四川省達州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題本試卷共4頁，19小題，滿分150分.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則及幾何意義求解即可.【詳解】由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.2.已知隨機變量，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)二項分布的期望和方差公式即可求解，進而根據(jù)二項分布的概率公式求解即可.【詳解】因為，所以，解得，所以．故選：C．3.已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由拋物線的焦半徑公式可得，即可求得，從而求解.【詳解】由題意，得，即，所以拋物線方程為.故選：D.4.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量模長公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解.詳解】由已知，即，又，則，解得，，故選：A.5.已知一個圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖和圓錐體積公式以及側(cè)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，又，即，所以，則，解得，所以圓錐的表面積為.故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，由得到.【詳解】，，，，，，.故選：D.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若方程在上恰有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用輔助角公式及函數(shù)的對稱性求出，即可得到函數(shù)解析式，再求出函數(shù)在上的單調(diào)性，求出端點函數(shù)值與最大值，依題意與在上恰有兩個交點，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為（其中），又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，所以，解得，所以，當(dāng)時，則，令，解得，且，令，解得，且，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，因為方程在上恰有兩個實數(shù)根，即與在上恰有兩個交點，所以，即的取值范圍是.故選：C8.定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且滿足，，當(dāng)時，都有，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱可得到，進而求得，，反復(fù)利用，適當(dāng)賦值，再結(jié)合條件當(dāng)時，都有即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，令，則，又，所以，由，令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，同理，令，由，則，即，由，令，則，令，則，令，則，令，則，因為當(dāng)時，都有，而，則，，所以.故選：D.關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用，結(jié)合賦值法，采用兩邊夾逼的方法，求出結(jié)果.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求；全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.某社會機構(gòu)統(tǒng)計了某市四所大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)如下表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)（千人）自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（千人）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)關(guān)于畢業(yè)生人數(shù)的經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.與正相關(guān) B.C.當(dāng)時，殘差為 D.樣本的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)【正確答案】ABC【分析】根據(jù)回歸直線的斜率可判斷A選項；將樣本中心點的坐標(biāo)代入回歸直線方程，求出的值，可判斷B選項；利用殘差的概念可判斷C選項；利用樣本的相關(guān)系數(shù)的概念可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為回歸直線的斜率為，所以，與正相關(guān)，A對；對于B選項，由表格中的數(shù)據(jù)可得，，所以，樣本中心點為，將樣本中心點的坐標(biāo)代入回歸直線方程得，解得，B對；對于C選項，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，殘差為，C對；對于D選項，因為與正相關(guān)，所以，樣本的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，D錯.故選：ABC.10.設(shè)，函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.存在，使得B.函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一條公共的切線C.函數(shù)圖象上的點與原點距離的最小值為D.函數(shù)的極小值點為【正確答案】BD【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)分析單調(diào)性可得選項A錯誤；根據(jù)兩函數(shù)互為反函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象特征可得選項B正確；設(shè)圖象上任意一點坐標(biāo)，利用點到原點的距離公式結(jié)合基本不等式可得選項C錯誤；通過求導(dǎo)分析單調(diào)性可得選項D正確.【詳解】對于A：設(shè)，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即恒成立，選項A錯誤.對于B：由得，即，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合圖象可得函數(shù)與的圖象都過原點，直線為函數(shù)與唯一的公切線，選項B正確.對于C：設(shè)點為函數(shù)圖象上任意一點，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，選項C錯誤.對于D：令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，選項D正確.故選：BD.11.雙曲線的左右焦點分別為，左右頂點分別為，若是右支上一點（與點不重合），如圖，過點的直線與雙曲線的左支交于點，與其兩條漸近線分別交于兩點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.到兩條漸近線的距離之和為2B.當(dāng)直線運動時，始終有C.在中，D.內(nèi)切圓半徑取值范圍為【正確答案】BC【分析】選項A，設(shè)出點然后計算出漸近線，分別計算距離求解即可；選項B，設(shè)直線，然后分別聯(lián)立雙曲線和漸近線方程計算交點，計算即可；選項C，利用點坐標(biāo)表示出，，然后利用三角形內(nèi)角的角度關(guān)系得到，由選項可知，只需得到分母的值就可以得到正確答案；選項D，利用等面積法求三角形內(nèi)切圓半徑的方法，然后化簡求解即可．【詳解】由題可知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故兩個漸近線方程分別為與，設(shè)點由題可知，，所以點到兩個漸近線的距離分別為，，由于，故故，若，則是方程的兩個實數(shù)根，顯然該方程無解，不符合題意，故故選項A錯誤；設(shè)點，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程，，得，所以，直線分別與漸近線與聯(lián)立得，得，所以有，即，由題可知，，，所以，故選項B正確；不妨設(shè),，，由題可知，，，所以有，，，，由題可知，，故所以，整理得，故選項C正確；由三角形內(nèi)切圓的半徑求法可知其內(nèi)切圓半徑，易知，，，，得，因為，得，所以，因為，所以，所以，，故選項D錯誤．故選：BC．方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，則___________【正確答案】1【分析】由直線的斜率求出切線的斜率，導(dǎo)函數(shù)在切點處的值即為切線斜率，建立等式，求得的值.【詳解】直線的斜率，∵切線與直線垂直，∴切線的斜率，，當(dāng)時，，∴，故1.13.某一隨機變量X的分布列如下表，且，則______.X0123P0.1m0.2n【正確答案】8【分析】根據(jù)題意可得，即可求得的值，進而結(jié)合期望公式可求得，進而得到.【詳解】由題意，得，解得，所以，所以.故8.14.已知平面四邊形中，，，，，則該平面四邊形面積的最大值為_____________.【正確答案】【分析】先根據(jù)余弦定理可得，進而表示出四邊形面積，進而得到，進而求解.【詳解】連接，由余弦定理得，，即，即，又四邊形的面積，則，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以平面四邊形面積的最大值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、計算過程、證明過程.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，的面積為，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先根據(jù)兩角和的正弦公式化簡題干條件可得，進而得到，進而求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【小問1詳解】因為，在中，，即.【小問2詳解】由（1）知，，所以，即，所以，又，即，所以的周長為.16.已知動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.【小問1詳解】由題意，，整理化簡得，，所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，則直線的方程為，分別延長，交曲線于點，設(shè)，聯(lián)立，即，則，根據(jù)對稱性，可得，則，即，解得，所以直線FM的斜率為.17.如圖，正四棱柱中，為中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，利用空間向量法證明即可；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取；設(shè)平面的法向量為，則，取；因為，即，所以平面平面；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個極值點.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：的所有零點之和大于3.【正確答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（2）①，②證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)正負(fù)求解；（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，對分類討論，即可解①，根據(jù)的單調(diào)性可得在和上各有一個零點，即可根據(jù)可得函數(shù)的三個零點為，利用基本不等式即可求解②.【小問1詳解】時，，定義域為0,+∞，則，令，解得，，解得，故在0,1單調(diào)遞增，在1,+∞單調(diào)遞減，【小問2詳解】①，則，記，則，，令，解得，，解得，故在0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，，若，則在0,+∞單調(diào)遞增，此時無極值點，不符合，當(dāng)，則，當(dāng)因此在1,+∞有一個實數(shù)根，現(xiàn)證明：設(shè)，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，所以，所以在上有一個實數(shù)根，故恰有兩個極值點，符合題意，故②由①知，且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由于，當(dāng)當(dāng)所以在和上各有一個零點，結(jié)合f1=0可知共有3，若，則，故的三個零點可以表示為，故，由于，故等號取不到，因此因此的零點之和大于3，得證.方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.19.某市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇兩個套餐之一，該游泳館在App上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周六銷售優(yōu)惠券情況.星期123456銷售量（張）21822423023223690經(jīng)計算可得.參考公式.（1）因為優(yōu)惠券銷售火爆，App平臺在周六時出現(xiàn)系統(tǒng)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除周六數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐包含兩張優(yōu)惠券，套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；（3）請根據(jù)下列定義，解決下列問題：（i）定義：如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，（是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于.（ii）運用：記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列.求的最值，并證明數(shù)列收斂.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）計算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出的值，進而得到經(jīng)驗回歸方程；（2）由題意可知時，，其中，，構(gòu)造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求解；（3）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；利用數(shù)列收