華南理工大學(xué)自動化科學(xué)與工程學(xué)院《移動機(jī)器人學(xué)》

華南理工大學(xué)自動化科學(xué)與工程學(xué)院第八章神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運動規(guī)劃與控制

8.3軌跡跟蹤理論基礎(chǔ)兩輪差分移動機(jī)器人系統(tǒng)，是一種典型的非完整系統(tǒng)，其軌跡跟蹤控制問題的求解仍得到很多人的研究分析。軌跡跟蹤控制方法主要以運動學(xué)方程，或同時考慮機(jī)器人的動力學(xué)建立機(jī)器人控制模型，采用非線性控制方法實現(xiàn)。在移動機(jī)器人的軌跡跟蹤控制方法上主要分為傳統(tǒng)控制方法、現(xiàn)代控制方法和智能控制方法三種，常用的方法有滑?？刂啤⒆赃m應(yīng)控制、反演控制、預(yù)測模型控制等。8.4軌跡跟蹤模型兩輪差分移動機(jī)器人運動學(xué)模型如下：8.4軌跡跟蹤模型由圖8-1可知，世界坐標(biāo)系XOY與機(jī)器人坐標(biāo)系XbObYb

的角度差為θ，則兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為在坐標(biāo)系中機(jī)器人的位姿狀態(tài)誤差為8.4軌跡跟蹤模型對位姿誤差

Xe進(jìn)行求導(dǎo)得在坐標(biāo)系中機(jī)器人的位姿狀態(tài)誤差為將上式轉(zhuǎn)化成矩陣形式，移動機(jī)器人軌跡跟蹤的非線性模型為8.4軌跡跟蹤模型對機(jī)器人位姿誤差導(dǎo)數(shù)式進(jìn)行線性化，得到移動機(jī)器人軌跡跟蹤的線性化模型：其中，ue為重新定義機(jī)器人的控制量，即根據(jù)對運動學(xué)位姿誤差方程的計算求解，得到恰當(dāng)?shù)目刂屏枯斎?，對移動機(jī)器人指定的參考軌跡進(jìn)行跟蹤控制，實現(xiàn)機(jī)器人的位姿狀態(tài)誤差為8.5模型預(yù)測控制基于歐拉公式，對式（8-7）進(jìn)行離散化得式中，由于式（8-9）中的控制輸入是對移動機(jī)器人線速度和角速度的直接控制，無法對線速度和角速度進(jìn)行精確的增量控制，從而無法保證控制過程中的增量突變。因此，對系統(tǒng)k+1時刻的狀態(tài)空間重新定義為8.5模型預(yù)測控制系統(tǒng)控制量重新定義為根據(jù)新的狀態(tài)空間（8-10）和模型控制量（8-11），忽略移動機(jī)器人中的擾動，機(jī)器人的跟蹤誤差系統(tǒng)為其中，η(k)為k時刻的系統(tǒng)輸出，8.5模型預(yù)測控制根據(jù)k時刻的機(jī)器人狀態(tài)量ξ(k)和控制量?u(k)，基于式（8-12），可求解在未來的{k,k+1,k+2,···,k+j,···,k+Nc}時間域中的系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)，即其中，ξ(k+j|k)表示在當(dāng)前時刻k下預(yù)測k+j時刻的機(jī)器人狀態(tài)量；Nc>0為預(yù)測時間域的步長。系統(tǒng)加入預(yù)測的控制量輸出為8.5模型預(yù)測控制具體地，系統(tǒng)在預(yù)測時域為Nc?1、控制時域為Nc的情況下，基于k時刻的狀態(tài)量ξ(k|k)，預(yù)測的狀態(tài)空間（8-13）可以根據(jù)控制量空間（8-14）進(jìn)行預(yù)測估計：8.5模型預(yù)測控制將式（8-15）整理為矩陣形式得其中，8.5模型預(yù)測控制在求解式（8-15）所述問題時需要考慮控制量和控制增量約束，因此，可以將式（8-15）的求解轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，具體如下：其中，結(jié)合式（8-17）和優(yōu)化問題得8.5模型預(yù)測控制定義E(k)=Ψξ(k)?Ψξr(k)=Ψξ(k)?Yref(k)，則Y(k)?Yref(k)=E(k)+Φ?U(k)，代入式（8-18）并展開得聯(lián)合式（8-19）和約束（8-21），并轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃優(yōu)化問題8.6變參遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)首先，將二次規(guī)劃優(yōu)化問題（8-22）的雙邊約束轉(zhuǎn)化為單邊約束，得

其次，定義懲罰函數(shù)為8.6變參遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于設(shè)計的懲罰函數(shù)P(?U)，將具有不等式約束的二次規(guī)劃問題（8-25）轉(zhuǎn)化為無不等式約束的二次規(guī)劃問題對式（8-28）進(jìn)行求解，對?U求導(dǎo)得最后，整理式（8-29），得到待求解的線性時變方程問題：8.6變參遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為了求解得到的線性時變方程問題（8-30），首先定義誤差函數(shù)：參考之前的變參神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)設(shè)計(Varying-ParameterNeuralDynamicDesign,VP-NDD)法則，即當(dāng)誤差函數(shù)對時間t的一階導(dǎo)數(shù)小于零，誤差函數(shù)e(t)最終可以收斂到零，其一階導(dǎo)數(shù)設(shè)計為8.6變參遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為了實現(xiàn)誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)保持小于零，激活函數(shù)F(·)必須是單調(diào)且遞增的奇函數(shù)形式，常用的四種符合條件的激活函數(shù)如下。（1）線性激活函數(shù)（2）sigmoid型激活函數(shù)（3）冪型激活函數(shù)（4）冪sigmoid型激活函數(shù)8.6變參遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將式（8-32）代入式（8-31）得合并式（8-37）中的同類項，可以得到最終的PVG-RNN為為了進(jìn)一步得到模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，將其第i項展開：8.6變參遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從圖8-2可以看到，本章所設(shè)計的PVG-RNN是一種單層全連接結(jié)構(gòu)的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，屬于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的一種，可以用常微分方程來描述。8.7計算機(jī)仿真驗證為了分析不同激活函數(shù)對模型性能的影響，在PVG-RNN模型中應(yīng)用了三種不同的激活函數(shù)(線性、冪型和冪sigmoid型)。8.7計算機(jī)仿真驗證經(jīng)過前兩節(jié)的討論，選擇冪型函數(shù)為激活函數(shù)，采樣間隔τ設(shè)為0.05s，預(yù)測時域NC步長設(shè)為20，機(jī)器人初始狀態(tài)為[1.1,0.95,0.8]，初始控制量為[0,0]。8.7計算機(jī)仿真驗證為了驗證該算法在不同初始位置和角度下的8字形軌跡跟蹤效果，進(jìn)行了4次不同初始狀態(tài)的實驗。初始位置和角度[x,y,θ]分別為[1.1,0.9,0.8]、[1.1,0.9,1.0]、[1.1,0.95,0.8]、[1.15,0.9,0.8]。8.7計算機(jī)仿真驗證與基于LVI-PDNN的方法相比，該方法具有更小的狀態(tài)誤差和更少的計