4.5.2形形色色的函數(shù)模型

我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫.對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題，如何利用已有模型或者選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫它呢？

新課引入環(huán)節(jié)一

例題練習(xí)，鞏固理解

例3

某商用無(wú)人機(jī)公司從某年1月份開始投產(chǎn)，已知前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)臺(tái)，1.2萬(wàn)臺(tái)，1.3萬(wàn)臺(tái)，1.37萬(wàn)臺(tái).

由于產(chǎn)品技術(shù)先進(jìn)、質(zhì)量可靠，前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷量情況良好.為了方便營(yíng)銷人員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受訂單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量.

公司分析，產(chǎn)量的增加是由于工人技術(shù)日益熟練和生產(chǎn)流程更為優(yōu)化，并且公司也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.

假如你是公司管理者，現(xiàn)有五個(gè)模型

供你估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量，哪個(gè)模型最好?思考：對(duì)于以上五個(gè)模型，你將用什么方法做出模型的選擇？解：在直角坐標(biāo)系中依次描出體現(xiàn)基本數(shù)據(jù)的四個(gè)點(diǎn):思考：題中所給的四個(gè)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)是否都需要參與求解函數(shù)關(guān)系？

如不需要，剩余的點(diǎn)有無(wú)作用？例，設(shè)模擬函數(shù)為

第一步，假設(shè)出模擬函數(shù)解析式；第二步，根據(jù)例3中的基本數(shù)據(jù)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中；第三步，結(jié)合方程組，得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù).模型一：設(shè)模擬函數(shù)為

①將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以

②將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)有

解得

所以模型二：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型三：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型四：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型五：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型一：模型二：模型三：模型四：模型五：

思考：如何更直觀的觀察它們的變化情況？函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合商品產(chǎn)量的要求.為此，我們借助計(jì)算機(jī)軟件可作出函數(shù)圖象.請(qǐng)?jiān)u判五個(gè)函數(shù)模型哪個(gè)更符合要求？評(píng)價(jià)：模型一中①的結(jié)論是，在不增加設(shè)備和工人的條件下，產(chǎn)量會(huì)每月提升0.1萬(wàn)元，即1000臺(tái)，這是不太可能的.評(píng)價(jià)：模型二將x=4代入，計(jì)算出4月份的產(chǎn)量為1.3萬(wàn)臺(tái)，比實(shí)際產(chǎn)量少700臺(tái)；

而且由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，產(chǎn)量自4月份開始將每月下降，這顯然是不符合實(shí)際情況.評(píng)價(jià)：模型三將x=3及x=4代入函數(shù)解析式，分別得到y(tǒng)≈1.35及y=1.48，與實(shí)際產(chǎn)量差距較大.評(píng)價(jià)：模型四將x=4代入函數(shù)解析式，y=1.35，與第4個(gè)月的產(chǎn)量比較接近.評(píng)價(jià)：模型五將x=2及x=3代入函數(shù)解析式，分別得到y(tǒng)≈1.185及y≈1.293，與實(shí)際產(chǎn)量非常接近.上述例子中我們可以看到，不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，增長(zhǎng)變化存在很大差異.比較五個(gè)模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實(shí)際情形，比如增產(chǎn)的趨勢(shì)和可能性.所以在通過(guò)函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，不應(yīng)把方法簡(jiǎn)單地用“對(duì)”和“錯(cuò)”來(lái)區(qū)分，而是要看“合理”還是“不合理”，“優(yōu)”還是“更優(yōu)”.

例3在選擇冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)模型時(shí)，為什么要選擇

的形式？

探究一分析：相比于標(biāo)準(zhǔn)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)而言，題中所給的形式增加了系數(shù)和常數(shù)的介入，是便于對(duì)模型作微調(diào)，參數(shù)越多，就越能夠調(diào)控函數(shù)模型，但是參數(shù)太多也不行，因?yàn)橐阎臄?shù)據(jù)量如果不夠，就不能求出引入的所有參數(shù)，也就無(wú)法建立有效的模型.

是基于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)生成的比較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，如果實(shí)際問題比較復(fù)雜，還需要建立更復(fù)雜的函數(shù)模型.除了教科書中選擇的五個(gè)函數(shù)，是否還可以用其他的函數(shù)進(jìn)行擬合？

探究二分析：只要能夠較好的擬合函數(shù)走勢(shì)的函數(shù)都是可以的，如三次函數(shù)等.探究：用函數(shù)建立模型解決實(shí)際問題的基本步驟是怎樣的？環(huán)節(jié)二

抽象概括，形成規(guī)則

實(shí)際問題①轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)模型②定性定量求解數(shù)學(xué)結(jié)論實(shí)際問題的解③回歸實(shí)際問題1.從國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站可以了解到中國(guó)居民2014—2017年手機(jī)上網(wǎng)人數(shù)（如下表所示）：

環(huán)節(jié)三

課后練習(xí)，應(yīng)用遷移必做題：年份2014201520162017手機(jī)上網(wǎng)人數(shù)/億人5.576.26.957.53（1）描點(diǎn)畫出手機(jī)上網(wǎng)人數(shù)隨年份變化的大致圖象；（2）試選擇合適的函數(shù)類型建立數(shù)學(xué)模型，刻畫手機(jī)上網(wǎng)人數(shù)隨年份變化的規(guī)律，并預(yù)測(cè)2018年中國(guó)居民手機(jī)上網(wǎng)人數(shù)．2.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元；

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．環(huán)節(jié)三

課后練習(xí)，應(yīng)用遷移必做題：選做題：1.某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(萬(wàn)元)隨銷