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表示到首頁中學(xué)物理奧賽解題研究解題知識(shí)與方法研究疑難題解答研究例1（均勻帶電薄球殼上的小孔中的電場(chǎng)）一、導(dǎo)體殼的性質(zhì)與靜電屏蔽的全面認(rèn)識(shí)第十一專題靜電場(chǎng)二、導(dǎo)體不接地情況下的電像法應(yīng)用例2（均勻帶電線段與均勻帶電圓弧場(chǎng)強(qiáng)的等效）三、靜電感應(yīng)情況下移動(dòng)電荷做功的計(jì)算靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體殼——一種特殊的靜電平衡導(dǎo)體1-1、腔內(nèi)無電荷的情形（1）帶電性質(zhì)：導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面上；（2）場(chǎng)強(qiáng)性質(zhì)：空腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零；（3）電勢(shì)性質(zhì)：腔內(nèi)電勢(shì)處處相等—等于導(dǎo)體殼的電勢(shì).解題知識(shí)與方法研究一、靜電場(chǎng)中導(dǎo)體殼的性質(zhì)與靜電屏蔽的全面認(rèn)識(shí)1、靜電場(chǎng)中導(dǎo)體殼的性質(zhì)

1-2、腔內(nèi)有電荷的情形

導(dǎo)體殼內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷代數(shù)和為零.即（2）場(chǎng)強(qiáng)性質(zhì)

從Q1（或Q2）發(fā)出的電場(chǎng)線全部止于Q2（或Q1）.止于Q2（或Q1）的電場(chǎng)線全部來自Q1（或Q2）.（1）帶電性質(zhì)電場(chǎng)線的分布情況:殼內(nèi)空腔中（無導(dǎo)體材料處）則僅有Q1與Q2的電場(chǎng)線.Q1與Q2的電場(chǎng)線僅在空腔內(nèi).殼外空間則僅有Q與場(chǎng)電荷（+q1，-q2等）的電場(chǎng)線.Q與（+q1，-q2）的電場(chǎng)線僅在殼外.

（2-1）Q1和Q2的合場(chǎng)強(qiáng)在導(dǎo)體殼內(nèi)表面以外的空間處處為零.（3）電勢(shì)性質(zhì)

（3-1）Q1和Q2的合電場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體殼內(nèi)表面以外的空間的電勢(shì)貢獻(xiàn)U′處處為零.由性質(zhì)（2-1）即可導(dǎo)出此結(jié)論.由性質(zhì)（2-2）即可導(dǎo)出此結(jié)論.

（3-2）Q和“+q1、-q2等”的合電場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)的空間的電勢(shì)貢獻(xiàn)U″處處相等,但不一定為零.外表面以內(nèi)各處U″=C內(nèi)表面以外各處U′=0（在導(dǎo)體殼外表面以外空間并不為零）（在導(dǎo)體殼內(nèi)表面以內(nèi)的不存在導(dǎo)體材料的空間中并不為零）

（2-2）導(dǎo)體殼外表面的電荷Q和導(dǎo)體殼外部空間的場(chǎng)電荷（+q1，-q2等）的合場(chǎng)強(qiáng)在導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)的空間處處為零.用唯一性定理證明上述場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)性質(zhì)：體系（2）的形成：讓導(dǎo)體殼接地：導(dǎo)體殼內(nèi)表面以外空間的場(chǎng)強(qiáng)處處為零，（3）S（1）

則導(dǎo)體殼內(nèi)表面將帶電為Q2（=－Q1）,電勢(shì)處處為零.體系（3）的形成：讓導(dǎo)體殼帶電Q：

導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)空間場(chǎng)強(qiáng)處處為零.再切斷接地線：Q1、Q2數(shù)量及分布不變,其場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)的分布亦不變.考察帶電體系（2）、（3）：外表面處處不帶電.電勢(shì)處處相等.則Q分布在導(dǎo)體殼外表面上.證明：（2）S將體系（2）、（3）合并，是否就是體系（1）？（2）S（3）S（1）合并體系（2）、體系（3）：ⅰ、因?yàn)閧Q,+q1,-q2}在殼外表面以內(nèi)空間的場(chǎng)強(qiáng)為零，而{Q1、Q2}在殼內(nèi)表面以外空間的場(chǎng)強(qiáng)為零，Q1、Q2的分布不變以及Q、+q1、-q2分布不變是可以的.所以，體系（2）+體系（3）=體系（1）:ⅱ、根據(jù)唯一性定理，Q1、Q2，以及Q、+q1、-q2的其他分布情況是不可能存在的.2、靜電屏蔽某空間區(qū)域內(nèi)的靜電場(chǎng)不受區(qū)域外的電荷變化的影響.則稱該區(qū)域被靜電屏蔽.2-1、內(nèi)屏蔽（2）S（3）外表面以內(nèi)U″=C，E″=0內(nèi)表面以外U′=0，E′=0（1）內(nèi)表面以外U′=0，E′=0外表面以內(nèi)U″=C，E″=0無論“q1、q2等”、Q的數(shù)量及分布如何變化在導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)的區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)總是為零.無論“q1、q2等”、Q的數(shù)量及分布如何變化在導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)的區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)分布不變.無論“q1、q2等”、Q的數(shù)量及分布如何變化在導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)的區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)均總是為零.無論“q1、q2等”、Q的數(shù)量及分布如何變化在導(dǎo)體殼外表面以內(nèi)的區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)均不變.

思考問題如果導(dǎo)體殼不接地，當(dāng)殼內(nèi)電荷Q1的數(shù)量及位置變化時(shí)，殼外空間區(qū)域的電場(chǎng)（場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)）能夠不受影響嗎？2-2、外屏蔽無論Q1如何變化（Q2隨之而變）在導(dǎo)體殼內(nèi)表面以外的區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)總是為零.(Q及q

的數(shù)量與分布均不變:

）無論Q1如何變化（Q2隨之而變）在導(dǎo)體殼內(nèi)表面以外的區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)分布總是不變.(Q及q的數(shù)量與分布均不變)（1）導(dǎo)體殼接地時(shí)

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：如圖，當(dāng)+Q1變化時(shí)，球殼外空間的電場(chǎng)受影響嗎？

Q數(shù)量及分布將隨之變化，致使球殼外部空間的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)都將發(fā)生改變.

如圖，當(dāng)Q1的數(shù)量（及符號(hào)）變化時(shí)：如圖，當(dāng)Q1僅位置變化時(shí)：

Q數(shù)量及分布均不隨之變化，球殼外部空間的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)均不發(fā)生改變.（2）導(dǎo)體殼不接地時(shí)

腔內(nèi)帶電體的電荷Q1的數(shù)量變化時(shí),導(dǎo)致Q2的數(shù)量及分布變化,從而Q的數(shù)量及分布也將隨之而變,因而導(dǎo)致殼外區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)發(fā)生改變.此時(shí)導(dǎo)體殼既不能屏蔽場(chǎng)強(qiáng)也不能屏蔽電勢(shì).

腔內(nèi)帶電體的電荷Q1僅位置變化時(shí),僅導(dǎo)致Q2的分布變化,而Q的數(shù)量及分布均不變化,因而殼外區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)均不發(fā)生改變.此時(shí)導(dǎo)體殼既屏蔽了場(chǎng)強(qiáng)也屏蔽了電勢(shì).2-3、內(nèi)、外同時(shí)相互完全屏蔽場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)

如圖，導(dǎo)體殼接地后，殼內(nèi)、外的電場(chǎng)彼此隔開，場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)均互不影響.（1）內(nèi)導(dǎo)體球上電荷量；（2）外導(dǎo)體球殼電勢(shì).解

如圖，半徑為a的原不帶電導(dǎo)體球外同心放置一個(gè)半徑為b的原不帶電導(dǎo)體薄球殼，然后在離球心距離為d（d>b）處有一個(gè)帶電量為q的固定點(diǎn)電荷.現(xiàn)讓內(nèi)導(dǎo)體球接地(接地方式如圖)，靜電平衡后，試求：例1如果不接地，球殼內(nèi)表面和球體表面是否帶電？接地時(shí)靜電感應(yīng)至靜電平衡后，球殼的內(nèi)外表面上、內(nèi)球體表面上有無電荷？如何分布？

設(shè)球殼外表面帶電為qa，解得內(nèi)球體表面帶電qa且均勻分布.則其內(nèi)表面帶電-qa且均勻分布.（1）所有電荷在內(nèi)球球心處（及內(nèi)球的其他處）的總電勢(shì)為

外球殼到內(nèi)球體的電勢(shì)差僅取決于內(nèi)球體表面的電荷qa.所以將（1）的結(jié)果代入，得因Ua=0，所以題后總結(jié)與思考取球心計(jì)算電勢(shì)、場(chǎng)強(qiáng)的大小是常用技巧！內(nèi)球接地如圖，導(dǎo)體球表面，球殼內(nèi)、外表面有無電荷？

請(qǐng)判斷外球殼與內(nèi)球體的電勢(shì)差與那些電荷有關(guān)？（2）外導(dǎo)體球殼電勢(shì).二、導(dǎo)體不接地情況下的電像法應(yīng)用各種典型導(dǎo)體接地的問題：結(jié)論：像電荷為

如圖，有一無限大接地導(dǎo)體板，在板前距板a處有一固定的點(diǎn)電荷-q（<0），求：（1）板右側(cè)空間的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分布；（2）導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷的面密度分布；（3）q受的靜電力;（4）感應(yīng)電荷總量.（4）感應(yīng)電荷總量為+q.由此不難進(jìn)一步回答四個(gè)問題.……問題1

研究接地導(dǎo)體球附近存在一點(diǎn)電荷的情況（如圖）.求：（1）替代球上感應(yīng)電荷的像電荷q′（若存在的話）的位置及電量；（2）球外點(diǎn)電荷q受到感應(yīng)電荷的作用力；（3）感應(yīng)電荷的總量Q；（4）若q>0，導(dǎo)體球表面是否有地方σ>0，是否有地方σ=0？為何電像法處理的問題一般總是導(dǎo)體接地？結(jié)論：像電荷為問題2

切斷接地線，導(dǎo)體球的電荷Q分布變不變，還是不是等勢(shì)體？解（1）若將導(dǎo)體球接地，則從地面流入電量至球體表面,其不均勻分布使球體成為一零電勢(shì)體.若再將-Q的電量加在球面上，-Q如何分布才能使導(dǎo)體球仍為一等勢(shì)體？球面上此時(shí)的電荷分布是不是就是問題（1）所說的分布？

討論不接地導(dǎo)體球及球外一個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的帶電系統(tǒng)的情況（如圖）.

（1）導(dǎo)體球原總電量為零，確定靜電平衡后系統(tǒng)在球外空間的電場(chǎng)分布及q的受力；

（2）若導(dǎo)體球原總電量為Q0，確定靜電平衡后系統(tǒng)在球外的電場(chǎng)分布及q的受力.導(dǎo)體球不接地球接地與不接地是完全不同的！

例2能不能仍采用（1）的思路？

將-Q的電量均勻加在球面上.導(dǎo)體球仍為一等勢(shì)體.

將Q用像電荷q′替代，而-Q用位于球心o的點(diǎn)電荷-Q（即為另一個(gè)像電荷）替代.再加上電荷q，便可求得球外的電場(chǎng)分布.（負(fù)號(hào)表明q被向左吸引）

（2）若導(dǎo)體球原總電量為Q0，確定靜電平衡時(shí)系統(tǒng)在球外的電場(chǎng)分布及q的受力.

其中非均勻分布在球面上的Q用像電荷q′替代之；而(Q0-Q)用球心o處的點(diǎn)電荷(Q0-Q)取代之.

球外電場(chǎng)變?yōu)槿齻€(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布均不難確定，q的受力不難算出.將Q0分成三、靜電感應(yīng)情況下移動(dòng)電荷做功的計(jì)算要處理的是如下一類問題：

求在移動(dòng)電荷q的過程中電場(chǎng)力對(duì)q的做功是否為？解（1）當(dāng)點(diǎn)電荷位于球殼中心時(shí)，殼內(nèi)、外表面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在球心的電勢(shì)為

當(dāng)點(diǎn)電荷位于無限遠(yuǎn)處時(shí)，其所在處的電勢(shì)為外力對(duì)Q做功是否為

（1）在一個(gè)開有小孔的原來不帶電的導(dǎo)體球殼中心o點(diǎn)，有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，球殼內(nèi)、外表面的半徑分別是a和b.欲將點(diǎn)電荷通過小孔緩慢地從o點(diǎn)移到無限遠(yuǎn)處，外力對(duì)該點(diǎn)電荷需做多少功？（2）點(diǎn)電荷q距無限大接地導(dǎo)體板距離為l，欲將該點(diǎn)電荷緩慢移到距導(dǎo)體板無限遠(yuǎn)處，外力對(duì)該點(diǎn)電荷需做多少功？例3正確的計(jì)算：設(shè)想每次從球心o移走一份微量電荷dq.在每次移動(dòng)dq過程中：球殼內(nèi)外表面上的電荷分布近似不變，其電場(chǎng)的電勢(shì)分布近似不變.全部移走Q時(shí)外力做的總功為當(dāng)已經(jīng)移走的電荷總量為q后，球殼內(nèi)、外表面的感應(yīng)電荷在球心處的電勢(shì)為此時(shí)移動(dòng)dq外力做功為題后思考在移動(dòng)每一份dq的過程中，球心處剩余的電荷（Q-q）對(duì)dq的作用該不該考慮！？（2）導(dǎo)體板右側(cè)產(chǎn)生感應(yīng)電荷.

當(dāng)“-q”與q相距為2l時(shí)，其在q所在處的電勢(shì)為

當(dāng)“-q”與q相距為∞時(shí)，其在q所在處的電勢(shì)為外力對(duì)q做功是否為正確的計(jì)算：

當(dāng)q與“-q”相距為2l時(shí)，其相互作用靜電勢(shì)能與用外力將q和“-q”兩點(diǎn)電荷各沿反向移到無限遠(yuǎn)處所做的總功A總的關(guān)系是方法一電荷在板右側(cè)空間的電場(chǎng)可由像電荷取代.感應(yīng)所以將q移至無限遠(yuǎn)處外力需做功便為方法二

板上感應(yīng)電荷與q構(gòu)成的體系中的所有電荷相互作用總靜電能在q與板相距l(xiāng)時(shí)為在q與板相距無限遠(yuǎn)時(shí)則為由功能原理便有題后總結(jié)與思考請(qǐng)用解（1）小題的方法解（2）小題，用解（2）小題的方法解（1）小題.形成感應(yīng)電荷的過程中對(duì)感應(yīng)電荷做功嗎？方法三直接由功的定義計(jì)算當(dāng)q距離導(dǎo)體板x時(shí)，q所受的靜電力為q所受的與靜電力平衡的外力為所以外力移動(dòng)q做功為上、下兩半球殼間的靜電斥力和半個(gè)球殼上所有點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力的合力有什么關(guān)系？

有一帶電為+Q、半徑為R的導(dǎo)體薄球殼，計(jì)算上、下兩半球殼間的靜電力.解

半個(gè)球殼所受的另半個(gè)球殼的靜電斥力等于此半個(gè)球殼上的所有點(diǎn)電荷受的靜電力之合.先求球殼上挖去小面元后孔中的場(chǎng)強(qiáng)：方法（1）未挖去小面元dS時(shí)，球殼內(nèi)、外附近的場(chǎng)強(qiáng)為小帶電面元dS在此兩處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，設(shè)為E1.未挖去小面元疑難題解答研究

例1

挖去小面元dS后的其余電荷在(R-0)→(R+0)的區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)E大小相同、方向相同.如圖所示.于是在(R-0)處：在(R+0)處：由此兩式相加得方法（2）導(dǎo)體球殼的靜電勢(shì)能為已挖去小面元為求電場(chǎng)力設(shè)想將球表面擴(kuò)大！由功能關(guān)系有由此得設(shè)想將球殼的半徑擴(kuò)大為（R+dR）.靜電勢(shì)能的增量為再求上、下半個(gè)球殼間的靜電力：如圖，設(shè)兩球殼的界面為S′,半球殼表面為S.單位面積的球殼所受的靜電力為2.能不能考慮直接讓兩半球殼分開一個(gè)微元距離dx（如圖）而求出兩半球殼間的靜電力？題后思考1.能否用其他方法求球面上的場(chǎng)強(qiáng)?求圓環(huán)的電場(chǎng)對(duì)細(xì)線的作用力還是求細(xì)線的電場(chǎng)對(duì)圓環(huán)的作用力？

一半徑為R的均勻帶正電細(xì)圓環(huán)，帶有電荷q.在圓環(huán)的軸線上，有一根很長(zhǎng)的均勻帶正電細(xì)線，其一端與環(huán)心重合，