動(dòng)態(tài)規(guī)劃類算法動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法是一種解決優(yōu)化問題的方法，它將問題分解成子問題，并利用子問題的解來構(gòu)建最終解。什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃核心思想將復(fù)雜問題分解成更小的子問題，并存儲(chǔ)子問題的解，以避免重復(fù)計(jì)算。優(yōu)化策略通過記錄已解決子問題的解，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效地避免重復(fù)計(jì)算，提高算法效率。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想將復(fù)雜問題分解為子問題存儲(chǔ)子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算自底向上，逐步構(gòu)建最優(yōu)解動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的特點(diǎn)1最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解可以由子問題的最優(yōu)解組合而成。2重疊子問題在求解過程中，會(huì)多次遇到相同的子問題。3無后效性子問題的解一旦確定，就不會(huì)再改變。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟定義狀態(tài)確定問題的子問題，并定義一個(gè)狀態(tài)變量來表示子問題的結(jié)果。例如，在計(jì)算斐波那契數(shù)列中，狀態(tài)變量可以表示第n個(gè)斐波那契數(shù)。確定初始狀態(tài)確定一些最基本子問題的解，并將其作為初始狀態(tài)值。例如，在斐波那契數(shù)列中，f(0)=0,f(1)=1。建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程找出當(dāng)前狀態(tài)的值如何由之前的狀態(tài)計(jì)算得出。例如，在斐波那契數(shù)列中，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。計(jì)算最終結(jié)果根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程遞歸地計(jì)算所有狀態(tài)的值，最終得到問題的解。如何建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程定義子問題首先要確定問題的子問題，即狀態(tài)。尋找遞推關(guān)系找到當(dāng)前子問題的解與之前子問題的解之間的關(guān)系。建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程將遞推關(guān)系用數(shù)學(xué)公式表示出來，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度O(N)線性復(fù)雜度例如，斐波那契數(shù)列的動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)。O(N^2)平方復(fù)雜度例如，最長公共子序列的動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)。O(N*M)二維復(fù)雜度例如，01背包問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本模型斐波那契數(shù)列計(jì)算第n個(gè)斐波那契數(shù)，經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。湊零錢問題給定不同面額的硬幣和一個(gè)總金額，求最少硬幣數(shù)量的組合。最長公共子序列找出兩個(gè)字符串的最長公共子序列。01背包問題給定容量為W的背包和n個(gè)物品，每個(gè)物品有重量和價(jià)值，求背包所能裝的最大價(jià)值。斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。它定義為：F(0)=0，F(xiàn)(1)=1，F(xiàn)(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路是：利用之前計(jì)算過的結(jié)果來加速當(dāng)前狀態(tài)的計(jì)算，避免重復(fù)計(jì)算。湊零錢問題假設(shè)你有一個(gè)裝滿了硬幣的錢包，每種硬幣都有無限個(gè)。你想要找到用這些硬幣湊成特定金額的最少硬幣數(shù)量。例如，如果你需要湊出11美元，并且你的錢包里有1美元、2美元、5美元和10美元的硬幣，那么最少需要用3枚硬幣來湊成11美元（一枚10美元硬幣和一枚1美元硬幣）。最長公共子序列定義一個(gè)序列S的子序列是指從S中刪除若干個(gè)字符后剩余的字符序列，例如，"ABCBDAB"的子序列有"ABAD","BCDA"等，而"ACBD"不是子序列。給定兩個(gè)字符串X和Y，求解X和Y的最長公共子序列(LongestCommonSubsequence,LCS)，即長度最大的公共子序列。應(yīng)用LCS問題廣泛應(yīng)用于生物信息學(xué)、文本編輯、軟件工程等領(lǐng)域。例如，在DNA序列比對中，LCS可以用來識(shí)別兩個(gè)DNA序列的相似性。01背包問題給定一個(gè)容量為W的背包，和N個(gè)物品。每個(gè)物品有兩個(gè)屬性：價(jià)值Vi和重量Wi。問如何選擇物品放入背包，使得背包中物品的總價(jià)值最大。01背包問題要求對于每個(gè)物品，只有兩種選擇：選或者不選，不能選擇部分物品。完全背包問題完全背包問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中一個(gè)經(jīng)典問題，它允許物品可以無限次地被放入背包中。給定一個(gè)容量為W的背包和n個(gè)物品，每個(gè)物品都有重量wi和價(jià)值vi，求解如何選擇物品放入背包中，使得背包中物品的總價(jià)值最大。最長遞增子序列最長遞增子序列問題是指在一個(gè)序列中找到最長的遞增子序列。例如，序列{1,3,2,4,5}的最長遞增子序列為{1,2,4,5}。該問題可以采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想來解決，將最長遞增子序列問題分解成子問題，然后使用子問題的解來解決原問題。最短路徑問題導(dǎo)航應(yīng)用程序從起點(diǎn)到終點(diǎn)找到最佳路線。網(wǎng)絡(luò)路由在網(wǎng)絡(luò)中找到數(shù)據(jù)包傳輸?shù)淖疃搪窂?。編輯距離問題編輯距離，又稱為萊文斯坦距離，用于衡量兩個(gè)字符串之間的差異程度。它指的是將一個(gè)字符串轉(zhuǎn)換為另一個(gè)字符串所需的最少編輯操作次數(shù)，包括插入、刪除和替換。狀態(tài)壓縮動(dòng)態(tài)規(guī)劃將狀態(tài)信息壓縮成一個(gè)整數(shù)表示，用于存儲(chǔ)狀態(tài)信息。利用位運(yùn)算進(jìn)行狀態(tài)壓縮，提高算法效率。常用于解決一些與集合相關(guān)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。樹形動(dòng)態(tài)規(guī)劃樹形結(jié)構(gòu)樹形動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于解決樹形結(jié)構(gòu)上的問題，通常需要對每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行遍歷和計(jì)算。狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常依賴于子節(jié)點(diǎn)的信息，通過自底向上或自頂向下的方式進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算。區(qū)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃定義區(qū)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃通常用于解決與區(qū)間相關(guān)的優(yōu)化問題，例如求解最優(yōu)區(qū)間劃分、最長公共子序列等問題。這種方法通過將整個(gè)區(qū)間劃分為多個(gè)子區(qū)間，遞歸地求解子區(qū)間的最優(yōu)解，最終合并得到全局最優(yōu)解。特點(diǎn)區(qū)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃通常使用一個(gè)二維數(shù)組dp[i][j]來存儲(chǔ)從i到j(luò)區(qū)間的最優(yōu)解，其中i和j分別代表區(qū)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常是根據(jù)子區(qū)間的最優(yōu)解遞歸定義的。應(yīng)用區(qū)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如字符串處理、序列比對、圖像處理等。例如，最長公共子序列問題，可以通過區(qū)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法高效地求解。位運(yùn)算優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃1狀態(tài)壓縮將集合或狀態(tài)表示成二進(jìn)制數(shù)，用位運(yùn)算進(jìn)行狀態(tài)的枚舉和轉(zhuǎn)移。2效率提升位運(yùn)算比傳統(tǒng)的循環(huán)枚舉更高效，可大幅減少代碼量，提高算法速度。3適用場景適用于狀態(tài)空間較小，且狀態(tài)之間存在相互依賴關(guān)系的問題。多重背包問題每個(gè)物品有多個(gè)，例如3個(gè)蘋果，2個(gè)梨。需要考慮每個(gè)物品的數(shù)量限制，并尋找最優(yōu)的裝包方案?？梢杂脛?dòng)態(tài)規(guī)劃解決，需要將物品數(shù)量作為狀態(tài)的一維。字符串動(dòng)態(tài)規(guī)劃子串匹配例如，判斷字符串s是否包含字符串t。最長公共子串例如，求兩個(gè)字符串的最長公共子串。編輯距離例如，求兩個(gè)字符串之間的編輯距離。數(shù)位動(dòng)態(tài)規(guī)劃1數(shù)字范圍限制適用于統(tǒng)計(jì)滿足特定條件的數(shù)字個(gè)數(shù)，例如在給定范圍內(nèi)，統(tǒng)計(jì)所有包含特定數(shù)字的數(shù)字的個(gè)數(shù)。2狀態(tài)定義與轉(zhuǎn)移通常使用dp[i][j]表示從高位到第i位，且當(dāng)前位數(shù)字為j的所有數(shù)字的個(gè)數(shù)。3邊界條件處理需要根據(jù)具體問題設(shè)置邊界條件，例如第一個(gè)數(shù)字是否可以為0，是否允許前導(dǎo)零等。概率動(dòng)態(tài)規(guī)劃概率轉(zhuǎn)移概率動(dòng)態(tài)規(guī)劃基于概率轉(zhuǎn)移，將問題分解為多個(gè)子問題，每個(gè)子問題都有不同的概率。期望值通過計(jì)算每個(gè)子問題的期望值，最終得到整個(gè)問題的期望值。應(yīng)用場景概率動(dòng)態(tài)規(guī)劃廣泛應(yīng)用于金融、游戲、生物信息學(xué)等領(lǐng)域。股票買賣問題最佳買賣時(shí)機(jī)在給定的時(shí)間范圍內(nèi)，找到買入和賣出股票的最佳時(shí)機(jī)，以最大化利潤。交易次數(shù)限制可能限制交易次數(shù)，例如只能進(jìn)行一次交易或最多兩次交易。冷凍期在賣出股票后，可能需要等待一定時(shí)間才能再次買入。子集背包問題子集選擇從所有物品中選擇一個(gè)子集，使總價(jià)值最大。容量限制子集的總重量不能超過背包的容量。動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，枚舉所有子集，找到最優(yōu)解。泰波那契數(shù)列泰波那契數(shù)列類似于斐波那契數(shù)列，但它以三個(gè)初始值開始，每個(gè)后續(xù)數(shù)字是前三個(gè)數(shù)字之和。例如，泰波那契數(shù)列的前幾個(gè)項(xiàng)是：0、1、1、2、4、7、13、24、44、81。數(shù)塔問題描述一個(gè)數(shù)字金字塔，從塔頂開始，每次可以向下移動(dòng)到下一層的相鄰位置，求從塔頂?shù)剿椎穆窂降淖畲髷?shù)字和。思路從塔底向上遞推，每個(gè)位置的數(shù)字和等于其下面兩個(gè)位置的最大數(shù)字和加上當(dāng)前位置的值，最終得到塔頂位置的最大數(shù)字和。最小生成樹問題最小生成樹(MST)問題是在一個(gè)帶權(quán)無向圖中尋找一棵包含所有頂點(diǎn)的生成樹，且樹的總權(quán)重最小。常用的算法有Kruskal算法和Prim算法。Kruskal算法基于貪心策略，每次選擇權(quán)重最小的邊，并加入到生成樹中，直到所有頂點(diǎn)都被連接。Prim算法從一個(gè)頂點(diǎn)開始，每次選擇權(quán)重最小的邊，并連接到生成樹中，直到所有頂點(diǎn)都被連接。單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程需要用到之前若干個(gè)狀態(tài)的值時(shí)，可以使用單調(diào)隊(duì)列來優(yōu)化。時(shí)間復(fù)雜度通過維護(hù)一個(gè)單調(diào)隊(duì)列，可以將狀態(tài)轉(zhuǎn)移