第09講幾何初步及三角形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)解決與線段有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；2.了解角的概念和表示方法，會(huì)把角進(jìn)行分類(lèi)以及進(jìn)行角的度量和計(jì)算；3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點(diǎn)、性質(zhì)和判定；4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類(lèi)，會(huì)簡(jiǎn)單的證明有關(guān)命題；5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會(huì)畫(huà)出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、直線、射線和線段1．直線代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對(duì)折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無(wú)限延伸.(直線的概念是一個(gè)描述性的定義，便于理解直線的意義).2．射線直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無(wú)限延伸.

3.線段直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).考點(diǎn)二、角1．角的概念：(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線分別叫做角的邊(2)定義二：一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

2．角的平分線：如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫做這個(gè)角的平分線.考點(diǎn)三、相交線1．對(duì)頂角(1)定義：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，而且一個(gè)角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角叫對(duì)頂角.(2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等2．鄰補(bǔ)角(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角.(2)性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).3．垂線（1）定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線是互相垂直的，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂直用符號(hào)“⊥”來(lái)表示4．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三線八角，如圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯(cuò)角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁?xún)?nèi)角.(2)特點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個(gè)角.兩個(gè)角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

考點(diǎn)四、平行線平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號(hào)“∥”來(lái)表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.2．平行公理及推論：(1)經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c3．性質(zhì)：(1)平行線永遠(yuǎn)不相交；(2)兩直線平行，同位角相等；(3)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(4)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號(hào)表示為：若b∥c，b⊥a，則c⊥a4．判定方法：(1)定義；(2)平行公理的的推論；(3)同位角相等，兩直線平行；(4)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(5)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.考點(diǎn)五、命題、定理、證明1．命題：(1)定義：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題.(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；(4)命題的分類(lèi)：真命題和假命題；(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).2．公理、定理：(1)公理：人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理(2)定理：經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的真命題叫做定理.3．證明：用推理的方法證實(shí)命題正確性的過(guò)程叫做證明考點(diǎn)六、三角形的概念及其性質(zhì)1．三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2．三角形的分類(lèi)(1)按邊分類(lèi)：(2)按角分類(lèi)：3．三角形的內(nèi)角和外角(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.(2)三角形的任意一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.4．三角形三邊之間的關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.5．三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊.6．三角形具有穩(wěn)定性.考點(diǎn)七、三角形的“四心”和中位線三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.1．內(nèi)心：三角形角平分線的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.2．外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.3．重心：三角形三條中線的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.4．垂心：三角形三條高線的交點(diǎn).5．三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.【典型例題】題型一、幾何初步例1．判斷下列語(yǔ)句是不是命題①延長(zhǎng)線段AB()．②兩條直線相交，只有一交點(diǎn)()．③畫(huà)線段AB的中點(diǎn)()．④若|x|=2，則x=2()．⑤角平分線是一條射線()．【變式】命題：①對(duì)頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對(duì)頂角；④同位角相等.其中假命題有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)題型二、三角形例2．四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點(diǎn)O．求證：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．證明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【變式】例3．如圖，將第一個(gè)圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（圖②）；再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（圖③）；再將第三個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個(gè)圖中，共有________個(gè)正三角形．

【變式】一個(gè)三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個(gè)三角形一定是()．A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形例4．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形()的交點(diǎn)．A.三個(gè)內(nèi)角平分線B.三邊垂直平分線C.三條中線D.三條高【變式】題型三、綜合運(yùn)用例5．如圖：已知，△ABC中，∠A=50°(1)如圖(1)，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB的平分線交點(diǎn)，則∠BOC=_____；(2)如圖(2)，點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的平分線交點(diǎn)，則∠BPC=____；(3)如圖(3)，點(diǎn)M是外角∠BCE和∠CBF的平分線交點(diǎn)，則∠BMC=____.例6．探索在如圖-1至圖-3中，△ABC的面積為a.(1)如圖-1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA，若△ACD的面積為S1，則S1=____(用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖-2，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE，若△DEC的面積為S2，則S2=____(用含a的代數(shù)式表示)，并寫(xiě)出理由；(3)在圖-2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD，F(xiàn)E，得到△DEF(如圖-3)，若陰影部分的面積為S3，則S3=____(用含a的代數(shù)式表示)；（4）像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到△DEF(如圖-3)，此時(shí)，我們稱(chēng)△ABC向外擴(kuò)展了一次，可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來(lái)△ABC面積的____倍．【變式】去年在面積為10m2的△ABC空地上栽種了某種花卉，今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把△ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由△ABC擴(kuò)展成△DEF，第二次由△DEF擴(kuò)展成△MGH(如圖)，求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域(即陰影部分)面積共為多少m2？【中考過(guò)關(guān)真題練】一．選擇題（共13小題）1．（2022?柳州）如圖，從學(xué)校A到書(shū)店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④2．（2022?廣州）如圖是一個(gè)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，這個(gè)幾何體可以是（）A．圓錐 B．圓柱 C．棱錐 D．棱柱3．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB＝10，則DE的長(zhǎng)是（）A．8 B．6 C．5 D．44．（2022?柳州）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．5．（2022?煙臺(tái)）如圖，某海域中有A，B，C三個(gè)小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對(duì)于小島A的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°6．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，截線c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，則∠2的度數(shù)是（）A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′7．（2022?襄陽(yáng)）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．70°8．（2022?德州）將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（）A．100° B．105° C．110° D．120°9．（2022?淮安）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，910．（2022?攀枝花）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，則OA的值為（）A． B． C． D．111．（2022?淄博）經(jīng)過(guò)折疊可以圍成正方體，且在正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個(gè)四字成語(yǔ)的圖形是（）A． B． C． D．12．（2022?菏澤）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知∠ABC＝36°，則∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°13．（2022?濟(jì)南）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．57.5° D．65°二．填空題（共12小題）14．（2022?益陽(yáng)）如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．15．（2022?玉林）已知：α＝60°，則α的余角是°．16．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．17．（2022?阜新）一副三角板如圖擺放，直線AB∥CD，則∠α的度數(shù)是．18．（2022?鎮(zhèn)江）一副三角板如圖放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，則∠1＝°．19．（2022?棗莊）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，則∠GFH的度數(shù)為．20．（2022?湘西州）如圖，直線a∥b，點(diǎn)C、A分別在直線a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為．21．（2022?綿陽(yáng)）兩個(gè)三角形如圖擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于點(diǎn)M，若BC∥EF，則∠DMC的大小為．22．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，若DE＝1，則FG＝．23．（2022?東營(yíng)）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為．24．（2022?朝陽(yáng)）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為．25．（2022?錦州）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2，得△C1B1B2；延長(zhǎng)B2D1交射線ON于點(diǎn)A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2與射線OM交于點(diǎn)B3，得△C2B2B3；延長(zhǎng)B3D2交射線ON于點(diǎn)A3，以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3與射線OM交于點(diǎn)B4，得△C3B3B4；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△C2022B2022B2023的面積為．三．解答題（共6小題）26．（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．27．（2022?淮安）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．28．（2022?淄博）如圖，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D，E分別在腰AC，AB上，且BE＝CD，連接BD，CE．求證：BD＝CE．29．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．（1）∠EDC的度數(shù)為°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）求的最大值．30．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE、CE．（1）直接寫(xiě)出CE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將△BED繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點(diǎn)B′、E′分別與點(diǎn)B、E對(duì)應(yīng)），連接CE′、AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)△BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線CE′與AD、AB′分別交于點(diǎn)G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長(zhǎng)．31．（2022?濟(jì)寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）．P是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點(diǎn)E，連接AD，作DM⊥AD交x軸于點(diǎn)M，交AO于點(diǎn)F，連接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時(shí)的m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【中考挑戰(zhàn)滿(mǎn)分模擬練】一．選擇題（共7小題）1．（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）唐代李白《日出行》云：“日出東方隈，似從地底來(lái)”．描述的是看日出的景象，意思是太陽(yáng)從東方升起，似從地底而來(lái)．如圖，此時(shí)觀測(cè)到地平線和太陽(yáng)所成的視圖可能是（）A． B． C． D．2．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，則∠ECD的度數(shù)為（）A．39° B．29° C．38° D．28°3．（2023?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，BE是△ABC外角的平分線，且BE∥AC，∠C＝50°，則∠A等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°4．（2023?海口一模）如圖，一副直角三角尺如圖擺放，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，則∠F的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．45° D．60°5．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形∠1＝50°，則∠2的大小為（）A．60° B．80° C．70° D．100°6．（2023?三亞一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AG＝3，則陰影部分的面積為（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.57．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，且點(diǎn)M在線段OA上．若OA＝16，則OH的長(zhǎng)為（）A．9 B． C． D．二．填空題（共8小題）8．（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AD＝6，那么線段DG的長(zhǎng)是．9．（2023?蕭縣一模）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，連接AC，BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)E到AB的距離為．10．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AD于點(diǎn)F，那么＝．11．（2023?崇明區(qū)一模）點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，如果MN＝10cm，那么較長(zhǎng)線段MP的長(zhǎng)是cm．12．（2023?吉陽(yáng)區(qū)一模）長(zhǎng)方形如圖折疊，D點(diǎn)折疊到D′的位置．已知∠D′FC＝76°，則∠EFC＝．13．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β＝度．14．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC與△ABD全等，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．15．（2023?深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝．三．解答題（共10小題）16．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）【數(shù)學(xué)抽象】實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1＝∠2．（1）利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線n是平行的？（2）如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會(huì)隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？17．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC；（2）如圖②，M是點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接DM，AM，CM，求證：DM＝AM．18．（2023?閻良區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)．點(diǎn)E是射線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合）．點(diǎn)F在ED的延長(zhǎng)線上，且DF＝DE，DG⊥EF，垂足為點(diǎn)D，DG交邊AC于點(diǎn)G．（1）求證：AF∥BC；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)AG＝x，CE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)CE＝2時(shí)，直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng)．19．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4cm；兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）①Rt△ABC斜邊AC上的高為；②當(dāng)t＝3時(shí)，PQ的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△BPQ是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出所有能使△BCQ成為等腰三角形的t的值．20．（2023?撫州一模）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．（1）AE與FC平行嗎？說(shuō)明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）DA平分∠BDF嗎？為什么？21．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)到F，使得ED＝DF，連接AF、CF．（1）求證：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求證：AF2＝AB2+BE2；（3）如圖②連接，探索當(dāng)∠BEC與∠BAC滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，AC＝AF，并說(shuō)明理由．22．（2023?瓊山區(qū)一模）已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)．（1）如圖1，BD＝CE，連接AD、BE，AD交BE于點(diǎn)F，在BE的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G，使得FG＝AF，連接AG，若AF＝4，求△AFG的面積；（2）如圖2，AD、BE相交于點(diǎn)G，點(diǎn)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BF、CF、CG，已知BD＝CE，∠BFG＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖3，已知AB＝12，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，以CM為邊，在CM的下方作等邊△CMN，連DN，當(dāng)DN取最小值時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng)．23．（2023?延安一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段CD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DC和DA的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，EA的延長(zhǎng)線交BF于點(diǎn)G．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明：如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②連接DG，若DG＝4，DE＝6，求EG的長(zhǎng)．24．（2023?深圳模擬）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長(zhǎng)．（2）類(lèi)比探究：如圖2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的長(zhǎng)．（3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在線段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延長(zhǎng)DE，BC交于點(diǎn)F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，DE＜BD，＝；BD＝．25．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，連接DB．（1）證明：△EAC≌△DBC；（2）當(dāng)點(diǎn)A在線段ED上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想AE、AD和AC之間的關(guān)系，并證明．（3）在A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)，時(shí)，求△ACM的面積．

【名校自招練】一．選擇題（共8小題）1．（2022?渝北區(qū)自主招生）若∠α＝50°，則α的補(bǔ)角的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．130° D．310°2．（2022?長(zhǎng)壽區(qū)自主招生）如圖，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)疊放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE與BC相交于點(diǎn)F，若AB∥DE，則∠EFB的大小是（）A．75° B．90° C．