4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3電容元件和電感元件4.4三種元件伏安特性的相量形式4.5RLC串聯(lián)電路4.6正弦交流電路的功率實訓二R、L、C的串聯(lián)電路小結習題第4章正弦交流電路4.1.1正弦量的三要素

以正弦電流為例，對于給定的參考方向，正弦量的一般函數(shù)解析式為

i(t)=Imsin(ωt+φ)

(4－1)

其波形圖如圖4－1所示。4.1正弦量的基本概念圖4－1正弦量的波形圖

1.瞬時值和振幅值

交流量任一時刻的值稱為瞬時值。瞬時值中的最大值(指絕對值)

稱為正弦量的振幅值，又稱峰值。Im、Um分別表示正弦電流、電壓的振幅值。

2.周期和頻率

正弦量變化一周所需的時間稱為周期，通常用“T”表示，單位為秒(s)。實用單位有毫秒(ms)、微秒(μs)、納秒(ns)。正弦量每秒變化的次數(shù)稱為頻率，用“f”表示，單位為赫茲(Hz)。周期和頻率互成倒數(shù)，即f=。

3.相位、角頻率和初相

正弦量解析式中的ωt+φ稱為相位角或電工角，簡稱相位或相角。正弦量在不同的瞬間有著不同的相位，因而有著不同的狀態(tài)(包括瞬時值和變化趨勢)。相位的單位一般為弧度(rad)。

相位角變化的速度=ω稱為角頻率，其單位為rad/s。相位變化2π，經歷一個周期T，那么

(4－2)由式(4－2)可見，角頻率是一個與頻率成正比的常數(shù)。由此，正弦電流還可表示為

i(t)=Imsin(2πft+φ)=Imsin

t=0時，相位為φ，稱其為正弦量的初相。此時的瞬時值i(0)=Imsinφ，稱為初始值，如圖4－2(a)所示。圖4－2計時起點的選擇

當φ=0時，正弦波的零點就是計時起點，如圖4－2(a)所示；當φ>0時，正弦波的零點在計時起點之左，其波形相對于φ=0的波形左移φ角，如圖4－2(b)所示，φ=；當φ<0時，正弦波的零點在計時起點之右，其波形相對于φ=0的波形右移|φ|角，如圖4－2(c)所示,φ=

以上確定φ角正負的零點均指離計時起點最近的那個零點。在圖4－3中，確定φ角的零點是A點而不是B點，φ=-90°而不是270°。圖4－3初相的規(guī)定

【例4－1】

圖4－4給出了正弦電壓u1和正弦電流i2的波形。u1和i2的最大值分別為300mV和5mA，頻率都為1kHz，角頻率為2000πrad/s，初相分別為。

(1)寫出u1和i2的解析式并求出它們在t=100ms時的值。(2)寫出i1的解析式并求出t=100ms時的值。圖4－4例4－1波形圖

解

u1和i2的最大值分別為300mV和5mA，頻率都為1kHz，角頻率為2000πrad/s，初相分別為。它們的解析式分別為

(1)t=100ms時，u1、i2分別為(2)

圖4－5同頻率的兩個正弦量

4.1.2相位差

1．相位差

設有任意兩個相同頻率的正弦電流，其表達式分別為

i1=Im1(sinωt+φi1)

i2=Im2(sinωt+φi2)

其波形如圖4－5所示。它們之間的相位之差稱為相位差，用φ(或φ帶雙下標)表示為

φ=(ωt+φi1)-(ωt+φi2)=φi1-φi2

對于

u(t)=Umsin(ωt+φu)

i(t)=Imsin(ωt+φi)

電壓u與電流i的相位差為

φ(或φui)=φu-φi

【例4－2】

求兩個正弦電流i1(t)=-14.1sin(ωt-120°)，i2(t)=7.05cos(ωt-60°)的相位差φ12。

解把i1和i2寫成標準的解析式，求出二者的初相，再求出相位差。

i1(t)=14.1sin(ωt-120°+180°)=14.1sin(ωt+60°)A

i2(t)=7.05sin(ωt-60°+90°)=7.05sin(ωt+30°)A

φ1=60°,φ2=30°

φ12=φ1-φ2=60°-30°=30°4.1.3正弦量的有效值

交流電的有效值是根據(jù)它的熱效應確定的。如果某一交流電流和一直流電流分別通過同一電阻R，在一個周期T內所產生的熱量相等，那么這個直流電流I的數(shù)值叫做交流電流的有效值。由此得出

所以，交流電流的有效值為

(4－3)

同理，交流電壓的有效值為

(4－4)

對于正弦交流電流i(t)=Imsin(ωt+φ)，代入式(4－3)，它的有效值為

同理：(4－5)

【例4－3】

一個正弦電流的初相角為60°，在T/4時電流的值為5A，試求該電流的有效值。

解該正弦電流的解析式為

i(t)=Imsin(ωt+60°)A

由已知得

5=Imsin(ωt+60°)A或則

對應的有效值為4.2.1正弦量的表示方法

如上節(jié)所述，一個正弦量具有幅值、頻率及初相三個特征，這些特征可以用一些方法表示出來。4.2正弦量的相量表示法圖4－6正弦量的波形圖

正弦量的各種表示方法是分析與計算正弦交流電路的工具。

正弦交流電的表示方法有三種：三角函數(shù)法、波形圖法及相量表示法。

(1)三角函數(shù)法：

i=Imsin(ωt+φ)

(2)波形圖法如圖4－6所示。

(3)相量表示法：

=U∠φ4.2.2用旋轉有向線段表示正弦量

設有一正弦電壓u=Umsin(ωt+φ)，其波形如圖4－7右圖所示，左圖是直角坐標系中的一旋轉有向線段。有向線段的長度代表正弦量的幅值Um，它的初始位置(t=0時的位置)

與橫軸正方向之間的夾角等于正弦量的初相位φ,并以正弦量的角頻率ω作逆時針方向旋轉?？梢?，這一旋轉有向線段具有正弦量的三個特征，故可用來表示正弦量。正弦量的

某時刻的瞬時值就可以由這個旋轉有向線段于該瞬時在縱坐標軸上的投影表示出來。圖4－7正弦量的相量圖

4.2.3正弦量的相量表示

相量表示法的基礎是復數(shù)，就是用復數(shù)來表示正弦量。正弦量可用旋轉有向線段表示，而有向線段可用復數(shù)表示，所以正弦量也可用復數(shù)來表示。

令一直角坐標系的橫軸表示復數(shù)的實部，稱為實軸，以+1為單位；縱軸表示虛部，稱為虛軸，以+j為單位。實軸和虛軸構成的平面稱為復平面。設A為復數(shù)，如圖4－8所示，

其表示形式如下：

A=a+jb圖4－8復數(shù)表示正弦量

由歐拉公式：

可得：

ejφ=cosφ+jsinφ

A可寫成指數(shù)式：

A=rejφ

或簡寫為

A=r∠φ

以上可歸結為

A=a+jb=rcosφ+jrsinφ=rejφ=r∠φ

【例4－4】

已知正弦電壓u1(t)=141sin(ωt+π/3)V，u2(t)=70.5sin(ωt-π/6)V，寫出u1和u2的相量，并畫出相量圖。

解

相量圖如圖4－9所示。圖4－9例4－4電路圖

4.2.4兩個同頻率正弦量之和

1.兩個同頻率正弦量的相量之和

同頻率的兩個正弦量相加，得到的仍然是一個同頻率的正弦量。

設有兩個同頻率正弦量:

利用三角函數(shù)，可以得出它們之和為同頻率的正弦量，即

u(t)=u1(t)+u2(t)=

Usin(ωt+φ)

其中:

可以看出，要求出同頻率正弦量之和，關鍵是求出它的有效值和初相。

可以證明，若u=u1+u2

，則有

2.求相量和的步驟

(1)寫出相應的相量，并表示為代數(shù)形式。

(2)按復數(shù)運算法則進行相量相加，求出和的相量。

(3)作相量圖，按照矢量的運算法則求相量和。

兩個相量加減的三角形法則如圖4－10所示。圖4－11表示了多個相量加減的多邊形法則。圖4－10兩個相量加減的三角形法則

圖4－11多個相量加減的多邊形法則

4.3.1電容元件

1.電容元件

電容是以聚集電荷的形式，儲存電能的二端元件。它是一種電子元件，由絕緣體或電介質材料隔離的兩個導體組成。電容的電路參數(shù)用字母C表示。若在電容器兩極間加一直流電壓，則電源將向電容器充電，使電容器的兩極積聚數(shù)量相等、符號相反的電荷q，在兩極間建立電場并具有一定的電壓u。

電容元件是各種實際電容器的理想化模型，其符號如圖4－12(a)所示。4.3電容元件和電感元件圖4－12理想電容的符號和特性

2.電容元件的伏安特性

對于圖4－12(a)，當u、i取關聯(lián)參考方向時，結合式(4－6)，有

(4－7)

當u、i為非關聯(lián)參考方向時，有

電容的伏安特性說明：任一瞬間，電容電流的大小與該瞬間電壓的變化率成正比，而與這一瞬間電壓的大小無關。

對式(4－7)進行積分可求出某一時刻電容的電壓值。任選初始時刻t0以后，t時刻的電壓為

若取t0=0，則

3．電容元件的電場能

關聯(lián)參考方向下，電容吸收的功率為

(4－8)

電容元件從u(0)=0(電場能為零)增大到u(t)時，總共吸收的能量即t時刻電容的電場能量為

(4－9)

【例4－5】(1)2μF電容兩端的電壓由t=1μs時的6V線性增長至t=5μs時的50Ｖ，試求在該時間范圍內的電流值及增加的電場能。(2)原來不帶電荷的100μF的電容器，今予以充電，充電電流為1mA，持續(xù)時間為2s，求電容器充電后的電壓。假定電壓、電流都為關聯(lián)參考方向。

解

(1)由式(4－7)得

增加的電場能量為

(2)由式(4－8)和已知條件u(0)=0，求出2s末的電壓為

4．電容的串、并聯(lián)

(1)電容的并聯(lián)如圖4－13所示。圖中：

q=q1+q2+q3

對于線性電容元件，有：

q=Cu,q1=Cu1

q2=Cu2,q3=Cu3

代入電荷量關系式，得

Cu=(C1+C2+C3)u

C=C1+C2+C3

(4－10)圖4－13電容的并聯(lián)

(2)電容的串聯(lián)如圖4－14所示。圖中：

u=u1+u2+u3

對于線性電容元件，有：

代入電壓關系式，得

則

(4－11)圖4－14電容的串聯(lián)

由上式可知，串聯(lián)電容的等效電容的倒數(shù)等于各電容倒數(shù)之和。電容的串聯(lián)使總電容值減少。每個電容上的電壓為

兩個電容的分壓值為

圖4－15例4－6電路圖

【例4－6】

電容都為0.3μF，耐壓值同為250V的三個電容器C1、C2、C3的連接如圖4－15所示。試求等效電容。問端口電壓值不能超過多少?

解

C2、C3并聯(lián)等效電容為

C23=C2+C3=0.6μF

總的等效電容為4.3.2電感元件

1.電感元件

電感元件是實際電感線圈的理想化模型,其符號如圖4－16所示。

如圖4－16(a)所示，當在電感線圈中有交流電流i流過時，就會產生磁通Φ。國際單位制(SI)中，Φ的單位為韋(伯)。

電流i產生的磁通Φ與N匝線圈交鏈，則磁鏈Ψ=NΦ。

磁鏈Ψ總是與產生它的電流i成線性關系，即

Ψ=Li

(4－12)圖4－16電感元件的符號和特性

2．電感元件的伏安特性

根據(jù)電磁感應定律，感應電壓等于磁鏈的變化率。當電壓的參考極性與磁通的參考方向符合右手螺旋定則時，可得

當電感元件中的電流和電壓取關聯(lián)參考方向時，結合式(4－12)有

(4－13)

3.電感元件的磁場能

關聯(lián)參考方向下，電感吸收的功率為

電感電流從i(0)=0增大到i(t)時，總共吸收的能量即t時刻電感的磁場能量為

當電感的電流從某一值減小到零時，釋放的磁場能量也可按上式計算。在動態(tài)電路中，電感元件和外電路進行著磁場能與其他能的相互轉換，本身不消耗能量。

【例4－7】

電感元件的電感L=100mH，u和i的參考方向一致，i的波形如圖4－17(a)所示。

試求各段時間元件兩端的電壓uL，并作出uL的波形，計算電感吸收的最大能量。

解

uL與i所給的參考方向一致，各段感應電壓為：

(1)0～1ms間，

(2)1～4ms間，電流不變化，得uL=0。

(3)4～5ms間，

uL的波形如圖4－17(b)所示。圖4－17例4－7圖

4.4.1電阻元件伏安特性的相量形式

當電流流過金屬導體時，導體對電流的阻礙作用就稱為電阻，用字母R表示。其單位是歐姆，簡稱歐，符號是Ω。電阻元件具有消耗電能的性質(電阻性)，其他電磁性質均可忽略不計。

1．伏安特性

在圖4－18(a)中，設電流為

4.4三種元件伏安特性的相量形式

則有

上式表明：電阻兩端的電壓u和電流i為同頻率同相位的正弦量，它們之間的關系如下所示：

(4－14)

φi=0時u和i的波形如圖4－19所示。電阻上電壓相量和電流相量的關系為

根據(jù)式(4－14)畫出電阻的相量模型如圖4－18(b)所示，相量圖如圖4－18(c)所示。圖4－18電阻元件的相量模型及相量圖

2.功率

(1)瞬間功率。

關聯(lián)參考方向下電阻元件吸收的瞬時功率p=ui，為了計算方便，令φi=0，則

其波形如圖4－19所示。圖4－19電阻元件i、u、p的波形

(2)平均功率。

平均功率定義為瞬時功率p在一個周期T內的平均值，用大寫字母P表示，即

(4－15)

【例4－8】

一電阻R=100Ω，通過的電流i(t)=1.41sin(ωt-30°)A。試求：

(1)R兩端的電壓U和u；

(2)R消耗的功率P。

解

(1)

(2)R消耗的功率為

P=UI=1×100=100W

或

P=I2R=1×100=100W4.4.2電感元件伏安特性的相量形式

電阻為零的純電感元件，如果接到直流電源上，則電源被短路；如果接到交流電源上，情況就完全不同，變化的電流流過電感線圈時，將使其中的磁通Φ發(fā)生變化，從而在線圈中產生自感電動勢。

1．伏安特性

在圖4－20(a)中，設通過電感元件的電流為

i(t)=

Isin(ωt+φi)即

(4－16)

其中，XL稱為感抗，單位為歐姆，即

XL=ωL=2πfL=圖4－20電感元件的相量模型及相量圖

2.功率

(1)瞬時功率。

在關聯(lián)參考方向下，當φi=0時，電感吸收的瞬時功率為

(4－18)

由上式可知，瞬時功率的最大值為UI或I2XL。電感元件i、u、p的波形如圖4－21所示。圖4－21電感元件i、u、p的波形

(2)平均功率。

(3)無功功率。

為了衡量電感與外部交換能量的規(guī)模，在此引入無功功率QL(單位V·A)，即

(4－19)

【例4－9】

流過0.1H電感的電流為

i(t)=15

sin(200t+10°)A

試求關聯(lián)參考方向下電感兩端的電壓u、無功功率及磁場能量的最大值。4.4.3電容元件伏安特性的相量形式

交流電路中，當電壓發(fā)生變化時，電容器極板上的電荷也要隨著發(fā)生變化，在電路中就會引起電流。

1．伏安特性

在圖4－22(a)中，設加在電容兩端的電壓為u=

Usin(ωt+φu)dt，則上式表明：電容電流和端電壓是同頻率的正弦量，電流超前電壓90°。用XC表示1/(ωC)后，電流和電壓的關系為

或

(4－20)其中，XC稱為容抗，單位為歐姆，即

(4－21)圖4－22電容元件的相量模型及相量圖

2.功率

(1)瞬時功率。

由上式可知，瞬時功率的最大值為UI或I2XC。電容元件u、i、p的波形如圖4－23所示。圖4－23電容元件u、i、p的波形

4.5.1電壓與電流的關系

1.電壓三角形

R、L、C串聯(lián)電路及其相量模型如圖4－24所示。先選擇參考相量，選擇的方法是選已知量或公共量。在串聯(lián)電路中，電流是公共量，所以取電流的相量為參考相量，設

=I∠0°作出相量圖，如圖4－25所示，圖中設UL>UC。4.5RLC串聯(lián)電路圖4－24RLC串聯(lián)電路的相量

圖4－25RLC串聯(lián)電路的相量圖

顯然，、、組成一個直角三角形，稱為電壓三角形。由電壓三角形可得

U也可以寫成相量形式，即

(4－23)

2.阻抗三角形

由式(4－23)可得：

Z=R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

其中X=XL-XC稱為電抗，|Z|和φ分別稱為復阻抗的模和阻抗角，其關系如下所示：(4－24)

(4－25)

顯然|Z|、R、X也組成一個直角三角形，稱為阻抗三角形，與電壓三角形相似。設端口電壓、電流的相量分別為

由上式可得

(4－26)4.5.2電路的三種性質

RLC串聯(lián)電路的電抗為

X=XL+XC=ωL-

RLC串聯(lián)電路有以下三種性質：

(1)當ωL>1/(ωC)時，X>0，φ>0，UL>UC，UX超前電流90°，端口電壓超前電流；電路呈感性，相量圖如圖4－25(a)所示。

【例4－11】

圖4－26(a)所示為RC串聯(lián)移相電路，u為輸入正弦電壓，uC為輸出電壓。已知C=0.01μF，u的頻率為6000Hz，有效值為1V。欲使輸出電壓比輸入電壓滯后60°，試問應選配多大的電阻R?在此情況下，輸出電壓多大?圖4－26例4－11電路圖

4.6.1有功分量和無功分量

1.電壓的有功分量和無功分量

對于圖4－27(a)所示的無源二端網絡，定義出關聯(lián)參考方向下的復阻抗為

Z=R+jX

4.6正弦交流電路的功率相量圖如圖4－27(b)所示。與同相的叫做電壓的有功分量，其模Ua=Ucosφ就是二端網絡等效電阻R上的電壓，它與電流的乘積UaI=UIcosφ=P就是網絡吸收的有功功率。

另一個與相差90°的叫做電壓的無功分量，其模Ur=Usinφ就是網絡的等效電抗X上的電壓，它與電流的乘積UrI=UIsinφ就是網絡吸收的無功功率，如圖4－27(c)所示。圖4－27電壓電流相量的分解

4.6.2有功功率、無功功率和視在功率

由前面的分析可知，二端網絡端口電壓、電流的有效值分別為U、I，關聯(lián)參考方向下相位差為φ時，吸收的有功功率即平均功率如下所示：

P=UIcosφ

(4－27)

吸收的無功功率即交換能量的最大速率如下所示：

Q=UIsinφ

(4－28)

S表示在電壓U和電流I的作用下，電源可能提供的最大功率。為了與平均功率相區(qū)別，它的單位不用瓦，而用伏·安(V·A)常用的單位還有千伏·安(kV·A)。式(4－29)中的P、Q、S可組成一個直角三角形，它與電壓三角形相似，稱其為功率三角形，如圖4－28所示。圖4－28功率三角形

4.6.3功率因數(shù)的提高

1．功率因數(shù)的定義

式(4－27)中決定有功功率大小的參數(shù)cosφ稱為功率因數(shù)，用λ表示:

λ=cosφ=

(4－30)

功率因數(shù)的大小取決于電壓與電流的相位差，故把φ角也稱為功率因數(shù)角。提高感性負載功率因數(shù)的常用方法之一是在其兩端并聯(lián)電容器。感性負載并聯(lián)電容器后，它們之間相互補償，進行一部分能量交換，減少了電源和負載間的能量交換。這時電感性負載所需的無功功率，大部分或全部都是就地供給(由電容器供給)，即能量的互換主要或完全發(fā)生在電感性負載與電容器之間。感性負載提高功率因數(shù)的原理可用圖4－29來說明。由圖可見，并聯(lián)電容器后線路電流減小了(電流相量相加)，因而減小了功率損耗。圖4－29提高功率因數(shù)的原理

一、實驗目的

(1)學習單相功率表和單相調壓器的使用方法。

(2)驗證鐵芯線圈的伏安特性。

(3)驗證交流串聯(lián)電路中總電壓與分電壓的關系。

實訓二R、L、C的串聯(lián)電路二、實訓要點

1.單相功率表的介紹和使用

單相功率表(又稱伏特表)是一種直接測量功率的儀表。本實驗我們所使用的是D-26W型功率表。表中有兩個線圈：一個是定圈，又稱電流線圈，由匝數(shù)不多的粗線繞成，

并與負載串聯(lián)，用粗線表示；另一個是動圈，又稱電壓線圈，由匝數(shù)較多的細線繞成，并與負載并聯(lián)，用垂直的細線表示，如圖4－30所示。圖4－30單相功率表原理圖

功率表通常都是多量限，D26-W型功率表有兩個電流量限，三個電壓量限。

(1)電流線圈由兩個完全相同的繞組構成，分別使這兩個線圈串聯(lián)或并聯(lián)，就可以轉換電流量限，如圖4－31所示。

(2)電壓線圈串聯(lián)不同的附加電阻時，電壓量限也就改變，如圖4－32所示。

圖中，V*為共同端，另一個接線端可根據(jù)不同量程進行選擇。

功率表在電路中的圖形符號如圖4－33所示。圖4－31單相功率表的接線方式

圖4－32電壓量程接線點

圖4－33功率表的符號

【例4－12】

一電感性負載，功率約為60W，額定電壓為220V，功率因數(shù)為0.5，需要測量實際消耗的功率，應怎樣選擇量限？

解因負載電壓為220V，所用功率表的量限應大于220V，即電壓量限選擇為300V。

負載電流可按下式算出：

故電流量限應選擇1A。

選擇1A時的接線如圖4－34所示。

假如負載為R，額定電壓為250V，則電流為0.5A時的接線如圖4－35所示。圖4－34選擇1A時的接線

圖4－35選擇0.5A時的接線調壓器繞組的接線如圖4－36所示。圖中A、X兩端的電壓為輸入電壓V1；a、x兩端的電壓為輸入電壓V2。圖4－36調壓器符號

三、儀表及設備四、實驗內容及步驟

(1)按照圖4－37連接好線路。圖4－37接線圖

(2)R、L、C串聯(lián)的交流電路如圖4－38所示。圖4－38

R、L、C串聯(lián)接線圖

1.正弦量的三要素及其表示

以正弦電流為例，在確定的參考方向下，它的解析式為

i(t)=Imsin(ωt+φi)=

Isin(2πft+φi)

其中振幅值Im(有效值I)、角頻率ω(或頻率f及周期Ｔ)、初相φi是決定正弦量的三要素。小結它們分別表示正弦量變化的范圍、變化的快慢及初始狀態(tài)。根據(jù)正弦量的三要素，正弦電流也可以用波形圖來表示。正弦量的有效值相量I=∠φi只體現(xiàn)了三要素中的兩個要素。２.元件約束(伏安特性)和互聯(lián)約束(KCL和KVL)的相量式

(1)在關聯(lián)參考方向下：

(2)KCL：∑=0KVL：∑=0