高中數(shù)學精選資源3/3《直線與圓錐曲線的位置關系》教學設計教學設計教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖復習引入1.介紹笛卡爾及直角坐標系.笛卡爾，法國著名的數(shù)學家，他對現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展做出了重要的貢獻，創(chuàng)立了笛卡爾坐標系，又稱為直角坐標系，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父.2.回顧直線與圓的位置關系.教師先介紹笛卡爾的事跡，然后提出問題引導學生回憶直線與圓的位置關系及判定方法.學生思考、得出答案：直線與圓有三種位置關系，分別是相離（沒有公共點）、相切（一個公共點）、相交（兩個公共點）；判定方法有兩種：代數(shù)法、幾何法.教師繼續(xù)提出問題：我們前面學習了最基礎的圓錐曲線，那么直線與圓錐曲線有什么樣的位置關系呢？又該如何判定直線與圓錐曲線的位置關系呢？學生繼續(xù)思考，部分學生能得到正確的結論.傳播數(shù)學文化，激起學生求知的欲望，由已有的知識類比遷移到新知識.應用舉例例1判斷直線與橢圓是否有公共點,如有,求出公共點的坐標,如公共點有兩個,求出以這兩個公共點為端點的線段長.解聯(lián)立直線與橢圓的方程,可得方程組解方程組可得或因此直線與橢圓有兩個公共點,且公共點的坐標為.從而可知所求線段長為.例2已知直線與橢圓,分別求直線與橢圓有兩個公共點、只有一個公共點和沒有公共點時的取值范圍.解聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程得方程組消去,整理得=1\*GB3①因為=1\*GB3①的判別式為，所以：當即時,方程=1\*GB3①有兩個不同的實數(shù)解,此時原方程組的實數(shù)解集中有兩個元素,直線與橢圓有兩個公共點；當即時,方程=1\*GB3①有兩個相等的實數(shù)解,此時原方程組的實數(shù)解集中只有一個元素,直線與橢圓有且只有一個公共點;當即或時,方程=1\*GB3①無實數(shù)解,此時原方程組的實數(shù)解集為空集,直線與橢圓沒有公共點.小結:當直線與橢圓有兩個公共點時,稱直線與橢圓相交;當直線與橢圓有且只有一個公共點時,稱直線與橢圓相切;當直線與橢圓沒有公共點時,稱直線與橢圓相離.例3判斷直線與雙曲線是否有公共點.如果有,求出公共點的坐標.解聯(lián)立直線與雙曲線的方程,可得方程組消去,可得,由此可解得.此時,.因此直線與雙曲線有一個公共點,且公共點的坐標為.概念:一般地,給定直線與圓雉曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線),如果聯(lián)立它們的方程并消去一個末知數(shù)后,得到的是一個一元二次方程且該方程只有一個實數(shù)解（即有兩個相等的實數(shù)解),則稱直線與圓雉曲線相切.例4已知點和拋物線,求過點且與拋物線相切的直線的方程.解當直線的斜率不存在時,由直線過點可知,直線就是軸,其方程為.由消去末知數(shù)得.這是一個一元二次方程且只有唯一的實數(shù)解,所以直線與拋物線相切.如果直線的斜率存在,則設直線的方程為.由方程組消去,整理得.為了使得這個方程是一元二次方程且只有一個實數(shù)解,必須有且，因此可解得.此時直線的方程為,即.綜上可知,直線的方程為或.概念:一般地,直線與圓錐曲線有兩個公共點時,則以這兩個公共點為端點的線段稱為圓錐曲線的一條弦,線段的長就是弦長.簡單地說,圓錐曲線的弦就是連接圓錐曲線上任意兩點所得的線段.例5已知直線與拋物線相交于兩點,且為坐標原點.（1）求弦長;（2）判?是否成立,并說明理由.解(1)設,則.因為都是直線上的點,所以第二式減去第一式可得,從而.又因為從方程組中消去,整理可得,而且,是該方程的兩個根,因此由韋達定理可知所以，因此,從而可知.（2）設,則.因此，將代人上式可得.又因為由可知,所以，所以不成立.教師出示例1，給出一些問題引導學生思考：（1）點在橢圓上、直線上的充要條件是什么？（2）怎樣判斷直線與橢圓是否有公共點？（3）如果直線與橢圓有公共點，應該怎樣求出公共點的坐標？學生思考以上三個問題，并嘗試獨立完成例1.教師對學生的答案進行評價，師生共同梳理解題思路：聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程，解此方程進而可得公共點的坐標、公共點間的距離.教師繼續(xù)出示例2，請學生分析解題思路，并進行板演.學生思考，得出直線與橢圓的公共點的個數(shù)與聯(lián)立兩者方程后得到的一元二次方程的根的個數(shù)之間的對應關系，嘗試寫出完整的解答過程學生嘗試求解、答題，教師適時進行指導，評析.類比直線與圓的位置關系，結合圖像，師生共同得出直線與橢圓相交、相切、相離三種位置關系.教師出示例3，請學生先獨立思考解答.學生通過聯(lián)立方程組得出正確答案.教師介紹直線與圓錐曲線相切的概念，并拋出問題：例3中僅有一個公共點，能說明直線與雙曲線相切嗎？學生思考，提出質疑.教師利用多媒體畫出例3中直線與雙曲線的圖像，給學生直觀答案：直線與雙曲線不相切！教師繼續(xù)拋出問題：直線與雙曲線僅有一個公共點和直線與雙曲線相切是什么樣的關系呢？學生交流、討論得出答案：直線與雙曲線、直線與拋物線只有一個公共點是直線與它們相切的必要不充分條件，而直線與圓、直線與橢圓只有一個公共點是直線與它們相切的充要條件.教師出示例4，先請學生分析解題思路，引導學生進行數(shù)形結合教師強調要畫草圖、要考慮直線斜率是否存在等事項，并出示例4的參考答案.教師介紹弦長的概念，學生理解.教師出示例5,并請名學生表述自己對例5的分析過程,其他學生補充.教師板演例5解答過程,并引導學生進行對比,優(yōu)化解答過程.學生思考、對比,體會求弦長的思路及“設而不求”法.在完成解答后教師引導學生嘗試另一種解答方法,先求出與的坐標,然后再求弦長,并驗證垂直是否成立.另解如下:聯(lián)立直線與拋物線的方程,可得方程組消去,整理得,解得,此時..（1）（2）,不成立.最后教師引導學生體會兩種解法的區(qū)別.學生動手，培養(yǎng)學生的直觀想象和數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).歸納小結，得出直線與橢圓的位置關系的概念，發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng).通過例題的解答，使學生體會數(shù)形結合思想，感受分類討論的方法，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).通過兩種不同的求弦長的方法，讓學生體會“設而不求”在計算方面的簡潔性，且不易出現(xiàn)計算方面的錯誤問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，歸納小結1.直線與圓錐曲線的位置關系的判定方法.2.直線與圓錐曲線有一個公共點與相切的關系.3.弦長的概念及求法.教師引導學生分組回答，小組評價.鍛煉學生歸納總結的能力.布置作業(yè)教材第164頁練習2-8A第1，3，4題.學生課后獨立完成.鞏固本節(jié)所學內容.板書設計2.8直線與圓錐曲線的位置關系1.直線與橢圓的位置關系當直線與橢圓有兩個公共點時，稱直線與橢圓相交；當直線與橢圓有且只有一個公共點時，稱直線與橢圓相切；當直線與橢圓沒有公共點時，稱直線與橢圓相離2.直線與圓錐曲線相切一般地,給定直線與圓雉曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線),如果聯(lián)立它們的方程并消去一個末知數(shù)后,得到的是一個一元二次方程且該方程只有一個實數(shù)解（即有兩個相等的實數(shù)解),則稱直線與圓雉曲線相切.3.弦