第一講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一y=ax2（a≠0）圖像與性質(zhì)..............................................................................................................3

考點(diǎn)二y=a(x-h)2+k（a≠0）的圖像與性質(zhì)................................................................................................5

考點(diǎn)三y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與性質(zhì)...............................................................................................13

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

1.yax2(a0)的圖像

函數(shù)yx2yx2yx2與y5x2

大致

圖像

開口

向上向下向上

方向

對(duì)稱軸x0（y軸）x0（y軸）x0（y軸）

當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小

增減性

當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

頂點(diǎn)（0，0）（0，0）（0，0）

最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0

【總結(jié)】：①a＞0，開口方向向上，有最小值；a＜0，開口方向向下，有最大值

②|a|越大，開口越小，函數(shù)值變化越快

2.ya(xh)2(a0)的圖像

函數(shù)y2x2與y2(x2)2y2x2與y2(x2)2y-2x2與y-2(x2)2

第1頁共17頁.

大致

圖像

開口

向上向上向下

方向

對(duì)稱軸x2x-2x-2

當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x＜-2時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x＜-2時(shí)，y隨x的增大而減大

增減性

當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨x的增大而增小

頂點(diǎn)（2，0）（-2，0）（-2，0）

最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0

【總結(jié)】：①函數(shù)的對(duì)稱軸為x=h

②仍滿足函數(shù)的平移規(guī)則：左加右減

3.ya(xh)2k(a0)的圖像

函數(shù)yx2與y（x-1）22yx2與y（x1）2-4y-x2與y（-x1）24

大致

圖像

開口

向上向上向上

方向

對(duì)稱軸x1x-1x-1

頂點(diǎn)（1，2）（-1，-4）（-1，4）

最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4

【總結(jié)】：①函數(shù)的對(duì)稱軸為x=h，最大值為k，頂點(diǎn)為（h，k）

第2頁共17頁.

②仍滿足函數(shù)的平移規(guī)則：左加右減，上加下減

4.yax2bxc(a0)的圖像

函數(shù)yx2-2x3yx22x-3y-x2-2x3

大致

圖像

開口

向上向上向下

方向

對(duì)稱軸x1x-1x-1

與y軸

（0，3）（0，-3）（0，3）

交點(diǎn)

頂點(diǎn)（1，2）（-1，-4）（-1，4）

最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4

將yx2-2x3轉(zhuǎn)化為ya(xh)2k的形式為：y(x1)22，那么將

yax2bxc(a0)轉(zhuǎn)化為ya(xh)2k（a0）的形式為：

222

b24acbb4acb

ya(x)（a0）即yax（--）（a0）

2a4a2a4a

【總結(jié)】：①a決定拋物線開口方向及大小

②c決定拋物線與y軸交點(diǎn)

b

③拋物線的對(duì)稱軸：x-

2a

b4acb2

④拋物線的頂點(diǎn)(-，)

2a4a

考點(diǎn)一y=ax2（a≠0）圖像與性質(zhì)

第3頁共17頁.

1．關(guān)于函數(shù)y＝3x2的性質(zhì)表述，正確的一項(xiàng)是（）

A．無論x為何實(shí)數(shù)，y的值總為正

B．當(dāng)x值增大時(shí)，y的值也增大

C．它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D．它的圖象在第一、三象限內(nèi)

【解答】解：∵y＝3x2，

∴函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，

∴函數(shù)圖象在第一、二象限內(nèi)，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，

故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．

故選：C．

2．拋物線y＝﹣2x2不具有的性質(zhì)是（）

A．對(duì)稱軸是y軸

B．開口向下

C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大

D．頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)

【解答】解：∵拋物線y＝﹣2x2，

∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝0，也就是y軸，故選項(xiàng)A不符合題意，

a＝﹣2，該函數(shù)圖象開口向下，故選項(xiàng)B不符合題意，

當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C不符合題意，

頂點(diǎn)式拋物線的最高點(diǎn)，故選項(xiàng)D符合題意，

故選：D．

3．拋物線y＝x2，y＝﹣2x2，y＝x2共有的性質(zhì)是（）

A．開口向下

B．頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)

C．都有最低點(diǎn)

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

【解答】解：拋物線y＝x2，開口向上，對(duì)稱軸y軸，有最低點(diǎn)，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨著x的增大

而減小，右側(cè)y隨著x的增大而增大；

拋物線y＝﹣2x2，開口向下，對(duì)稱軸y軸，有最高點(diǎn)，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨著x的增大而增大，右

第4頁共17頁.

側(cè)y隨著x的增大而減小；

拋物線y＝x2，開口向上，對(duì)稱軸y軸，有最低點(diǎn)，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨著x的增大而減小，右側(cè)

y隨著x的增大而增大．

故選：B．

11

4．如圖為yx2圖像，那么y-x2可能是如下（）圖

25

A．B．C．D．

11

【解答】解：開口方向向下，且|-|＜，所以開口越大，

52

故選：C．

考點(diǎn)二y=a(x-h)2+k（a≠0）的圖像與性質(zhì)

1．拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）

【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），

故選：B．

2．若二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣1的圖象如圖所示，則坐標(biāo)原點(diǎn)可能是（）

第5頁共17頁.

A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D

【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），

∴坐標(biāo)原點(diǎn)可能是點(diǎn)A，

故選：A．

3．關(guān)于二次函數(shù)y＝3（x+1）2﹣7的圖象及性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A．對(duì)稱軸是直線x＝1

B．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y取得最小值，且最小值為﹣7

C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，7）

D．當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大

【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣7，

∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣7），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；

∵開口向上，

∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y取得最小值，且最小值為﹣7，故選項(xiàng)B正確，符合題意；

當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y的值隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B．

4．頂點(diǎn)為（﹣2，1），且開口方向、形狀與函數(shù)y＝﹣2x2的圖象相同的拋物線是（）

A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1B．y＝2（x+2）2+1

C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x+2）2+1

【解答】解：根據(jù)題意得y＝﹣2（x+2）2+1．

故選：D．

5．對(duì)于任何實(shí)數(shù)h，拋物線y＝﹣x2與拋物線y＝﹣（x﹣h）2的相同點(diǎn)是（）

A．頂點(diǎn)相同B．對(duì)稱軸相同

C．形狀與開口方向相同D．都有最低點(diǎn)

【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2是由拋物線y＝﹣（x﹣h）2向右平移h個(gè)單位得到，

第6頁共17頁.

∴拋物線y＝﹣x2與拋物線y＝﹣（x﹣h）2的開口方向及形狀相同，

故選：C．

6．拋物線y＝（x﹣a）2+a﹣1的頂點(diǎn)一定不在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【解答】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，

∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a﹣1），

當(dāng)a﹣1＞0時(shí)，a＞0，此時(shí)頂點(diǎn)在第一象限，故選項(xiàng)A不符合題意；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)頂點(diǎn)在第四象限，故選項(xiàng)D不符合題意；

當(dāng)a＜0時(shí)，a﹣1＜0，此時(shí)頂點(diǎn)在第三象限，故選項(xiàng)C不符合題意；

故選：B．

7．一次函數(shù)y＝hx+k的圖象過一、三、四象限，則二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【解答】解：∵一次函數(shù)y＝hx+k的圖象過一、三、四象限，

∴h＞0，k＜0，

∵二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)為（h，k），

∴二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)在第四象限，

故選：D．

8．拋物線y＝x2+1的圖象大致是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：拋物線y＝x2+1的圖象開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．故選C．

9．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2（a≠0）的圖象可能是（）

第7頁共17頁.

A．B．

C．D．

【解答】解：二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，

故選：D．

10．已知函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k，其中a＜0，h＞0，k＜0，則下列圖象正確的是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，a＜0，

∴圖象開口向下，A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

∵對(duì)稱軸x＝h＞0，頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），k＜0，

∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．

故選：D．

11．已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象如圖所示，直線y＝ax+hk的圖象經(jīng)過第幾象限（）

A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，

y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，

第8頁共17頁.

∴直線y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，

∴直線y＝ax+hk經(jīng)過第二、三、四象限，

故選：D．

12．已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k為常數(shù)）在坐標(biāo)平面上的圖象通過（0，5）、（15，8）

兩點(diǎn)．若a＜0，0＜h＜10，則h之值可能為下列何值？（）

A．5B．6C．7D．8

【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝h，

而（0，5）、（15，8）兩點(diǎn)在拋物線上，

∴h﹣0＞15﹣h，解得h＞7.5．

故選：D．

13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ax+h與拋物線y＝a（x﹣h）2的圖象不可能是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：A、∵直線y＝ax+h經(jīng)過第一、二、四象限，

∴a＜0，h＞0，

∴拋物線y＝a（x﹣h）2開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝h在y軸的右側(cè)，頂點(diǎn)為（h，0），

∴該選項(xiàng)圖象符合題意；

B、直線y＝ax+h經(jīng)過第一、二、三象限，

∴a＞0，h＞0，

∴拋物線y＝a（x﹣h）2開口向上，稱軸為直線x＝h在y軸的右側(cè)，頂點(diǎn)為（h，0），

第9頁共17頁.

∴該選項(xiàng)圖象符合題意；

C、直線y＝ax+h經(jīng)過第一、二、三象限，

∴a＞0，h＞0，

∴拋物線y＝a（x﹣h）2開口向上，稱軸為直線x＝h在y軸的右側(cè)，頂點(diǎn)為（h，0），

∴該選項(xiàng)圖象不符合題意；

D、∵直線y＝ax+h經(jīng)過第一、三、四象限，

∴a＞0，h＜0，

∴拋物線y＝a（x﹣h）2開口向上，稱軸為直線x＝h在y軸的左側(cè)，頂點(diǎn)為（h，0），

∴該選項(xiàng)圖象符合題意；

故選：C．

14．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣kx+1與二次函數(shù)y＝x2+k的大致圖象可以是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：由y＝x2+k可知拋物線的開口向上，故B不合題意；

∵二次函數(shù)y＝x2+k與y軸交于負(fù)半軸，則k＜0，

∴﹣k＞0，

∴一次函數(shù)y＝﹣kx+1的圖象經(jīng)過經(jīng)過第一、二、三象限，A選項(xiàng)符合題意，C、D不符合題意；

故選：A．

15．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+n與二次函數(shù)y＝nx2+m的大致圖象可以是（）

A．B．

第10頁共17頁.

C．D．

【解答】解：A、由直線過一、二、三象限可知，m＞0，由拋物線可知，圖象與y軸交于負(fù)半軸，

則m＜0，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由直線過二、三、四象限可知，n＜0，由拋物線可知，開口向上，n＞0，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

C、由直線過一、三、四象限可知，n＜0，由拋物線可知，開口向上，n＞0，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

D、由直線過一、三、四象限可知，m＞0，n＜0，由拋物線可知，開口向上，n＞0，圖象與y軸

交于正半軸，則m＜0，一致，故此選項(xiàng)正確；

故選：D．

16．二次函數(shù)y＝a（x+m）2+n的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過（）象限．

A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四

【解答】解：∵拋物線的頂點(diǎn)（﹣m，n）在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限，

故選：C．

17．已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過圖中A（2，2）和B（9，9）兩點(diǎn)，

則下列判斷正確的是（）

第11頁共17頁.

A．若h＝3，則a＜0B．若h＝6，則a＞0

C．若h＝4，則k＜2D．若h＝5，則k＞9

【解答】解：由四個(gè)選項(xiàng)中h的取值可知，A、B在拋物線的對(duì)稱軸的兩側(cè)，

當(dāng)a＞0時(shí)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝h，

而A（2，2）和B（9，9）兩點(diǎn)在拋物線上，

∴h﹣2＜9﹣h，解得h＜5.5，k＜2，

當(dāng)a＜0時(shí)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝h，

而A（2，2）和B（9，9）兩點(diǎn)在拋物線上，

∴h﹣2＞9﹣h，解得h＞5.5，k＞9，

故選：C．

18．設(shè)函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是實(shí)數(shù)，a≠0），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝8，（）

A．若h＝4，則a＜0B．若h＝5，則a＞0

C．若h＝6，則a＜0D．若h＝7，則a＞0

【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝8；代入函數(shù)式得：，

∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，

整理得：a（9﹣2h）＝1，

若h＝4，則a＝1，故A錯(cuò)誤；

若h＝5，則a＝﹣1，故B錯(cuò)誤；

若h＝6，則a＝﹣，故C正確；

若h＝7，則a＝﹣，故D錯(cuò)誤；

故選：C．

第12頁共17頁.

考點(diǎn)三y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與性質(zhì)

1．用配方法將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）

A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3

C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6

【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，

故選：D．

2．二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸分別是（）

A．（2，11），x＝2B．（2，3），x＝2

C．（﹣2，11），x＝﹣2D．（﹣2，3），x＝2

【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，

∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，11）．

故選：A．

3．已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（）

A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5

【解答】解：∵拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，

∴﹣＝2，

解得m＝﹣4，

∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5，

∴x2﹣4x﹣5＝0，

∴（x﹣5）（x+1）＝0，

解得x1＝5，x2＝﹣1，

故選：D．

4．已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2，

則m的值為（）

A．±B．﹣或C．﹣或D．或2

【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝mx2﹣4mx，

第13頁共17頁.

∴對(duì)稱軸為x＝＝＝2，

①當(dāng)m＞0時(shí)，

∵二次函數(shù)開口向上，

∴當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，函數(shù)在x＝2取得最小值﹣2，

將x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，

解得：m＝，

②當(dāng)m＜0時(shí)，

∵二次函數(shù)開口向下，

∴當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，函數(shù)在x＝﹣2取得最小值﹣2，

將x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，

解得：m＝﹣，

綜上，m的值為或﹣，

故選：B．

5．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+1，當(dāng)a≤x≤0時(shí)，y取得最小值為﹣2，則a的值為（）

A．﹣1B．0C．1D．2

【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，

∴二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x＝1，

∵﹣1＜0，開口向下，

∴在對(duì)稱軸x＝1的左側(cè)，y隨x的增大而增大，

∵當(dāng)a≤x≤0時(shí)，即在對(duì)稱軸左側(cè)，y取得最小值為﹣2，

∴當(dāng)x＝a時(shí)，y＝﹣2，

∴﹣a2+2a+1＝﹣2，

解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），

故a的值為﹣1．

故選：A．

6．二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（）

第14頁共17頁.

A．B．C．D．

【解答】解：如圖所示：拋物線開口向下，交y軸的正半軸，則a＜0，b＞0，

故一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．

故選：C．

7．一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故

本選項(xiàng)不符合