2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01:線段、射線、直線1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．細(xì)節(jié)剖析：①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)的距離.3.畫(huà)一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4.線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：細(xì)節(jié)剖析：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段AB上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)02:角1.角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，三是用一個(gè)小寫(xiě)希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：細(xì)節(jié)剖析：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細(xì)節(jié)剖析：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.（4）角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）畫(huà)一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫(huà)出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫(huà)出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫(huà)出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2.角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3.方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.細(xì)節(jié)剖析：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測(cè)繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.知識(shí)點(diǎn)03:多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)1.多邊形及正多邊形：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形．其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如下圖：細(xì)節(jié)剖析：（1）n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)、n條邊，對(duì)角線的條數(shù)為．（2）多邊形按邊數(shù)的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等．2.圓及扇形：（1）圓：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

細(xì)節(jié)剖析：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.（2）扇形：由一條弧AB和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA，OB所組成的圖形叫做扇形.如下圖：細(xì)節(jié)剖析：扇形OAB的面積公式：；扇形OAB的弧長(zhǎng)公式：.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?成武縣期末）如圖，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，∠AOB＝80°，∠1＝15°，∠2＝（）A．25° B．30° C．40° D．50°解：∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，∠AOB＝80°，∴∠1+∠2＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝40°，∵∠1＝15°，∴∠2＝25°．故選：A．2．（2分）（2022秋?海興縣期末）如圖，OA的方向是北偏東20°，OC的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，則OB的方向是（）A．北偏西80° B．北偏西40° C．北偏東20° D．北偏東80°解：∵OA的方向是北偏東20°，OC的方向是北偏西40°，∴∠AOC＝20°+40°＝60°，∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOB＝60°，∵20°+60°＝80°，∴OB的方向是北偏東80°．故選：D．3．（2分）（2022秋?華容區(qū)期末）如圖，將一塊三角形木板截去一部分后，發(fā)現(xiàn)剩余木板的周長(zhǎng)要比原三角形木板的周長(zhǎng)大，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn) B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 D．兩點(diǎn)之間，線段最短解：如圖，將一塊三角形木板截去一部分后，發(fā)現(xiàn)剩余木板的周長(zhǎng)要比原三角形木板的周長(zhǎng)大，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)之間線段最短．故選：D．4．（2分）（2022秋?廣水市期末）下列說(shuō)法：①兩點(diǎn)確定一條直線；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③若∠AOC＝∠AOB，則射線OC是∠AOB的平分線；④連接兩點(diǎn)之間的線段叫做這兩點(diǎn)間的距離；⑤學(xué)校在小明家南偏東25°方向上，則小明家在學(xué)校北偏西方向25°上．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①兩點(diǎn)確定一條直線，正確；②兩點(diǎn)之間，線段最短，正確；③若，則射線OC是∠AOB的平分線，不正確，射線OC也可能在∠AOB的外部；④連接兩點(diǎn)之間的線段叫做這兩點(diǎn)間的距離，不正確，連接兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)間的距離；⑤學(xué)校在小明家南偏東25°方向上，則小明家在學(xué)校北偏西方向25°上，正確；綜上，①②⑤正確，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．5．（2分）（2023春?蓬萊區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在模板上畫(huà)出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩點(diǎn)彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短；②若AB＝2CB，則點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)；③若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，則有∠A＞∠C＞∠B；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)解：①木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在模板上畫(huà)出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩點(diǎn)彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點(diǎn)確定一條直線，故說(shuō)法錯(cuò)誤；②若AB＝2CB，則點(diǎn)C不一定是AB的中點(diǎn)，也可能在AB的延長(zhǎng)線上，故說(shuō)法錯(cuò)誤；③∠C＝20.25°＝20°900″，∠A＝20°18′＝20°1080″，則有∠A＞∠C＞∠B，故說(shuō)法正確；故選：A．6．（2分）（2023春?文登區(qū)期末）如圖，已知∠AOB，用尺規(guī)以O(shè)B為一邊在∠AOB的外部作∠COB＝∠AOB，對(duì)于弧PQ，下列說(shuō)法正確的是（）A．以點(diǎn)M為圓心，OM的長(zhǎng)為半徑 B．以點(diǎn)N為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑 C．以點(diǎn)O為圓心，OM的長(zhǎng)為半徑 D．以點(diǎn)N為圓心，ON的長(zhǎng)為半徑解：根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法進(jìn)行如下步驟的作圖：①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，②以點(diǎn)N為圓心，MN為半徑畫(huà)弧PQ，交已畫(huà)的弧于點(diǎn)C，③作射線OC．故選：B．7．（2分）（2022秋?巴南區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C、D、E在線段AB上，且AC：CD＝2：3，點(diǎn)E為CB的中點(diǎn)．若DE＝3cm，AB＝30cm，則AE的長(zhǎng)為（）A．20cm B．18cm C．16cm D．14cm解：設(shè)AC＝2x，∵AC：CD＝2：3，∴CD＝3x，CE＝CD+DE＝3x+3，∵點(diǎn)E為CB的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝3x+3，AB＝AC+CE+BE＝30cm2x+（3x+3）+（3x+3）＝30，解方程得x＝3，∴AC＝2×3＝6（cm），CE＝3×3+3＝12（cm），∴AE＝AC+CE＝6+12＝18（cm），故選：B．8．（2分）（2022秋?射洪市期末）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確的是（）A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90° C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF解：由作圖可知DF垂直平分線段AB，BE平分∠ABC，∴FA＝FB，DF⊥AB，故選項(xiàng)A，C正確，∴∠AFD＝∠BFD，∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，∴∠AFD+∠FBC＝90°，故選項(xiàng)B正確．故選：D．9．（2分）（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票．A．10 B．11 C．20 D．22解：圖中線段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10條，單程要10種車票，往返就是20種，即5×（5﹣1）＝20，故選：C．10．（2分）（2022秋?益陽(yáng)期末）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN＝20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，N3；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（）A． B． C． D．解：∵線段MN＝20，線段AM和AN的中點(diǎn)M1，N1，∴M1N1＝AM1﹣AN1＝AM﹣AN＝（AM﹣AN）＝MN＝×20＝10．∵線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；∴M2N2＝AM2﹣AN2＝AM1﹣AN1＝（AM1﹣AN1）＝M1N1＝×20＝×20＝5．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：MnNn＝×20∴M1N1+M2N2+…+M10N10＝+×20+×20+…+×20＝20（+++…+）＝20（）＝20（1﹣）＝20﹣故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?華容區(qū)期末）已知：如圖，E，F(xiàn)為線段MN上的兩點(diǎn)，點(diǎn)E為MF的中點(diǎn)，若MN＝25，圖中所有線段的和為80（不重復(fù)計(jì)），則線段NF的長(zhǎng)是15．解：由題意得：ME+MF+MN+EF+EN+FN＝80，∴（ME+EF+FN）+MN+MF+EN＝80，∴MN+MN+MF+FN+EF＝80，∴3MN+EF＝80，∵M(jìn)N＝25，∴EF＝5，∵點(diǎn)E為MF的中點(diǎn)，∴MF＝2EF＝10，∴NF＝MN﹣MF＝15，故答案為：15．12．（2分）（2022秋?武昌區(qū)期末）如圖，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，∠AOB＝40°，∠MON＝50°，則∠BOC＝100°．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，∴∠BOM＝∠AOB＝20°，∠CON＝∠AON，∵∠AOB＝40°，∠MON＝50°，∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝50°﹣20°＝30°，∴∠AON＝∠CON＝70°，∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝100°，故答案為：100．13．（2分）（2022秋?撫遠(yuǎn)市期末）如圖，AB＝12cm，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長(zhǎng)為10cm．解：∵AB＝12cm，C為AB的中點(diǎn)，∴AC＝CB＝6cm，∵點(diǎn)D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，∴AD：CA＝1：3，∴AD＝CA＝×6＝2cm，∴DB＝AB﹣AD＝12﹣2＝10cm，故答案為：10．14．（2分）（2022秋?德州期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，連接EF．將∠BEF對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EF上的點(diǎn)B'處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A'處，得折痕EN，若∠BME＝25°，則∠ANE＝65度．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵∠BME＝25°，∴∠BEM＝90°﹣∠BME＝65°，∵將∠BEF對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EF上的點(diǎn)B'處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A'處，得折痕EN，∴，∵∠AEA'+∠BEB'＝180°，∴，∴∠AEN＝∠A'EN＝90°﹣∠B'EM＝25°，∴∠ANE＝90°﹣∠AEN＝65°．故答案為：65°．15．（2分）（2022秋?包河區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，將∠CBD沿對(duì)角線BD折疊得∠C'BD，C'B和AD相交于點(diǎn)E，將∠ABE沿BE折疊得∠A'BE，若∠A'BD＝15°，則∠ABE度數(shù)為20°．解：設(shè)∠CBD＝x，由翻折的性質(zhì)可知∠C'BD＝∠CBD＝x，∠ABE＝∠A'BE．∵∠A'BC＝∠A'BD+∠C'BD＝15°+x，∴∠ABE＝∠A'BE＝∠C'BD﹣∠A'BD＝x﹣15°，∴∠ABC＝∠ABE+∠C'BD+∠CBD＝x+x+x﹣15°，∵長(zhǎng)方形紙片ABCD，∴∠ABC＝90°，∴x+x+x﹣15°＝90°解得：x＝35°，∴∠ABE＝x﹣15°＝20°．故答案為：20．16．（2分）（2022秋?高新區(qū)期末）如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段MP，NP組成一條折線M﹣P﹣N，若該折線M﹣P﹣N上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”，已知D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，E為線AC的中點(diǎn)，CD＝1，CE＝3，則線段BC的長(zhǎng)為8或4．解：如圖（1），∵E為線AC的中點(diǎn)，CE＝3，∴AC＝2CE＝6，∵D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，∴BD＝AC+CD＝6+1＝7，∴BC＝BD+CD＝7+1＝8；∴如圖（2）∵E為線AC的中點(diǎn)，CE＝3，∴AC＝2CE＝6，∴AD＝AC﹣CD＝6﹣1＝5，∵D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，∴BC+CD＝AD＝5，∴BC＝5﹣CD＝5﹣1＝4．∴BC的長(zhǎng)是8或4．故答案為：8或4．17．（2分）（2022秋?曲阜市期末）如圖，將三個(gè)同樣大小的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，已知∠EOF＝45°，∠AOB＝30°，那么∠1＝15°．解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣45°＝45°，又∵∠1＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，∴∠1＝60°+45°﹣90°＝15°．故答案為：15°．18．（2分）（2022秋?運(yùn)城期末）如圖，在利用量角器畫(huà)一個(gè)40°的∠AOB的過(guò)程中，對(duì)于先找點(diǎn)B，再畫(huà)射線OB這一步驟的畫(huà)圖依據(jù)，喜羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)確定一條直線，懶羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)之間線段最短．你認(rèn)為喜羊羊同學(xué)的說(shuō)法是正確的．解：在利用量角器畫(huà)一個(gè)40°的∠AOB的過(guò)程中，對(duì)于先找點(diǎn)B，再畫(huà)射線OB這一步驟的畫(huà)圖依據(jù)，喜羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)確定一條直線，懶羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)之間線段最短．你認(rèn)為喜羊羊同學(xué)的說(shuō)法是正確的，故答案為：喜羊羊．19．（2分）（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合）、點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，折痕MN分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N，如果∠FMN＝102°，那么∠FMD＝24°．解：由折疊的性質(zhì)可知∠AMN＝∠FMN＝102°，∴∠DMN＝180°﹣∠AMN＝78°，∴∠DMF＝∠FMN﹣∠DMN＝24°，故答案為：24．20．（2分）（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠AOB＝150°，∠COD＝40°，∠COD在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)，若OE平分∠AOC，則2∠BOE﹣∠BOD的值為110°．解：如圖：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，設(shè)∠DOE＝x，∵∠COD＝40°，∴∠AOE＝∠COE＝x+40°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°﹣2（x+40°）＝70°﹣2x，∴2∠BOE﹣∠BOD＝2（70°﹣2x+40°+x）﹣（70°﹣2x+40°）＝140°﹣4x+80°+2x﹣70°+2x﹣40°＝110°，當(dāng)角AOC小于80度時(shí)，OD在OE左側(cè)，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°當(dāng)OD和OE重合時(shí)，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°故答案為：110．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?文登區(qū)期中）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠AOB的平分線．若∠BOD＝80°，你能求出∠COE是多少度嗎？解：∵OC是∠AOD的平分線，OE是∠AOB的平分線，∴∠AOC＝∠AOD，∠AOE＝∠AOB，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝（∠AOB﹣∠AOD）＝∠BOD＝×80°＝40°．22．（6分）（2022秋?川匯區(qū)期末）綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓同學(xué)們以“長(zhǎng)方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作測(cè)量操作一：對(duì)折長(zhǎng)方形紙片ABCD，使較長(zhǎng)的一組對(duì)邊AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP將三角形ABP折疊，點(diǎn)A在平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，把紙片展平．如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在折痕EF上時(shí)，連接PM，BM．測(cè)量∠ABP，∠CBM的度數(shù)，得∠ABP＝30度，∠CBM＝30度．（2）遷移探究在操作二中，若使點(diǎn)M限制在長(zhǎng)方形紙片內(nèi)，設(shè)∠ABP＝α，∠CBM＝β，請(qǐng)判斷α，β的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）的探究中，若點(diǎn)M的位置不受限制，并且長(zhǎng)方形紙片較長(zhǎng)的一邊足夠長(zhǎng)，當(dāng)∠CBM＝18°時(shí)，直接寫(xiě)出∠ABP的度數(shù)．解：（1）連接AM，由題意可知EF是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，由翻折可知AB＝BM，，∴AB＝BM＝AM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM＝60°，∴，∴∠CBM＝90°﹣∠ABM＝30°，故答案為：30，30；（2）由翻折可知，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M限制在長(zhǎng)方形紙片內(nèi)時(shí)，∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝90°，設(shè)∠ABP＝α，∠CBM＝β，∴∠ABC＝2α+β，即2α+β＝90°；（3）①當(dāng)點(diǎn)M限制在長(zhǎng)方形紙片內(nèi)時(shí)，由（2）可知2∠ABP+∠CBM＝90°，當(dāng)∠CBM＝18°時(shí)，，2∠ABP+18°＝90°，解得：∠ABP＝36°；②當(dāng)點(diǎn)M限制在長(zhǎng)方形紙片外時(shí)，由翻折可知∠ABM＝2∠ABP＝2∠MBP，且∠ABC＝90°，∴∠CBM＝∠ABM﹣∠ABC＝2∠ABP﹣90°，即2∠ABP＝∠CBM+90°，當(dāng)∠CBM＝18°時(shí)，2∠ABP＝90°+18°，解得：∠ABP＝54°，故：∠ABP＝36°或∠ABP＝54°．23．（8分）（2022秋?海興縣期末）已知∠AOB＝90°，過(guò)頂點(diǎn)O作射線OC，且OE平分∠AOC．（1）如圖1，若OC平分∠AOB，則∠EOC的度數(shù)為22.5°；（2）若，求∠EOC的度數(shù)；（3）嘉嘉說(shuō)：“如圖2，若OC在∠AOB內(nèi)，OD平分∠BOC，則∠EOD的度數(shù)不變．”請(qǐng)你判斷嘉嘉的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由；（4）若OC在∠AOB外，設(shè)∠BOC＝α，OD平分∠BOC，當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，直接寫(xiě)出∠EOD的度數(shù)．解：（1）∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝＝45°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝＝22.5°，故答案為：22.5°；（2）因?yàn)椤螧OC＝∠AOB，所以∠BOC＝30°．當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°．因?yàn)镺E平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC＝30°；當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°．因?yàn)镺E平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC＝60°；（3）正確；理由：因?yàn)镺E平分∠AOC，OD平分∠BOC，所以∠EOC＝∠AOC，∠DOC＝∠BOC，所以∠EOD＝∠EOC+∠DOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝45°；（4）∠EOD的度數(shù)為45°或135°．如圖1，當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，因?yàn)镺E，OD分別是∠AOC和∠BOC的平分線，所以∠EOC＝∠AOC，∠DOC＝∠BOC．因?yàn)椤螮OD＝∠EOC﹣∠DOC，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC，所以∠EOD＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝45°；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，若OC在OB的下方，如圖2，因?yàn)镺E，OD分別是∠AOC和∠BOC的平分線，所以∠EOC＝∠AOC，∠DOC＝∠BOC．因?yàn)椤螮OD＝∠EOC+∠DOC，∠AOC+∠BOC＝360°﹣∠AOB，所以∠EOD＝∠AOC+∠BOC＝180°﹣∠AOB＝135°；若OC在OB的上方，如圖3，因?yàn)镺E，OD分別是∠AOC和∠BOC的平分線，所以∠EOC＝∠AOC，∠DOC＝∠BOC．因?yàn)椤螮OD＝∠DOC﹣∠EOC，∠AOB＝∠BOC﹣∠AOC，所以∠EOD＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝45°．24．（8分）（2022秋?唐河縣期末）如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC＝70°，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（注：∠DOE＝90°）（1）如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝20°；（2）如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數(shù)；（3）如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．解：（1）如圖①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，故答案為：20；（2）如圖②，∵OC平分∠EOB，∠BOC＝70°，∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，∵∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，∵∠BOC＝70°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD＝∠COE﹣∠BOD＝90°﹣70°＝20°，即∠COE﹣∠BOD＝20°．25．（8分）（2023春?東平縣期末）點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得∠COD＝90°．?（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，使OE平分∠AOC，當(dāng)∠COE＝25°時(shí)，∠BOD的度數(shù)為多少？（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時(shí)，求出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵OE為∠AOC的角平分線，∴∠COE＝∠AOC，∴∠AOC＝25°×2＝50°，∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣50°＝40°；（2）∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOD，∵OE為∠AOD的角平分線，∴∠AOC+∠COE＝∠AOD＝45°+∠AOC，即∠AOC＝90°﹣2∠COE，∴90°﹣2∠COE＝90°﹣∠BOD，即∠BOD＝2∠COE．26．（8分）（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知O是AB上的一點(diǎn)，OE平分∠AOD．（1）如圖，當(dāng)∠COE＝20°且∠COD＝90°時(shí)，求∠BOE的度數(shù)；（2）如圖，當(dāng)∠COE＝20°且∠AOC＝∠BOD時(shí)，求∠BOE的度數(shù)；（3）若∠COD＝90°，∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周過(guò)程中，與∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論并畫(huà)出相應(yīng)的圖形．解：（1）∵∠COE＝20°，∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣20°＝70°，∵OE平分∠AOD，∴．∠AOE＝∠DOE＝70°，∴∠BOE＝180°﹣700°＝110°；（2）設(shè)∠AOC＝∠BOD＝α，∵∠COE＝20°，∴∠AOE＝α+20°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE＝2（α+20°），∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴2（α+20°）+α＝180°，∴