第一章=[T+j+k)

(2)體心立方(body-centeredcubic,bcc):原胞基矢

每個(gè)晶胞有2個(gè)等效格點(diǎn)。常見(jiàn)金屬：堿金屬晶體，過(guò)渡金屬晶體，Cr,M。,W.

體心立方原胞體積為：ai(aixm)=a3/2

%=/+/一〃)

最近鄰原子數(shù)：8個(gè)

(3)面心立方(face-centeredcubic,fee)原胞基矢6=](/+〃)

每個(gè)晶胞有4個(gè)等效格點(diǎn)。常見(jiàn)金屬：貴金屬Cu、Ag、Au、Al、Ni、Pb等。

面心立方原胞體積為：ai-(52x33)=a3/4

(=-(/+A)

最近鄰原子數(shù)：12個(gè)i2

7大晶系,14種布拉菲格子，32種宏觀對(duì)稱(chēng)操作。

〃3=#+力

密積累配位數(shù)

配位數(shù)：一個(gè)原子四周最近鄰的粒子數(shù)。

致密度：晶胞中粒子所占的體積與晶胞體積之比。比值越大，積累越密。

粒子被看作為有肯定半徑的剛性小球。最近鄰的小球相互相切。兩球心間的距離等于兩最近鄰粒子間的距離。

1.同種粒子構(gòu)成的晶體

原子半徑相同，剛球半徑也相同.一般采納密積累。配位數(shù)為12、8。

2.不同粒子組成的晶體

(1)氯化鈉(CsCI)

Cs+離子半徑為r,Cl-離子半徑為R,則

r=0.73R配位數(shù)為8。

(2)氯化鈉(NaCI),Na+離子半徑為r,Cl-離子半徑為R,則

r=0.41R配位數(shù)為6.

晶列、晶面、密勒指數(shù)；

晶向：晶格可看成是在任意方向上由無(wú)窮多的平行直線組成的，全部的格點(diǎn)都落在這些直線上。每

一條這欄的直線稱(chēng)為晶格的一個(gè)晶列。晶列的方向稱(chēng)為晶格的晶向。

晶向的表示：晶向指數(shù)[hhh]:任取一個(gè)格點(diǎn)作為原點(diǎn)0。作晶胞基矢a、b、c,考慮某晶列上

的一個(gè)格點(diǎn)P,該格點(diǎn)的位矢為：llal+12a2+13a2且111213為三個(gè)互質(zhì)整數(shù),則該晶向指數(shù)為

[lihI3]8

晶面：晶格可在任意方向上分割成無(wú)窮多的平行平面組成，使得全部的格點(diǎn)都落在這些平面上。全

部相互平行的平面構(gòu)成一族，稱(chēng)為晶格的晶面。

晶面的表示：在晶胞基矢a、b、c下，一晶面與它們的截距分別為l'a、mbn'c

111,

—?—7?-7=/.ni.n

若有互質(zhì)整數(shù)I、m、n使/mn(Imn)稱(chēng)為晶體的密勒指數(shù)(Miller

indices).若某晶面指數(shù)為負(fù)數(shù)，則在此數(shù)上面加一橫杠。

若取原胞基矢,則互質(zhì)整數(shù)(hlh2h3)稱(chēng)為晶面指數(shù)。

=2:6:3

/-3加'=1〃三2

右圖晶面描述312晶面密勒指數(shù)為：(263)

倒格子

取原胞基矢al、a2、a3,定義三個(gè)新矢量bl、b2、b3,滿(mǎn)意：Qd為原胞的體積.

bl、b2、b3稱(chēng)為晶體的倒格子基矢。相對(duì)地，al、a2、a3稱(chēng)為晶體的正格子基矢。2九(。3X。])_27t

bl、b2、b3相互獨(dú)立，可構(gòu)成一新的矢星空間，稱(chēng)倒格子空間。

在倒格子空間中作矢量2n(axa)27r

Gh:b.=~l———2=—(?ixa,)

Gh=hlbl+h2b2+h3b3a}(?2x?3)Cd

當(dāng)取遍全部的整數(shù)hl、h2、h3后，得到的點(diǎn)陣稱(chēng)為倒格子點(diǎn)陣。bl、b2、b3構(gòu)成的平行

六面體稱(chēng)為倒格子原胞，其體積為Qr,

Qr=bl-(b2xb3).Gh稱(chēng)為倒格矢(ReciprocalLatticeVector)0

倒格子與正格子之間的關(guān)系

[2元i=j

%4=2吟={..tj=1.2,3

(1)基矢關(guān)系01*1

(2)格矢之間的關(guān)系凡0=2加1其中m為任意整數(shù)

c,但

(3)原抱之間的關(guān)系Cd

(4)倒格子矢量Gh與晶面面間距dh的關(guān)系

設(shè)Gh=hlbl+h2b2+h3b3,dh為晶面指數(shù)為(hlh2h3)的一族晶面間的面間距,

布里淵區(qū)

任取一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，作全部倒格矢Gh的垂直平分面，這些平分面之間圍成的區(qū)域稱(chēng)為

布里淵區(qū).包含有原點(diǎn)的區(qū)域稱(chēng)為第一布里淵區(qū)。

其次章

1.兩原子間的相互作用能、力表達(dá)與圖示表達(dá)。

最近鄰兩原子的距離為r,f(r)為兩者間的的相互作用力，u(r)為相應(yīng)的勢(shì)能，

f(r)=-^^u(r)=_；+2

&rr式中，a、b〉0,n>m>0。第一項(xiàng)為吸引能，

其次項(xiàng)為排斥能。

f(r)=_a嗎=0

當(dāng)晶體穩(wěn)定，達(dá)到平衡時(shí)，r=r0,這時(shí)有：°0cr|r'

gf(r)I=_c2u(r)I=0

臨界距離：在r=rm時(shí)有：5r憶一6r;"一

結(jié)合能Eb:肯定溫度為零時(shí)，N個(gè)原子組成晶體后的總能量E與這N個(gè)原子在自由狀態(tài)下

的總能量Ea之差：Eb=E-Ea

結(jié)合能表示了N個(gè)原子組成晶體時(shí)所向外釋放出的能量

計(jì)算出相鄰兩原子間的平衡距離r0及結(jié)合能：

Eb=U(rO)

2.晶體彈性性質(zhì)

(K=l)

(1)壓相系數(shù)K與體彈性模量KK

1必7、au

定義壓縮系數(shù)：VT由絕熱狀況下dU=-PdVU即為晶體內(nèi)相互作用能。

K=1=-V(—)T=v(￡2^)r

體彈性模量：又四員

(2)抗張強(qiáng)度

6f叫_62V「

晶體能所承受的最大張力。它應(yīng)等于原子間最大的吸引力。此時(shí)r=刖。6r’?6「

P.里

抗張強(qiáng)度5V(V=Vm)

2.晶體結(jié)合的基本類(lèi)型及特性

1.離子晶體：離子鍵(結(jié)合)：正負(fù)離子之間的靜電庫(kù)侖吸引力與電子間的庫(kù)侖排斥力共同作用下的結(jié)合力。

依靠離子鍵結(jié)合的晶體稱(chēng)為離子晶體。常見(jiàn)有NaCI晶體，CsCI晶體

咐=±(士汕3)

24k兩尊

兩離子間的相互作用能(2)離子晶體的總相互作用能

離子晶體特點(diǎn)：依靠靜電庫(kù)倫力結(jié)合，有較大的結(jié)合能，~800kJ/moL密積累。有較大的穩(wěn)定性。高熔點(diǎn)、高硬度，小膨

脹系數(shù)。電子定域，絕緣體?？梢?jiàn)區(qū)透亮,近紅外有特征汲取。

2.共價(jià)晶體：共價(jià)鍵：相鄰兩原子共有一對(duì)三旋相反的電子。由共價(jià)鍵結(jié)合的晶體稱(chēng)為共價(jià)晶體。一些分子依靠共價(jià)鍵結(jié)合，如H2

分子、有機(jī)分子等。

共價(jià)結(jié)合具有飽和性和方向性。：飽和性即一個(gè)原子只有有限的價(jià)鍵，方向性：價(jià)鍵只發(fā)生在某個(gè)方向上。

共價(jià)晶體特點(diǎn)：共有化一對(duì)電子,結(jié)合能較大,102-103kJ/mol0有較大的穩(wěn)定性。高熔點(diǎn)、高硬度，小膨脹系數(shù)，電子定域,絕緣

體和半導(dǎo)體。近紅外有特征汲取。

3.金屬晶體：正離子實(shí)與共有化的價(jià)電子間的庫(kù)侖吸引力以及正離子實(shí)之間、價(jià)電子之間的庫(kù)侖排斥力共同作用下的相互作用稱(chēng)為金

屬鍵或金屬結(jié)合。金屬鍵結(jié)合的晶體稱(chēng)為金屬晶體。金屬鍵沒(méi)有方向性。金屬晶體一般采納密積累結(jié)構(gòu)。金屬結(jié)合屬?gòu)?qiáng)結(jié)合，有較大

的穩(wěn)定性。堿金屬，過(guò)渡元素的晶體

特點(diǎn)：電子廣延。具有較好的導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性、展延性。對(duì)電磁波有劇烈汲取。

4.分子晶體:原子或分子的電偶極矩之間的吸引力與原子分子之

情性京子校性分子.也性分子口性分子

間電子云的排斥力共同作用下的相互作用。范德瓦爾斯分子力：

@@

色散力：兩惰性原子間的相互作用能。

誘導(dǎo)力：極性分子與其在非極性分子上誘導(dǎo)產(chǎn)生偶極矩。u嶗時(shí)凄化

彌散力：非極性分子之間瞬時(shí)偶極之間作用力。NH3,S02,HCI

以向偈國(guó)能

5.氫鍵晶體：通過(guò)氫原子結(jié)合在一起的晶體稱(chēng)為氫鍵晶體。

負(fù)電性大的原子與氫原子之間的相互作用。

色散力(倫敦力)靜電力法導(dǎo)力

對(duì)于0、F、N原子，其特點(diǎn)是獵取電子力量大,因此負(fù)電性大；

而H有矢去電子的傾向。

對(duì)存在0、F、N離子的分子簡(jiǎn)潔與H產(chǎn)生氫鍵結(jié)合，

氫鍵通式：X-H……Y式中x和丫代表F,。，N等電負(fù)性大、原子半徑較小的非金屬原子.X和丫可以是兩種相同的元素，

也可以是兩種不同的元素。

特點(diǎn)：分子鍵與氫鍵一不交換電子。是一種弱結(jié)合，具有方向性。

3.原子負(fù)電性

原子的電離能：原子失去一個(gè)電子而成為一個(gè)正離子所需的能量。(電離一個(gè)電子所需的能量)

原子的親和能：一個(gè)原子俘獲一個(gè)電子而成為一個(gè)負(fù)離子所釋放出的能量。(俘獲一個(gè)電子所釋放的能量)

原子的負(fù)電性=0.18x(電離能+親和能)

負(fù)電性與晶體結(jié)合類(lèi)型

1.堿金屬的負(fù)電性最低，價(jià)電子最簡(jiǎn)潔擺脫原子的束縛而形成共有化電子，所以構(gòu)成最典型的金屬晶體。

2.當(dāng)負(fù)電性增大時(shí)，原子束縛電子的力量增加，獵取電子的力量也增加，因而易形成共價(jià)結(jié)合，構(gòu)成共價(jià)晶體。

3.當(dāng)一類(lèi)原子的負(fù)電性較大，另一類(lèi)較小時(shí)，則一般地構(gòu)成離子晶體。

4.當(dāng)原子具有穩(wěn)定的閉殼層結(jié)構(gòu)時(shí)，電子不發(fā)生轉(zhuǎn)移，原子便依靠較弱的范德瓦爾斯力，形成分子晶體。

第三章

晶格振動(dòng)假設(shè)：L晶體中的粒子僅在平衡位置(晶格格點(diǎn))四周作微小的熱運(yùn)動(dòng)；2.這種形式的運(yùn)動(dòng)都可等效于三個(gè)方向上的直線振

動(dòng).

一維單原子鏈：有N個(gè)質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子鏈，相鄰兩原子的間距為a.a:一維晶體的晶格常數(shù)。

假定：1.振動(dòng)只發(fā)生在鏈的方向；2.振幅相同；3.頻率相同

2.簡(jiǎn)諧近似(HarmonicApproximation)與最近鄰近似(Nearest-NeighborApproximation)

晶體中的粒子都是在平衡位置四周作小運(yùn)動(dòng)，各粒子的位移相對(duì)晶格常數(shù)是小的，可忽視高階項(xiàng)，即作簡(jiǎn)諧近似。

-u

..m/J=iPitfiCUmfl)m=P(llz+U9T-2lla)

簡(jiǎn)諧近似后：du由最近鄰近似后：du

3.周期邊界條件：1r=4

(1).方程的解為格波解：Un

每個(gè)原子都圍繞各自的平衡位置作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

振幅A和頻率(，相同，位相不同。

q稱(chēng)為波矢(WaveVector).

相鄰兩原子的位相差為qa0

長(zhǎng)聲學(xué)波代表的是原胞質(zhì)心的振動(dòng)。

結(jié)論：波矢q的數(shù)目等于原胞數(shù)N。勻稱(chēng)分布在第一布里淵區(qū)內(nèi)的N個(gè)點(diǎn)。

一維雙原子鏈有兩支格波：一支聲學(xué)波，一支光學(xué)波。

晶體的犯立振動(dòng)模式數(shù)等于晶體的自由度飄

綜合結(jié)論：設(shè)晶體有N個(gè)原胞,每個(gè)原胞內(nèi)有P個(gè)不等價(jià)原子。

1.晶格版動(dòng)的波矢（q的取值數(shù)）數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)N.

2.獨(dú)立荒動(dòng)模式數(shù)（。曲取值數(shù)）等于晶體的自由度數(shù)3PNO

3.格波的支數(shù)等于原胞的自由度數(shù)（3P支）。

4.聲學(xué)波支數(shù)等于晶體的維數(shù)。對(duì)于三維晶體，有3支聲學(xué)波，其余均為光學(xué)波，共3P-3支。

例1：分析由N個(gè)原胞組成的鈉晶體的振動(dòng)格波。

例2:分析由N個(gè)原胞組成的氯化鈉、單晶硅晶體的振動(dòng)格波。

sL

1NNNQdV_______——

旦=&'=砌■=麗=西（2兀）22兀

倒格子‘空間”中波矢q的"密度"為：三維寸_二維一維______

聲子

晶格振動(dòng)的量子化能量力行稱(chēng)為第i個(gè)振動(dòng)模式下的聲子數(shù)。

聲子具有動(dòng)量的屬性：

振動(dòng)波矢q的方向代表了聲子的傳播方向，

力q稱(chēng)為聲子的準(zhǔn)動(dòng)量。它不是晶格的真實(shí)動(dòng)量。

聲子是一種準(zhǔn)粒子，不滿(mǎn)意粒子數(shù)守恒.

晶格熱運(yùn)動(dòng)表述為晶格聲子的產(chǎn)生及湮滅。熱能的傳導(dǎo)表述為聲子的集中.晶體熱平衡時(shí)，產(chǎn)生的聲子數(shù)與湮滅數(shù)達(dá)到相等。

熱平衡下平均聲子數(shù)：

_3PN]

豆=2（萬(wàn)+%）方%

平均振卻能：1=1?

模式密度：刎=處出嚶dn=“密度”x兩等頻值之間的長(zhǎng)度dq=

1

其中，模式密度一般可表示為：g⑹-PEI

NA

N=yi^a?）d3

約束條件：Vi

一維狀況

二維狀況

三維狀況

晶格熱容量。

固體熱容組成：工.晶格振動(dòng)貢獻(xiàn)2.電子運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)。除非溫度極低，電子熱容很小。

=

4~h^―En=七F-TT/充(#、：=3ZZ:1峋卜、(/q、)1_+方*Q^(_6

晶格總能量:右圖式子，其中e一1

比熱容一般表達(dá)式：

3Pr方Sj(q)

=SJgj?"%(q>-toj(q)

g(q)

方①j(q)

g(0)dco(q)

jj加：(q)

3P

=kBZjgj(s)d%(q

j

(eklT-1)2

???經(jīng)典狀況：設(shè)有N個(gè)原子構(gòu)成的晶體。晶體自由度(DegreeofFreedom)=3N;平均熱運(yùn)動(dòng)能量=3NkfT晶體熱容量：

3Nke

實(shí)際:高溫趨向常數(shù)，低溫趨向0

愛(ài)因斯坦模型:假設(shè)品格振動(dòng)頻率相同。

色

c、,=評(píng)］=3PNkB件_岫

0=

大ITJj2E~r~

則：(eF愛(ài)因斯坦特征溫度：kB

結(jié)論：在溫度較高的狀況下，即當(dāng)T?0E時(shí)，Cv。3PNkB與經(jīng)典狀況相同。而在低溫下,T?0E,這時(shí)有

C-3PNkB用e-T

即當(dāng)溫度趨于零時(shí)，熱容量也趨于零。這基本上與試驗(yàn)結(jié)果相符。

但試驗(yàn)上精確當(dāng)溫度趨于零時(shí)，熱容量是以T3的方式趨于零(稱(chēng)為T(mén)3定律)。這是由于在低溫時(shí)，聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)是主要的，

而愛(ài)因斯坦模型實(shí)際忽視了這一聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。

德拜(Debye)模型

假設(shè)：德拜將晶體看作為各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把格波看作為介質(zhì)中的彈性波。支為縱波，速度為c+;兩支偏振方向相互垂直的橫

波，速度為C//O為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，假定它們的都相等為c0依據(jù)彈性波理論頻率與速度和波矢間的關(guān)系為⑴=cq

/、dnVco2

g(CO)=——=----2-3co=N

模式密度：dco2TIC則由束縛條件o

方0方①nCO0nCO方

X=---------=----------------=-------n="3D

KBTkTcoTcoD

BDD德拜溫度

T，T4x

3Xe

Cv=9NkB(—)f上Jdx

%o(ex-1)2

化簡(jiǎn)得至J

當(dāng)—爭(zhēng).分子上ex.l分母上expl—x

T6D/T

32

9NkB(—)fxdx=3Nk

CvxB

與經(jīng)典全都。

Cv?9NkB(X)3fX%'dx二

x2

0(e-1)

%aoo

T

:生NkBocT3

5B

當(dāng)溫度T很低時(shí)，TND，與試驗(yàn)相符合。

第四章

方2方2

L絕熱近似。2M22M_V2+lyy_^+lyy__+

前提:一般地，m<<Ma,電子的速a2M—4兀％￡占2年管4%￡小耶

度及動(dòng)能遠(yuǎn)大于原子核的速度和動(dòng)

2

7e

能。其次項(xiàng)為0,第四項(xiàng)可認(rèn)為是常T①仇…，凡…)=E①。;…,J…)

數(shù)V0-記力

a

V。25盧.

247t￡08rRap

離子的波函數(shù)與電子的位置無(wú)關(guān)。

晶體波函數(shù)=電子波函數(shù)X離子實(shí)波函數(shù)

2.平均場(chǎng)近似、單電子近似：電子間的相互作用僅與

自身坐標(biāo)有關(guān)；

3,固體物理最基本的假定：晶體周期場(chǎng)假定

V(f)=Q(f)+u(r)

則

V('r+Rn)7=V'(r)7Rn是晶格平移矢量。

2

h2

[,V2+V(r)]W)=Ei|/(r)

經(jīng)上述近《以之后得到簡(jiǎn)化后的方程：2m

w(r)=u(r)e設(shè),

4.布洛赫定理：假如勢(shì)場(chǎng)V(r)是晶格格矢Rn的周期函數(shù)，則波函數(shù)方程的解必定滿(mǎn)意"k''

平移算符與哈密頓量有共同的本征函數(shù)，為叭r),

VKr)二e%i(r)

晶格中電子的波函數(shù)可表為“￡('+《！)—以(')

山⑺為晶格的周期函數(shù)。

22

%(，+/)『==u

k

可以得到在晶體中，各原胞內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的電子幾率相等。？？

5,波矢〃的物理意義:波矢k用于表征電子態(tài)，不同的k對(duì)應(yīng)不同的波函數(shù)和相應(yīng)的能量本征值.表征晶體電子布洛赫

波波的波矢.

方A是自由電子的動(dòng)量，但不是晶體中電子的動(dòng)量。不是布洛赫波的動(dòng)量本征值，但又具有動(dòng)量的量綱和屬性。稱(chēng)為晶體電子的準(zhǔn)

動(dòng)量。

(1)波矢的取值數(shù)目(=原胞數(shù)N)。N=NIN2N3

0)k在倒格子空間內(nèi)(布里淵區(qū))分布的狀況.

4

NJN2N3k.Rz=27rx整數(shù)

滿(mǎn)怠波矢k的取值在倒格子空間表示為一個(gè)“代表

點(diǎn)"。這些點(diǎn)的分布是勻稱(chēng)的。

三維二維一維io

〃的“分布密度”

6,能帶理論

能帶的一般求解：傅立葉級(jí)數(shù)法。

甲式，）=+＞（"+6）建9

波函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)綻開(kāi)1

V（r）=X\，（&）產(chǎn)"V（Gz）=ljV⑺/"dr

勢(shì)能傅里葉級(jí)數(shù)綻開(kāi)：Gv

代入簡(jiǎn)化的方程運(yùn)算可以得到：

力2

五(A+GAE⑸0卒％—

其次方程

det后-GJ-E⑹兒+V(G「q)=。

上述方程滿(mǎn)意

由此解出E與k的關(guān)系，即電子的能帶：

i

對(duì)每一個(gè)En（k）,通過(guò)式，有可解出一組ank（G）,E

即波函數(shù)、ynk（r）.能量本征值En（k）與n和k有關(guān)。

------------55（萬(wàn)E$(A)

對(duì)于每個(gè)給定的n,En（k）包含了不同的k圻對(duì)應(yīng)的E5---

不同的能級(jí)。

1.在這些能級(jí)中，相鄰的兩個(gè)能級(jí)間隔很小，幾乎是

E----------中4（"EK*)--------------里“⑴）

連續(xù)的（稱(chēng)為準(zhǔn)連續(xù)），形成一個(gè)能帶。4

2.在相鄰兩個(gè)能帶中（如第n個(gè)能帶和第n+1個(gè)

能帶）之間有可能不重疊，即相鄰兩個(gè)能帶之間消失匚-str)E(Ar)

33甲35（萬(wàn)

了能量禁戒區(qū)，稱(chēng)為禁帶。

TZTZ/右、

七2（廣）七2⑻

3.全部的En（k）稱(chēng)為晶體的能帶結(jié)構(gòu)。52，甲幼（力

P

7.能帶與波函數(shù)的性質(zhì)：七】%Cr)Ei(A)，,次（刀

E（k）=E（-k）原子中的電子能級(jí)和波函數(shù)晶體中的電子能級(jí)

tta（能帶）和波函數(shù)41

x.心*（,）=乂-?）定態(tài)方

h2

(V2+2i^V)+V(r)u=[E(k)-E°W]u,(r)0方V+2i方左

2mk

程：

EV+GmhE”⑹

2Vn/UGm（，）=Wn式，）

波函數(shù)與能量是倒格矢Gl的周期函數(shù).

相差］王意倒格矢的兩個(gè)狀態(tài)（波函數(shù)）描確是相同的狀態(tài)。

1.倒格子空間中（或〃空間中）相差一個(gè)或多個(gè)倒格矢的電子態(tài)表示的是同一電子態(tài)。

2.為了使〃與電子態(tài)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將倒格子空間分劃成不同的區(qū)域，并將片的

值限制在某個(gè)區(qū)域內(nèi)，在這個(gè)區(qū)域中，全部的波矢k—對(duì)應(yīng)與某個(gè)能帶上的電子

態(tài).

3.這個(gè)區(qū)域外的波矢可通過(guò)平移一個(gè)或多個(gè)倒格矢，使在區(qū)域中的一個(gè)等價(jià)波矢對(duì)應(yīng)

與其他相應(yīng)能帶的電子態(tài)。這樣的區(qū)域稱(chēng)為布里淵區(qū)。

4.用于代表全部電子態(tài)的波矢k,并包含有原點(diǎn)的區(qū)域，稱(chēng)為第一布里淵區(qū)。

…八(2兀)3

bx^b2xb3)=——

第一布里淵區(qū)體積為：V

k=K4+k?3+k3b3=U4+蜻％+

N1

N風(fēng)（在布里淵區(qū)則:

4,赳吟，得今%吟，/%與吟,

2

N=N1N2N3=晶體原胞數(shù)

K取值有

k的取值數(shù)等于晶體總的原胞數(shù)。

每個(gè)能帶中共有N不同的電子態(tài)，考慮到自旋，則共有2N個(gè)不同的電子態(tài)。

1)能帶的簡(jiǎn)約圖式

將k限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，各能帶都有相

應(yīng)的能量對(duì)應(yīng)，每個(gè)能帶都用第一布里淵區(qū)

中的k值表示。

(2)能帶的擴(kuò)展區(qū)圖式

按能量的大小，把各能帶分別限制在第一、

其次、第三等區(qū)域內(nèi)。

(3)能帶的重復(fù)圖式

將每個(gè)能帶在第一布里淵區(qū)的圖形作周期性

重復(fù)綻開(kāi)。

能及分布的特點(diǎn)：(1)k空間中能帶在布里淵區(qū)邊界附件外凸(畸變)；

(2)k空間中能帶在布里淵區(qū)邊界兩側(cè)不連續(xù)(突變)；

(3)等能面與布里淵區(qū)邊界正交。

由于：

8?由電子近似

模型特點(diǎn)：晶格對(duì)電子的影響除了個(gè)別地方(格點(diǎn)四周)外，其相互作用是較小的。

電子的行為在大部分區(qū)域都類(lèi)似于自由電子.

晶格周期勢(shì)對(duì)電子的作用是個(gè)小量，可以表示為微擾作用。

(1)k、k'距布里淵較遠(yuǎn)：

E±=E：±|Vn|=*出土1Vli|

(2)k、k在邊界上：a

AEn=2|Vn|AEn即為禁帶寬度Eig

能量產(chǎn)生突變：

IVlV(,)—V(G產(chǎn)

其中II即為Q中的'⑹)。

使用傅里葉反變換。

微擾結(jié)果：在k=(nn/a)處能量發(fā)生了突變。

突變的大小為2|Vn|,即為周期勢(shì)場(chǎng)中第n個(gè)傅立葉重量肯定值的2

倍。

這能量發(fā)生突變的區(qū)域稱(chēng)為能隙(或稱(chēng)禁帶).

原先連續(xù)的自由電子能量分布(能譜)分裂為被各能隙分開(kāi)的很多不

同的能帶。由于波矢k的取值是不連續(xù)的，所以各能帶是有密集分布

的很多能級(jí)構(gòu)成的。參見(jiàn)下圖。

例題：

V(x)m*b2_(x_na)2]na-b<x<na+b

0(n-l)a+b<x<na-b

(i)畫(huà)出勢(shì)能曲線，并求平均值。

(2)用近電子模型求第一，其次禁帶的寬度。

9緊束縛近似，物理思想

假如晶格中的電子受鄰近離子的相互作用較強(qiáng)，則它主要受到該離子的作用，電子基本上在這離子四周運(yùn)動(dòng)(受該離子的束縛)，而

其他離子產(chǎn)生的晶格場(chǎng)對(duì)該電子的作用較小，可看作為一個(gè)小的微擾作用。這樣的一種模型稱(chēng)為緊束縛近似。

由于電子在離子四周運(yùn)動(dòng)，作為零級(jí)近似，將它們看作為一原子系統(tǒng)，零級(jí)波函數(shù)為這一原子中的電子本征波函數(shù)

最近鄰近似下的能帶表達(dá)式和］計(jì)算

J(Pi*(r)AU(r)(Pi(r)dr=—p

v

P為晶體場(chǎng)積分'n為相互作用積分原子的能級(jí)￡i

求解過(guò)程

熟悉一維、二維情況。

畫(huà)出晶格格點(diǎn)一＞任取一點(diǎn)作為原點(diǎn)一

找出最近鄰，寫(xiě)出坐標(biāo)一＞寫(xiě)出各項(xiàng)。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

一＞化簡(jiǎn)，寫(xiě)出最后表達(dá)式E(k)函數(shù)

―作略圖表示

X

例3.二維正方格子的晶格常數(shù)為a,用緊秘近似求s態(tài)電子能譜E（k）（只計(jì)算最近鄰相互作用）、帶寬以及帶頂、帶底的有效質(zhì)量。

能帶與原子能級(jí)：

晶體中電子的能帶是由孤立原子的能級(jí)演化而來(lái)。

孤立原子中的每一能級(jí)，在結(jié)合為晶體的過(guò)程中，由于各個(gè)原子之間產(chǎn)生了相互作用，使得分裂為能帶。

原子間間距越小，相互作用就越大，能級(jí)分裂也就越寬。

每一能級(jí)演化為一個(gè)能帶；不同的能級(jí)分期能帶寬度各有不同；

相鄰的能帶可能回發(fā)生重疊。

對(duì)于s態(tài)電子，形成一個(gè)能帶。對(duì)于三重簡(jiǎn)并的p電子，形成3個(gè)交疊的能帶。而對(duì)于d電子,則由于是五重簡(jiǎn)并，因而形成5個(gè)交

疊的能帶。

10準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

一、晶體中電了的平均速度

有確定的能量；

沒(méi)有確定的動(dòng)量，或沒(méi)有確定的速度;

但有確定的速度取某肯定值的幾率;

或,有確定的平均速度。

v=v/+vy+vAr=

xyz1

1V=-VAE(ZT)

h

-d（軟）

外場(chǎng)與波矢的關(guān)系、準(zhǔn)動(dòng)量dt

倒有效質(zhì)量張量、有效質(zhì)量與能帶的關(guān)系。mn

切力?國(guó)偌異舛付：P'=一i為V+i力VInu

有效質(zhì)量與質(zhì)量區(qū)分：

有效質(zhì)量不同于性質(zhì)量.有效質(zhì)量包含了晶格場(chǎng)對(duì)電子的作用。

由于電子在晶格中不同的位置，受到的晶格場(chǎng)的方向與外力的方向不同，所以它與電子的方向有關(guān)，或者說(shuō)與電子的波矢k有關(guān)，也

因此它在一般的狀況下是個(gè)張量。

當(dāng)晶格場(chǎng)與外力的方向全都時(shí)，有效質(zhì)量是正的；

當(dāng)方向相反而大4而等時(shí)，它的值為無(wú)窮大；

當(dāng)方向相反時(shí)，并且晶格場(chǎng)大于外力時(shí),它具有負(fù)的值。

只有在自由空間中，有效質(zhì)量等于慣性質(zhì)量。這時(shí)，準(zhǔn)動(dòng)量也等于電子的真實(shí)動(dòng)量。

平均加速度m_____

由準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程，平均加速度與外力的關(guān)系，力中僅與外力有關(guān)，與晶格場(chǎng)無(wú)關(guān)。

晶格場(chǎng)是周期場(chǎng)，接近離子實(shí)的地方遠(yuǎn)大于外場(chǎng)，而在兩離子實(shí)之間可小于外場(chǎng)。

因此當(dāng)外場(chǎng)晶格場(chǎng)方向相同，大小相等或不等時(shí)m*>0

當(dāng)外場(chǎng)晶格場(chǎng)方向相反，大小相等時(shí)mx=0

當(dāng)外場(chǎng)晶格場(chǎng)方向相反，且晶格場(chǎng)大于外場(chǎng)時(shí)m*=8

11.滿(mǎn)帶電子在外電場(chǎng)作用下的導(dǎo)電性。

單電子近似下，每個(gè)價(jià)電子占據(jù)波矢為k的電子態(tài)的幾率相同；

在滿(mǎn)意泡利原理的要求下，電子從小到大依次占據(jù)各能級(jí)的電子態(tài)（波矢k）;

在熱平衡時(shí)，電子占據(jù)k態(tài)和-k態(tài)的幾率相等。

E(A)=E(—A)

由能帶理論，能量E是波矢k的偶函數(shù)，速度v是波矢k的奇函數(shù)

假如在同一能級(jí)上有一k態(tài)的電子和一?k態(tài)的電子，則由它們所貢獻(xiàn)的電流為零。

f二Y￡

當(dāng)給晶體施加一外電場(chǎng)后，晶體中的電子我IJ—電場(chǎng)力

dkes

電子的波矢k隨時(shí)間的變化為dth電子的波矢k隨時(shí)間的變化為常數(shù)。

在k空間(或倒格子空間)中，電子的狀態(tài)代表點(diǎn)都以相同的“速度"運(yùn)動(dòng)。

狀態(tài)的分布保持不變，只是將原先勻稱(chēng)分布的代表點(diǎn)作整體的平移。

I.滿(mǎn)帶狀況

在電場(chǎng)作用下，全部的波矢在k空間內(nèi)勻稱(chēng)地從一個(gè)狀態(tài)遷移到另一個(gè)狀態(tài)。某一個(gè)電子波矢可以越過(guò)布里淵區(qū)的邊界遷移到另一布

里淵區(qū)。

這相當(dāng)于移出的電子又從邊界的另一邊移入該布里淵區(qū)。整個(gè)的電子狀態(tài)的分布及對(duì)稱(chēng)性不變。

滿(mǎn)帶電子不導(dǎo)電。該能帶稱(chēng)為價(jià)帶

II.未滿(mǎn)帶狀況：

在這種狀況中，電子只占據(jù)了部份能級(jí)。在外電場(chǎng)作用下，電子的移動(dòng)轉(zhuǎn)變了原先的對(duì)稱(chēng)分布，使得在沿電場(chǎng)方向的電子數(shù)目與逆電

場(chǎng)方向的電子數(shù)目不相等，因而只能部份》無(wú)肖電子的電流，從而總的電流不為零。因此：未滿(mǎn)帶電子可以導(dǎo)電.相應(yīng)地該能帶也稱(chēng)之

為導(dǎo)帶。

12.固體導(dǎo)電性的能帶解釋

一個(gè)晶體是的導(dǎo)電性，取決于該晶體中電子在能帶中的分布狀況.

假如晶體中的能帶要么被電子全部占據(jù),要么沒(méi)有被電子全部占據(jù)(空帶)，而且相鄰的能帶沒(méi)有發(fā)生重疊，則該晶體是絕緣體；

假如晶體中的能帶只是被電子部分占據(jù)，則該晶體為導(dǎo)體。

由原子中內(nèi)殼層電子構(gòu)成的能帶都是滿(mǎn)帶，所以它們不導(dǎo)電；晶體的導(dǎo)電性?xún)H取決于由價(jià)電子能級(jí)綻開(kāi)的能帶的狀況。

由能帶理論知，若晶體有N個(gè)原胞，則每個(gè)能帶共有N個(gè)不同的波矢k,每個(gè)波矢k可允許2個(gè)自旋相反的電子。因此每個(gè)能帶可

容納2N個(gè)電子。

對(duì)于有N個(gè)原子組成的一價(jià)堿金屬(Li、Na、K、Cs等，價(jià)電子為ns電子)，由于它們采納的是體心立方或面心立方結(jié)構(gòu)，所以原

胞數(shù)等十原子數(shù)N。晶體共有N個(gè)價(jià)電子。

由ns能級(jí)演化成的能帶中的狀態(tài)只被這些電子占據(jù)了一半，這能帶是半滿(mǎn)的，因而這類(lèi)晶體是典型的金屬晶體。

對(duì)于二價(jià)堿土金屬(Ba、Ca、Mg、Zn等，價(jià)電子為ns2),雖然晶體共有2N個(gè)價(jià)電子，但由于它們的上下兩個(gè)ns和nd構(gòu)成的能

帶是重疊的，所以這兩個(gè)能帶都是部份填滿(mǎn)的(半滿(mǎn))，因此這些晶體仍舊是金屬晶體。

對(duì)于金剛石類(lèi)(C、Si、Ge等)的晶體，每個(gè)原胞有2個(gè)不等價(jià)的原子，每個(gè)原子共有4個(gè)價(jià)電子.

13空穴

在半導(dǎo)體一類(lèi)的晶體中，當(dāng)價(jià)帶中的一個(gè)電子被熱激發(fā)到上能帶上后，價(jià)帶中的電子數(shù)為2N-1個(gè)。

設(shè)被激發(fā)的電子的波矢為k,它的速度為v(k),其電流為-ev(k);其余2N-1個(gè)電子對(duì)外界的宏觀電流為I2N-1,在沒(méi)有外電場(chǎng)的狀

況下，晶體的總電流應(yīng)為零,即

+[YV(4)]=0即12NT二ev(左)

空穴的物理意義周旨：一個(gè)k狀態(tài)空看的能帶所產(chǎn)生的電流與一個(gè)帶正電荷e,以該狀態(tài)k、速度為v(k)運(yùn)動(dòng)著的粒子所產(chǎn)生的電流

或其他性質(zhì)相同.

空穴也是一種準(zhǔn)粒子。它也有相應(yīng)的有效質(zhì)量、動(dòng)量、能量等單粒子的物理屬性。

dv(k)_eE

dt%*(左)

空穴的有效質(zhì)量為mh*(k),在外場(chǎng)E作用下，它的運(yùn)動(dòng)方程為

m*(^)=-m*(Zr)

穴的有效質(zhì)量與電子的有效質(zhì)量符號(hào)相反，即he

14.能態(tài)密度

電子在能帶中的填充狀況，不僅是要知道其中的電子數(shù)目，更重要的是要了解電子在E

能帶中分布，即在每個(gè)能級(jí)上電子占據(jù)的狀況，準(zhǔn)確地說(shuō)是每個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)電子

可占據(jù)的狀態(tài)。

設(shè)某能級(jí)上有3(E)個(gè)狀態(tài)(不計(jì)自旋態(tài))，

帶頂

總狀態(tài)數(shù)=?>(E)=N(N為原胞數(shù))

E=帶底

這樣可表述為在某個(gè)能量值四周，單位能量間隔中有多少個(gè)狀態(tài)。這就是能態(tài)密度。

明顯，能態(tài)密度也是能量E的函數(shù)。

能帶的狀態(tài)密度gn(E)定義為

由于電子的能量E是k的函數(shù)。所以，在k空間中，E(k)=常數(shù)1是一個(gè)等能面。E

(k+dk)=E(k)+dE=常數(shù)2是另一個(gè)等能面。

=—^-yxdVk

（2兀）3

兩等能面間的狀態(tài)數(shù)dsn為

AVk=ldSdkJLa，為等能面上的面積元，du為兩等能面間的垂直距離

VVr

dc）=---xdV.=----xJdSdk,二

nnrkr1

（2兀）3（2兀）3

dEn

二—xfdS

（2兀）3|V,E