2024-2025學(xué)年廣東省中山市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量滿(mǎn)足，則D．相等向量其方向必相同2．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．3．直線和直線，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知直線l的方向向量為，點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)到直線l的距離為（

）A． B． C． D．5．設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開(kāi)賽，被網(wǎng)友稱(chēng)為“村BA”.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．7．已知直線，若無(wú)論取何值，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知直線與，過(guò)點(diǎn)的直線被截得的線段恰好被點(diǎn)平分，則這三條直線圍成的三角形面積為（

）A． B． C．8 D．二、多選題9．下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列是同一個(gè)數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C．在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是D．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的通項(xiàng)公式為10．如圖，在三棱柱中，M，N分別是線段上的點(diǎn)，且．設(shè)，且均為單位向量，若，則下列說(shuō)法中正確的是（

）

A．與的夾角為 B．C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．若動(dòng)點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，則（

）A．的最小值為0B．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為C．當(dāng)?shù)闹匦脑谳S上時(shí)，的面積為D．當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為三、填空題12．已知過(guò)點(diǎn)和的直線與斜率為的直線平行，則的值為．13．若圓與圓只有唯一的公共點(diǎn)，則.14．已知四棱柱的底面為菱形，底面，，，，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在四棱柱的表面，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.四、解答題15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求n的值；（2）求出的通項(xiàng)公式.16．已知圓．(1)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與圓相切,求直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上,為線段的中點(diǎn),求的軌跡的長(zhǎng)度．17．如圖所示，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，與平面所成角為60°.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)M在線段上，且,平面，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).18．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，該橢圓上的點(diǎn)與左焦點(diǎn)間的距離的最大值為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，射線與橢圓C交于點(diǎn)N，且，記的面積分別為，求的取值范圍.19．已知平面上的線段及點(diǎn)，任取上一點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為點(diǎn)到線段的距離，記作.（1）求點(diǎn)到線段的距離；（2）設(shè)是長(zhǎng)為的線段，求點(diǎn)的集合所表示的圖形的面積為多少？（3）求到兩條線段、距離相等的點(diǎn)的集合，并在直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的軌跡.其中，，，，，.答案：題號(hào)12345678910答案DABDBADABCDBD題號(hào)11答案AC12．13．或14．15．（1）或；（2）【詳解】解：（1），因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，取最小值，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，所以16．(1)x=?1或(2)【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,點(diǎn)在圓外,故過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),圓心到直線的距離直線與圓C相切.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線,即圓心C到直線的距離,由題意,解得,此時(shí),即,終上所述,直線的方程為x=?1或.（2）設(shè)因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),所以,點(diǎn)E在圓C上,即，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,的軌跡的長(zhǎng)度為.17．(1)證明見(jiàn)解析(2).(3)【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫制矫?所以.因?yàn)槭钦叫?，所以，，DE，AC都在平面，從而平面.（2）因?yàn)槭钦叫?，所?又平面，DA，DC都在平面內(nèi)，所以所以，，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)榕c平面所成角為，即，所以.由，得,所以，又，.則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則.因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量?所以.所以所求角的余弦值為.（3）點(diǎn)M是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).則.因?yàn)槠矫?，所以，即，解?此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，即當(dāng)時(shí)，平面.18．(1)(2).【詳解】（1）由題意，又，橢圓C的方程為.（2）為線段的中點(diǎn)，，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由及橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)所在直線的方程為，得，則；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，如下圖所示：由，消去y，得，，即，，，，，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)，成立，線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，射線所在直線方程為，與橢圓聯(lián)立，消去y得，，，，綜上，的取值范圍為.方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，，因此，當(dāng)時(shí)，；（2）由題意，設(shè)的端點(diǎn)為，以所在直線為軸，以垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)