《測量誤差與數(shù)據(jù)處理》不等精度測量—1.單位權的概念和加權算術平均值的標準差在一般測量實踐中，基本上都是等精度測量。但在科學實驗或高精度測量中，為了提高測量的可靠性和測量精度，往往在不同的測量條件下，用不用的儀器、不同的測量方法、不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這種測量稱為不等精度測量。導語單位權的概念01CONTENTS目錄加權算術平均值的標準差02不等精度測量的特點03不等精度測量的應用領域04單位權的概念PART01一、單位權的概念

式中σ為等精度單次測量值的標準差。具有同一方差σ2的等精度單次測量值的權數(shù)為1。若已知σ2

，只要確定各組的權pi，就可求出各組的方差。等于1的權為單位權，σ2為具有單位權的測得值方差，σ為具有單位權的測得值標準差。

一、單位權的概念在不等精度測量中，各個測量結果的精度不等，權數(shù)也不相同，不能應用等精度測量的計算公式。有時為了計算需要，可將不等精度測量列轉化為等精度測量列，這樣就可用等精度測量的計算公式來處理不等精度測量結果。所采用的方法是使權數(shù)不同的不等精度測量列轉化為具有單位權的等精度測量列，即所謂的單位權化。單位權化的實質是使任何一個量值乘以自身權數(shù)的平方根，得到新的量值權數(shù)為1。若將不等精度測量的各組測量結果皆乘以自身權數(shù)的平方根，此時得到的新值

z

的權數(shù)就為1。

加權算術平均值的標準差PART02二、加權算術平均值的標準差

對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結果為：，若已知單位權測得值的標準差σ。

當各組測得的總權數(shù)為已知時，可由任一組的標準差和相應的權pi，或者由單位權的標準差σ求得加權算術平均值的標準差。

經(jīng)推導可得：二、加權算術平均值的標準差經(jīng)推導可得：當各組測量結果的標準差為未知時，則必須由各測量結果的殘余誤差來計算加權算術平均值的標準差。已知各組測量結果的殘余誤差為：

由各組測量結果的殘余誤差求得加權算術平均值的標準差，只有組數(shù)m足夠多時，才能得到較為精確的。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計值。

二、加權算術平均值的標準差

工作基準米尺在連續(xù)三天內與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm（三次測量的），999.9416mm（兩次測量的），999.9419mm（五次測量的），求加權算術平均值的標準差。【例題】解:

由加權算術平均值，可得各組測量結果的殘余誤差為：

又已知m=3，p1=3，p2=2，p3=5

二、加權算術平均值的標準差

根據(jù)下面兩組等精度測量放大器增益的數(shù)據(jù)，求增益的最佳估計值及其標準差。第1組數(shù)據(jù)（n1=6）：19.43，19.41，19.40，19.42，19.44，19.40。第2組數(shù)據(jù)（n2=8）：19.39，19.38，19.42，19.36，19.40，19.42，19.43?！纠}】解:先分別計算兩組數(shù)據(jù)的算術平均值及其標準差。

第2組：

第1組：二、加權算術平均值的標準差

所以加權算術平均值為：加權算術平均值的標準差為：

不等精度測量的特點PART03三、不等精度測量的特點優(yōu)點適應性強提高測量精度反映真實情況綜合信息豐富缺點處理復雜主觀性較強對測量條件要求高時間成本較高不等精度測量的應用領域PART04四、不等精度測量的應用領域不等精度測量廣泛應用于需要高精度、高可靠性的測量領域，如工程測量：在橋梁施工、地鐵建設等工程中，通過不等精度測量技術精確控制施工過程中的各項參數(shù)，確保工程質量?？茖W研究：在物理學、化學、生物學等科學研究中，為了得到準確的實驗結果，常常需要在不同的實驗條件下進行不等精度測量。氣象觀測：氣象觀測中需要收集大量的氣象數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)往往來自不同的觀測站點和觀測儀器，因此需要進行不等精度測量以評估數(shù)據(jù)的可靠性和精度。小結01.單位權的概念02.加權算術平均值的標準差《測量誤差與數(shù)據(jù)處理》不等精度測量——2.權的概念、權的確定方法和加權算術平均值在一般測量實踐中，基本上都是等精度測量。

但在科學實驗或高精度測量中，為了提高測量的可靠性和測量精度，往往在不同的測量條件下，用不用的儀器、不同的測量方法、不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這種測量稱為不等精度測量。權的概念01CONTENTS目錄權的確定方法02加權算術平均值03在測量工作中，常遇到的不等精度測量有三種情況：

1.用不同測量次數(shù)進行對比測量。例如用同一臺儀器測量某一參數(shù)，先后用n1次和n2次進行測量，分別求得算術平均值

和

。因為

，顯然

與

的精度不同。

2.用不同精度的儀器進行對比測量。例如對于高精度或重要的測量任務，為了得到極其準確的測量結果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進行測量。這是人為地改變測量條件而進行的不等精度測量。在測量工作中，常遇到的不等精度測量有三種情況：

3.對于某一個未知量，歷史上有許多人進行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結果。我們就需要將這些測量結果進行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準確的測量結果。這也是不等精度測量。權的概念PART01一、權的概念

在等精度測量中，各個測量值認為同等可靠，一般以測量值的算術平均值作為最后的測量結果。但在不等精度測量中，由于各個測量值的可靠程度不同，所賦予的信賴程度也不應該相同，因而不能簡單地取各測量值的算術平均值作為最后的測量結果，應讓可靠程度大的測量值在最后測量結果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。一、權的概念各測量值的可靠程度如果用數(shù)值來表示，這個數(shù)值稱為測量結果的“權”，記為p，可以理解為當它與另一些測量值進行比較時，權就是對該測量值所賦予的信賴程度。權的確定方法PART02二、權的確定方法測量結果的權說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權的大小。最簡單的方法是按測量的次數(shù)來確定權，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復測量次數(shù)越多，其可靠程度也越大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權的大小，即。pi=ni二、權的確定方法假定同一被測量有m組不等精度的測量結果，這m組測量結果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術平均值。因為單次測量精度皆相同，其標準差均為σ，則各組算術平均值的標準差為：每組測量結果的權與其相應的標準偏差平方成反比，若已知各組算術平均值的標準差，可得到相應權的大小。二、權的確定方法測量結果的權的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)，允許各組的權數(shù)同時增大或減小若干倍，而各組間的比例關系不變，但通常都將各組的權數(shù)予以約簡，使其中最小的權數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權。對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結果為【例題】解:二、權的確定方法求各測量結果的權。因此各組的權可取為

：

p1=16，

p2=1，

p3=4加權算術平均值PART03三、加權算術平均值若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結果為，設相應的測量次數(shù)為n1，n2，…，nm，加權算術平均值可用下式表示：

工作基準米尺在連續(xù)三天內與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm（三次測量的），999.9416mm（兩次測量的），999.9419mm（五次測量的），求最后測量結果?！纠}】解:三、加權算術平均值按測量次數(shù)來確定權：

p1=3，

p2=2，

p3=5，選x0=999.94mm，則有工作基準米尺在連續(xù)三天內與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm（三次測量的），999.9416mm（兩次測量的），999.9419mm（五次測量的），求最后測量結果?！纠}】解:三、加權算術平均值用A、B兩種儀器對5V穩(wěn)壓芯片的輸出電壓進行兩次測量，測量結果分別為5.005V（標準差為0.006V）、5.002V（標準差為0.008V），求該輸出電壓的最佳估計值。【例題】解:三、加權算術平均值用兩種儀器進行的兩次測量構成了不等精度測量列，兩次測量分別測得穩(wěn)壓芯片的輸出電壓為

UA=5.005V，σA=0.006V；UB=5.002V，σB=0.008V。