PAGE2-[練案43]其次講空間幾何體的表面積與體積A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·廣東六校聯(lián)盟聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(A)A．π＋eq\f(\r(3),3) B．2π＋eq\f(\r(3),3)C．2π＋eq\r(3) D．π＋eq\r(3)[解析]由三視圖知，該幾何體由圓柱與三棱錐組合而成，其體積為π＋eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×eq\r(3)＝π＋eq\f(\r(3),3).故選A.2．(2024·高考全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(B)A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－(eq\f(1,2))2＝eq\f(3,4)，所以，圓柱的體積V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故選B.3．(2024·甘肅蘭州部分校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(A)A．(9＋eq\r(5))π B．(9＋2eq\r(5))πC．(10＋eq\r(5))π D．(10＋2eq\r(5))π[解析]由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐，且圓錐的高是圓柱高的一半．故該幾何體的表面積S＝π×12＋4×2π＋π×eq\r(22＋12)＝(9＋eq\r(5))π.4．(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(C)A．2 B．4C．6 D．8[解析]由三視圖可知該幾何體是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底邊的長分別為1cm,2cm，高為2cm，直四棱柱的高為2cm，故直四棱柱的體積V＝eq\f(1＋2,2)×2×2＝6cm3.5．(2024·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(D)A．60 B．30C．20 D．10[解析]由該幾何體的三視圖可得它的直觀圖為長、寬、高分別為5,3,4的長方體中的三棱錐A－BCD，如圖所示．故該幾何體的體積是V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×5×3)×4＝10.故選D.6．(2024·貴州安順聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(A)A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)[解析]由三視圖知該幾何體的底面為正方形(對(duì)角線長為2)且有一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐，其高為2，∴該幾何體的體積為eq\f(1,3)×(2×1)×2＝eq\f(4,3)，故選A.7．(2024·湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為(C)A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4[解析]由三視圖可知幾何體為棱長為1的正方體的內(nèi)接正四面體，如圖，又AD＝eq\r(2)，∴S表面積＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2eq\r(3).故選C.8．(2024·廣東佛山質(zhì)檢)已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使點(diǎn)A，D重合，記為點(diǎn)P，則幾何體P－BCE的外接球表面積為(C)A．10π B．5πC．eq\f(5π,2) D．eq\f(5\r(5)π,12)[解析]由題意翻折可得幾何體P－BCE中：PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE.即三棱錐可以補(bǔ)成以PB，PC，PE為棱的長方體，其對(duì)角線為外接球的直徑：eq\r(12＋12＋\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(10),2)，故r＝eq\f(\r(10),4)，∴外接球的表面積為：4×π×eq\f(10,16)＝eq\f(5π,2)，故選C.9．(2024·陜西漢中質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，其五個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若四棱錐P－ABCD的側(cè)面積等于4(1＋eq\r(2))，則該外接球的表面積是(B)A．4π B．12πC．24π D．36π[解析]依據(jù)三視圖可在棱長為a的正方體中得到直觀圖，是一個(gè)四棱錐P－ABCD，如圖所示：則四棱錐的側(cè)面積為：S△PAB＋S△PAD＋S△PBC＋S△PDC＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a·eq\r(2)a＋eq\f(1,2)a·eq\r(2)，依據(jù)已知側(cè)面積可得：(eq\r(2)＋1)a2＝4(eq\r(2)＋1)，解得：a＝2，設(shè)PC的中點(diǎn)為O，則OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋22)＝eq\r(3)，所以四棱錐的外接球的半徑R＝eq\r(3)，所以該外接球的表面積為4πR2＝4π×(eq\r(3))2＝12π，故選B.二、多選題10．一個(gè)透亮密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則水面在容器中的形態(tài)可以是(BCD)A．三角形 B．長方形C．正方形 D．正六邊形11．(原創(chuàng))兩直角邊長分別為6、8的直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積可能為(ABC)A．96π B．128πC．eq\f(384,5)π D．eq\f(100π,3)12．(2024·陜西商洛期末改編)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的O球面上，若球OA．10 B．12eq\r(2)C．16 D．18[解析]設(shè)球O的半徑為R，則4πR2＝12π，得R＝eq\r(3).設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為h，則正四棱柱的體對(duì)角線即為球O的直徑，則有eq\r(2x2＋h2)＝2R＝2eq\r(3)，即2x2＋h2＝12，由基本不等式可得12＝2x2＋h2≥2eq\r(2)xh，xh≤3eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)h＝eq\r(2)x時(shí)，等號(hào)成立，因此，該四棱柱的側(cè)面積為4xh≤4×3eq\r(2)＝12eq\r(2)，即四棱柱的側(cè)面積得取值范圍為(0，12eq\r(2)]，故選ABC.三、填空題13．(2024·天津高考)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為eq\f(1,3).[解析]本題主要考查正方體的性質(zhì)和四棱錐的體積．四棱錐的底面BB1D1D為矩形，其面積為1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又點(diǎn)A1究竟面BB1D1D的距離，即四棱錐A1－BB1D1D的高為eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱錐A1－BB1D1D的體積為eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).另解：VA1－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA1－ABD＝eq\f(2,3)VABD－A1B1D1＝eq\f(1,3).14．(2024·海南天一大聯(lián)考)已知圓錐的母線長為3，底面半徑為1，則該圓錐的體積為eq\f(2\r(2)π,3)，設(shè)線段AB為底面圓的一條直徑，一質(zhì)點(diǎn)從A動(dòng)身，沿著圓錐的側(cè)面運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)后再回到A點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的最短長度為__6__.[解析]圓錐的高為eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，∴V圓錐＝eq\f(π,3)×2eq\r(2)×12＝eq\f(2\r(2)π,3)，圓錐底面周長為2π，側(cè)面綻開圖扇形的圓心為eq\f(2π,3)，如圖，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑為虛線所示的折線，長度為6.15．(2024·遼寧省朝陽市重點(diǎn)中學(xué)模擬)表面積為4eq\r(3)的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為eq\r(6)π.[解析]如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，設(shè)正四面體棱長為a，則4×eq\f(\r(3),4)a2＝4eq\r(3)，解得a＝2，∴正方體的棱長是eq\r(2)，又∵球的直徑是正方體的對(duì)角線，設(shè)球半徑是R，∴2R＝eq\r(6)，∴R＝eq\f(\r(6),2)，∴球的體積為eq\f(4,3)π(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π.故答案為：eq\r(6)π.B組實(shí)力提升1．(2024·吉林市五地六校適應(yīng)性考試)若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的外接球的表面積為__8π__.[解析]作出圓柱與其外接球的軸截面如下：設(shè)圓柱的底面圓半 徑為r，則BC＝2r，所以軸截面的面積為S正方形ABCD＝(2r)2＝4，解得r＝1，因此，該圓柱的外接球的半徑R＝eq\f(BD,2)＝eq\r(2)，所以球的表面積為S＝4π(eq\r(2))2＝8π.故答案為8π.2．(2024·山東維坊期末)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)，過A，C，K三點(diǎn)作正方體的截面，若K為棱A1B1的中點(diǎn)，則截面面積為eq\f(9,8)，若截面把正方體分成體積之比為2︰1的兩部分，則eq\f(A1K,KB1)＝eq\f(\r(5)－1,2).[解析]K為A1B1的中點(diǎn)時(shí)，截面為ACMK(M為B1C1的中點(diǎn))是等腰梯形，且KM＝eq\f(\r(2),2)，AK＝CM＝eq\f(\r(5),2)，AC＝eq\r(2)，SACMK＝eq\f(9,8).若截面把正方體分成體積為2︰1的兩部分時(shí)，VK－BCMB1＝eq\f(a＋1a,6)＝eq\f(1,6)，(B1K＝B1M＝a)，解得a＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴KB1＝1－a＝eq\f(3－\r(5),2).∴eq\f(A1K,KB1)＝eq\f(3－\r(5),\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)－1,2).3．(2024·江西上饒二模)已知下圖為某幾何體的三視圖，則其體積為(C)A．π＋eq\f(2,3) B．π＋eq\f(1,3)C．π＋eq\f(4,3) D．π＋eq\f(3,4)[解析]幾何體為半圓柱與四棱錐的組合體(如圖)，半圓柱的底面半徑為1，高為2，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為1，故幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,3)×22×1＝π＋eq\f(4,3).故選C.4．(2024·江西九江一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(D)A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．4 D．eq\f(16,3)[解析]如圖，依三視圖知該幾何體為正方體中的三棱錐D－ABC，連接DF，過A作AE⊥DF，則AE為底面DBC上的高，由三視圖可得S△DBC＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，AE＝eq\r(2)，所以其體積V＝eq\f(1,3)×8eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(16,3).故選D.5．(2024·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱