陰影部分，如果大長方形的長為，則圖（1）與圖（2）的陰影部分周長之差是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）上學(xué)年初一某班的學(xué)生都是兩人一桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的．本學(xué)年該班新轉(zhuǎn)入4個(gè)男生后，男女生剛好一樣多．設(shè)上學(xué)年該班有男生x人，女生y人，則列方程組為．5．（2023上·陜西咸陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一次數(shù)學(xué)競賽有12道題，評(píng)分規(guī)定為：做對一道題得10分，做錯(cuò)一道題扣5分．小明答了全部題目，但只得了90分，他答對了道題．6．（2023上·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校鹃喿x材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時(shí)期的“洛書”（如圖①），是世界上最早的矩陣，又稱幻方，用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，洛書就是一個(gè)三階幻方（如圖②）．觀察圖②根據(jù)你所觀察的規(guī)律，則圖③中．三、解答題7．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）古代算題：“今有牛三、羊二，值金八兩；牛二、羊三，值金六兩．牛羊各值金幾何?”請你讀懂題意，給予解答.8．（2023上·福建莆田·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）機(jī)械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，2個(gè)大齒輪和3個(gè)小齒輪配成一套，問需安排多少名工人加工大小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？（列方程解決問題）9．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是7，若把這個(gè)兩位數(shù)加上9，所得的兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字恰好與原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字顛倒了，求原來的兩位數(shù).10．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小勇和哥哥在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑．他們從同一起點(diǎn)沿相反方向同時(shí)出發(fā)，每隔25秒鐘相遇一次．現(xiàn)在，他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過25分鐘哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？(2)哥哥經(jīng)過25分鐘追上小勇時(shí)，小勇跑了多少圈？11．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為了倡導(dǎo)節(jié)約用水，某城市規(guī)定：每戶居民每月的用水標(biāo)準(zhǔn)為，超過標(biāo)準(zhǔn)部分加價(jià)收費(fèi)．已知某戶居民某兩個(gè)月的用水量和水費(fèi)分別是，元和，元．(1)求標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)水價(jià)和超過標(biāo)準(zhǔn)部分的水價(jià)分別是多少？(2)如果小剛家月的水費(fèi)平均單價(jià)為元/，則小剛家月的用水多少？12．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為了防治“甲流病毒”，某醫(yī)藥公司計(jì)劃用兩種車型購買相關(guān)藥物．已知用2輛A型車和1輛型車裝滿藥物一次可運(yùn)11噸，用1輛A型車和2輛型車裝滿藥物一次可運(yùn)13噸．(1)求1輛A型車和1輛型車都裝滿藥物一次可分別運(yùn)多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準(zhǔn)備購買33噸藥物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車輛，型車輛．一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．請你幫該醫(yī)藥公司設(shè)計(jì)租車方案，求出所有租車方案．（甲、乙兩輛車均有在使用）13．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計(jì)劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售，據(jù)了解，輛型汽車、輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)萬元；輛型汽車、輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)萬元．(1)求兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？(2)若該公司計(jì)劃正好用萬元購進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均購買），銷售輛型汽車可獲利元，銷售輛型汽車可獲利元，求該公司共有幾種購買方案？假如這些新能源汽車全部售出，最大利潤是多少元？14．（2023上·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校校考階段練習(xí)）某商場從廠家購進(jìn)了A、B兩種品牌籃球，第一批購買了這兩種品牌籃球各40個(gè)，共花費(fèi)了7200元．全部銷售完后，商家打算再購進(jìn)一批這兩種品牌的籃球，最終第二批購進(jìn)50個(gè)A品牌籃球和30個(gè)B品牌籃球共花費(fèi)了7400元．兩次購進(jìn)A、B兩種籃球進(jìn)價(jià)保持不變．(1)求A、B兩種品牌籃球進(jìn)價(jià)各為多少元一個(gè)；(2)第二批次籃球在銷售過程中，A品牌籃球每個(gè)原售價(jià)為140元，售出40個(gè)后出現(xiàn)滯銷，商場決定打折出售剩余的A品牌籃球；B品牌籃球每個(gè)按進(jìn)價(jià)加價(jià)30%銷售，很快全部售出．已知第二批次兩種品牌籃球全部售出后共獲利2580元，求A品牌籃球打幾折出售？15．（2023上·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)校考階段練習(xí)）今年疫情期間某物流公司計(jì)劃用兩種車型運(yùn)輸救災(zāi)物資，已知：用2輛A型車和1輛型車裝滿物資一次可運(yùn)10噸；用1輛A型車和2輛型車一次可運(yùn)11噸，某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計(jì)劃同時(shí)租用A型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．(1)1輛A型車和1輛型車都裝滿物資一次可分別運(yùn)多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；(3)若A型車每輛需租金每次100元，型車租金每次120元，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．16．（2023上·安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)下公園