100個(gè)經(jīng)典初等數(shù)學(xué)問(wèn)題第01題

阿基米德分牛問(wèn)題Archimedes'

Problema

Bovinum

太陽(yáng)神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成.

在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1

/7.

在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7.

問(wèn)這牛群是怎樣組成的？

第02題

德?梅齊里亞克的法碼問(wèn)題The

Weight

Problem

of

Bachet

de

Meziriac

一位商人有一個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來(lái)，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來(lái)稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物.

問(wèn)這4塊砝碼碎片各重多少？第03題

牛頓的草地與母牛問(wèn)題Newton's

Problem

of

the

Fields

and

Cows

a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了；

a'頭母牛將b'塊地上的牧草在c'天內(nèi)吃完了；

a"頭母牛將b"塊地上的牧草在c"天內(nèi)吃完了；

求出從a到c"9個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系？

第04題

貝韋克的七個(gè)7的問(wèn)題Berwick's

Problem

of

the

Seven

Sevens

在下面除法例題中，被除數(shù)被除數(shù)除盡：

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

÷

*

*

*

*

7

*

=

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

用星號(hào)（*）標(biāo)出的那些數(shù)位上的數(shù)字偶然被擦掉了，那些不見(jiàn)了的是些什么數(shù)字呢？第05題

柯克曼的女學(xué)生問(wèn)題Kirkman's

Schoolgirl

Problem

某寄宿學(xué)校有十五名女生，她們經(jīng)常每天三人一行地散步，問(wèn)要怎樣安排才能使每個(gè)女生同其他每個(gè)女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06題

伯努利-歐拉關(guān)于裝錯(cuò)信封的問(wèn)題The

Bernoulli-Euler

Problem

of

the

Misaddressed

letters

求n個(gè)元素的排列，要求在排列中沒(méi)有一個(gè)元素處于它應(yīng)當(dāng)占有的位置.

第07題

歐拉關(guān)于多邊形的剖分問(wèn)題Euler's

Problem

of

Polygon

Division

可以有多少種方法用對(duì)角線把一個(gè)n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？

第08題

魯卡斯的配偶夫婦問(wèn)題Lucas'

Problem

of

the

Married

Couples

n對(duì)夫婦圍圓桌而坐，其座次是兩個(gè)婦人之間坐一個(gè)男人，而沒(méi)有一個(gè)男人和自己的妻子并坐，問(wèn)有多少種坐法？第09題

卡亞姆的二項(xiàng)展開(kāi)式Omar

Khayyam's

Binomial

Expansion

當(dāng)n是任意正整數(shù)時(shí)，求以a和b的冪表示的二項(xiàng)式a+b的n次冪.

第10題

柯西的平均值定理Cauchy's

Mean

Theorem

求證n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值.

第11題

伯努利冪之和的問(wèn)題Bernoulli's

Power

Sum

Problem

確定指數(shù)p為正整數(shù)時(shí)最初n個(gè)自然數(shù)的p次冪的和S=1p+2p+3p+…+np.

第12題

歐拉數(shù)The

Euler

Number

求函數(shù)φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)的極限值第13題

牛頓指數(shù)級(jí)數(shù)Newton's

Exponential

Series

將指數(shù)函數(shù)ex變換成各項(xiàng)為x的冪的級(jí)數(shù).

第14題

麥凱特爾對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)Nicolaus

Mercator's

Logarithmic

Series

不用對(duì)數(shù)表，計(jì)算一個(gè)給定數(shù)的對(duì)數(shù).

第15題

牛頓正弦及余弦級(jí)數(shù)Newton's

Sine

and

Cosine

Series

不用查表計(jì)算已知角的正弦及余弦三角函數(shù).

第16題

正割與正切級(jí)數(shù)的安德烈推導(dǎo)法Andre's

Derivation

of

the

Secant

and

Tangent

Series

在n個(gè)數(shù)1，2，3，…,n的一個(gè)排列c1，c2，…，cn中，如果沒(méi)有一個(gè)元素ci的值介于兩個(gè)鄰近的值ci-1和ci+1之間，則稱c1，c2，…，cn為1，2，3，…,n的一個(gè)屈折排列.

試?yán)们叟帕型茖?dǎo)正割與正切的級(jí)數(shù).第17題

格雷戈里的反正切級(jí)數(shù)Gregory's

Arc

Tangent

Series

已知三條邊，不用查表求三角形的各角.

第18題

德布封的針問(wèn)題Buffon's

Needle

Problem

在臺(tái)面上畫(huà)出一組間距為d的平行線，把長(zhǎng)度為l（小于d）的一根針任意投擲在臺(tái)面上，問(wèn)針觸及兩平行線之一的概率如何？

第19題

費(fèi)馬-歐拉素?cái)?shù)定理The

Fermat-Euler

Prime

Number

Theorem

每個(gè)可表示為4n+1形式的素?cái)?shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來(lái)表示.

第20題

費(fèi)馬方程The

Fermat

Equation

求方程x2－dy2=1的整數(shù)解，其中d為非二次正整數(shù).

第21題

費(fèi)馬-高斯不可能性定理The

Fermat-Gauss

Impossibility

Theorem

證明兩個(gè)立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù).第22題

二次互反律The

Quadratic

Reciprocity

Law

（歐拉-勒讓德-高斯定理）奇素?cái)?shù)p與q的勒讓德互反符號(hào)取決于公式

（p/q）?（q/p）=（－1）[(p-1)/2]?[(q-1)/2].

第23題

高斯的代數(shù)基本定理Gauss'

Fundamental

Theorem

of

Algebra

每一個(gè)n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n個(gè)根.

第24題

斯圖謨的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題Sturm's

Problem

of

the

Number

of

Roots

求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程在已知區(qū)間上的實(shí)根的個(gè)數(shù).

第25題

阿貝爾不可能性定理Abel's

Impossibility

Theorem

高于四次的方程一般不可能有代數(shù)解法.第26題

赫米特-林德曼超越性定理The

Hermite-Lindemann

Transcedence

Theorem

系數(shù)A不等于零，指數(shù)α為互不相等的代數(shù)數(shù)的表達(dá)式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.

第27題

歐拉直線Euler's

Straight

Line

在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線的交點(diǎn)和各高的交點(diǎn)在一直線—?dú)W拉線上，而且三點(diǎn)的分隔為：各高線的交點(diǎn)（垂心）至各中線的交點(diǎn)（重心）的距離兩倍于外接圓

的圓心至各中線的交點(diǎn)的距離.

第28題

費(fèi)爾巴哈圓The

Feuerbach

Circle

三角形中三邊的三個(gè)中點(diǎn)、三個(gè)高的垂足和高的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的線段的三個(gè)中點(diǎn)在一個(gè)圓上.

第29題

卡斯蒂朗問(wèn)題Castillon's

Problem

將各邊通過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)的一個(gè)三角形內(nèi)接于一個(gè)已知圓.第30題

馬爾法蒂問(wèn)題Malfatti's

Problem

在一個(gè)已知三角形內(nèi)畫(huà)三個(gè)圓，每個(gè)圓與其他兩個(gè)圓以及三角形的兩邊相切.

第31題

蒙日問(wèn)題Monge's

Problem

畫(huà)一個(gè)圓，使其與三已知圓正交.

第32題

阿波洛尼斯相切問(wèn)題The

Tangency

Problem

of

Apollonius.

畫(huà)一個(gè)與三個(gè)已知圓相切的圓.

第33題

馬索若尼圓規(guī)問(wèn)題Macheroni's

Compass

Problem.

證明任何可用圓規(guī)和直尺所作的圖均可只用圓規(guī)作出.

第34題

斯坦納直尺問(wèn)題Steiner's

Straight-edge

Problem

證明任何一個(gè)可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果在平面內(nèi)給出一個(gè)定圓，只用直尺便可作出.第35題

德里安倍立方問(wèn)題The

Deliaii

Cube-doubling

Problem

畫(huà)出體積為一已知立方體兩倍的立方體的一邊.

第36題

三等分一個(gè)角Trisection

of

an

Angle

把一個(gè)角分成三個(gè)相等的角.

第37題

正十七邊形The

Regular

Heptadecagon

畫(huà)一正十七邊形.

第38題

阿基米德π值確定法Archimedes'

Determination

of

the

Number

Pi

設(shè)圓的外切和內(nèi)接正2vn邊形的周長(zhǎng)分別為av和bv，便依次得到多邊形周長(zhǎng)的阿基米德數(shù)列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的調(diào)和中項(xiàng)，bv+1是bv、av+1的等比中項(xiàng).

假如已知初始兩項(xiàng)，利用這個(gè)規(guī)則便能計(jì)算出數(shù)列的所有項(xiàng).

這個(gè)方法叫作阿基

米德算法.第39題

富斯弦切四邊形問(wèn)題Fuss'

Problem

of

the

Chord-Tangent

Quadrilateral

找出半徑與雙心四邊形的外接圓和內(nèi)切圓連心線之間的關(guān)系.（注：一個(gè)雙心或弦切四邊形的定義是既內(nèi)接于一個(gè)圓而同時(shí)又外切于另一個(gè)圓的四邊形）

第40題

測(cè)量附題Annex

to

a

Survey

利用已知點(diǎn)的方位來(lái)確定地球表面未知但可到達(dá)的點(diǎn)的位置.

第41題

阿爾哈森彈子問(wèn)題Alhazen's

Billiard

Problem

在一個(gè)已知圓內(nèi)，作出一個(gè)其兩腰通過(guò)圓內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的等腰三角形.

第42題

由共軛半徑作橢圓An

Ellipse

from

Conjugate

Radii

已知兩個(gè)共軛半徑的大小和位置，作橢圓.

第43題

在平行四邊形內(nèi)作橢圓An

Ellipse

in

a

Parallelogram,

在規(guī)定的平行四邊形內(nèi)作一內(nèi)切橢圓，它與該平行四邊形切于一邊界點(diǎn).第44題

由四條切線作拋物線A

Parabola

from

Four

Tangents

已知拋物線的四條切線，作拋物線.

第45題

由四點(diǎn)作拋物線A

Parabola

from

Four

Points.

過(guò)四個(gè)已知點(diǎn)作拋物線.

第46題

由四點(diǎn)作雙曲線A

Hyperbola

from

Four

Points.

已知直角（等軸）雙曲線上四點(diǎn)，作出這條雙曲線.

第47題

范?施古登軌跡題Van

Schooten's

Locus

Problem

平面上的固定三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)沿平面上一個(gè)角的兩個(gè)邊滑動(dòng)，第三個(gè)頂點(diǎn)的軌跡是什么？第48題

卡丹旋輪問(wèn)題Cardan's

Spur

Wheel

Problem.

一個(gè)圓盤(pán)沿著半徑為其兩倍的另一個(gè)圓盤(pán)的內(nèi)緣滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)圓盤(pán)上標(biāo)定的一點(diǎn)所描出的軌跡是什么？

第49題

牛頓橢圓問(wèn)題Newton's

Ellipse

Problem.

確定內(nèi)切于一個(gè)已知（凸）四邊形的所有橢圓的中心的軌跡.

第50題

彭賽列-布里昂匈雙曲線問(wèn)題The

Poncelet-Brianchon

Hyperbola

Problem

確定內(nèi)接于直角（等邊）雙曲線的所有三角形的頂垂線交點(diǎn)的軌跡.

第51題

作為包絡(luò)的拋物線A

Parabola

as

Envelope

從角的頂點(diǎn)，在角的一條邊上連續(xù)n次截取任意線段e，在另一條邊上連續(xù)n次截取線段f，并將線段的端點(diǎn)注以數(shù)字，從頂點(diǎn)開(kāi)始，分別為0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1

，0.

求證具有相同數(shù)字的點(diǎn)的連線的包絡(luò)為一條拋物線.第52題

星形線The

Astroid

直線上兩個(gè)標(biāo)定的點(diǎn)沿著兩條固定的互相垂直的軸滑動(dòng)，求這條直線的包絡(luò).

第53題

斯坦納的三點(diǎn)內(nèi)擺線Steiner's

Three-pointed

Hypocycloid

確定一個(gè)三角形的華萊士（Wallace）線的包絡(luò).

第54題

一個(gè)四邊形的最接近圓的外接橢圓The

Most

Nearly

Circular

Ellipse

Circum

scribing

a

Quadrilateral

一個(gè)已知四邊形的所有外接橢圓中，哪一個(gè)與圓的偏差最?。?/p>

第55題

圓錐曲線的曲率The

Curvature

of

Conic

Sections

確定一個(gè)圓錐曲線的曲率.

第56題

阿基米德對(duì)拋物線面積的推算Archimedes'

Squaring

of

a

Parabola

確定包含在拋物線內(nèi)的面積.第57題

推算雙曲線的面積Squaring

a

Hyperbola

確定雙曲線被截得的部分所含的面積.

第58題

求拋物線的長(zhǎng)Rectification

of

a

Parabola

確定拋物線弧的長(zhǎng)度.

第59題

笛沙格同調(diào)定理（同調(diào)三角形定理）Desargues'

Homology

Theorem

(Theorem

of

Homologous

Triangles)

如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線通過(guò)一點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線上.

反之，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線上，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線通過(guò)一點(diǎn).

第60題

斯坦納的二重元素作圖法Steiner's

Double

Element

Construction

由三對(duì)對(duì)應(yīng)元素所給定的重迭射影形，作出它的二重元素.

第61題

帕斯卡六邊形定理Pascal's

Hexagon

Theorem

求證內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形中，三雙對(duì)邊的交點(diǎn)在一直線上.

第62題

布里昂匈六線形定理Brianchon's

Hexagram

Theorem

求證外切于圓錐曲線的六線形中，三條對(duì)頂線通過(guò)一點(diǎn).

第63題

笛沙格對(duì)合定理Desargues'

Involution

Theorem

一條直線與一個(gè)完全四點(diǎn)形*的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)與外接于該四點(diǎn)形的圓錐曲線構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)點(diǎn)偶.

一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)完全四線形*的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線和從該點(diǎn)向內(nèi)切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)射線偶.

*一個(gè)完全四點(diǎn)形（四線形）實(shí)際上含有四點(diǎn)（線）1，2，3，4和它們的六條連線交點(diǎn)

23，14，31，24，12，34；其中23與14、31與24、12與34稱為對(duì)邊（對(duì)頂點(diǎn)）.第64題

由五個(gè)元素得到的圓錐曲線A

Conic

Section

from

Five

Elements

求作一個(gè)圓錐曲線，它的五個(gè)元素——點(diǎn)和切線——是已知的.

第65題

一條圓錐曲線和一條直線A

Conic

Section

and

a

Straight

Line

一條已知直線與一條具有五個(gè)已知元素——點(diǎn)和切線——的圓錐曲線相交，求作它們的交點(diǎn).

第66題

一條圓錐曲線和一定點(diǎn)A

Conic

Section

and

a

Point

已知一點(diǎn)及一條具有五個(gè)已知元素——點(diǎn)和切線——的圓錐曲線，作出從該點(diǎn)列到該曲線的切線.

第67題

斯坦納的用平面分割空間Steiner's

Division

of

Space

by

Planes

n個(gè)平面最多可將整個(gè)空間分割成多少份？

第68題

歐拉四面體問(wèn)題Euler's

Tetrahedron

Problem

以六條棱表示四面體的體積.

第69題

偏斜直線之間的最短距離The

Shortest

Distance

Between

Skew

Lines

計(jì)算兩條已知偏斜直線之間的角和距離.

第70題

四面體的外接球The

Sphere

Circumscribing

a

Tetrahedron

確定一個(gè)已知所有六條棱的四面體的外接球的半徑.

第71題

五種正則體The

Five

Regular

Solids

將一個(gè)球面分成全等的球面正多邊形.

第72題

正方形作為四邊形的一個(gè)映象The

Square

as

an

Image

of

a

Quadrilateral

證明每個(gè)四邊形都可以看作是一個(gè)正方形的透視映象.

第73題

波爾凱-許瓦爾茲定理The

Pohlke-Schwartz

Theorem

一個(gè)平面上不全在同一條直線上的四個(gè)任意點(diǎn)，可認(rèn)為是與一個(gè)已知四面體相似的四面體的各隅角的斜映射.

第74題

高斯軸測(cè)法基本定理Gauss'

Fundamental

Theorem

of

Axonometry

正軸測(cè)法的高斯基本定理：如果在一個(gè)三面角的正投影中，把映象平面作為復(fù)平面，三面角頂點(diǎn)的投影作為零點(diǎn)，邊的各端點(diǎn)的投影作為平面的復(fù)數(shù)，那么這些數(shù)的平方和等于零.

第75題

希帕查斯球極平面射影Hipparchus'

Stereographic

Projection

試舉出一種把地球上的圓轉(zhuǎn)換為地圖上圓的保形地圖射影法.

第76題

麥卡托投影The

Mercator

Projection

畫(huà)一個(gè)保形地理地圖，其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的.

第77題

航海斜駛線問(wèn)題The

Problem

of

the

Loxodrome

確定地球表面兩點(diǎn)間斜駛線的經(jīng)度.

第78題

海上船位置的確定Determining

the

Position

of

a

Ship

at

Sea

利用天文經(jīng)線推算法確定船在海上的位置.

第79題

高斯雙高度問(wèn)題Gauss'

Two-Altitude

Problem

根據(jù)已知兩星球的高度以確定時(shí)間及位置.

第80題

高斯三高度問(wèn)題Gauss'

Three-Altitude

Problem

從在已知三星球獲得同高度瞬間的時(shí)間間隔，確定觀察瞬間，觀察點(diǎn)的緯度及星球的高度.

第81題

刻卜勒方程The

Kepler

Equation

根據(jù)行星的平均近點(diǎn)角，計(jì)算偏心及真近點(diǎn)角.

第82題

星落Star

Setting

對(duì)給定地點(diǎn)和日期，計(jì)算一已知星落的時(shí)間和方位角.

第83題

日晷問(wèn)題The

Problem

of

the

Sundial

制作一個(gè)日晷.

第84題

日影曲線The

Shadow

Curve

當(dāng)直桿置于緯度φ的地點(diǎn)及該日太陽(yáng)的赤緯有δ值時(shí)，確定在一天過(guò)程中由桿的一點(diǎn)投影所描繪的曲線.

第85題

日食和月食Solar

and

Lunar

Eclipses

如果對(duì)于充分接近日食時(shí)間的兩個(gè)瞬間太陽(yáng)和月亮的赤經(jīng)、赤緯以及其半徑均為已知，確定日食的開(kāi)始和結(jié)束，以及太陽(yáng)表面被隱蔽部分的最大值.

第86題

恒星及會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期Sidereal

and

Synodic

Revolution

Periods

確定已知恒星運(yùn)轉(zhuǎn)周期的兩共面旋轉(zhuǎn)射線的會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期.

第87題

行星的順向和逆向運(yùn)動(dòng)Progressive

and

Retrograde

Motion

of

Planets

行星什么時(shí)候從順向轉(zhuǎn)為逆向運(yùn)動(dòng)（或反過(guò)來(lái)，從逆向轉(zhuǎn)為順向運(yùn)動(dòng)）？

第88題

蘭伯特慧星問(wèn)題Lambert's

Comet

Prolem

借助焦半徑及連接弧端點(diǎn)的弦，來(lái)表示慧星描繪拋物線軌道的一段弧所需的時(shí)間.

第89題

與歐拉數(shù)有關(guān)的斯坦納問(wèn)題Steiner's

Problem

Concerning

the

Euler

Number

如果x為正變數(shù)，x取何值時(shí)，x的x次方根為最大？

第90題