第第頁特訓(xùn)10高一上期末壓軸題解答（江蘇期末精選）一、解答題1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)，其中.(1)判斷的奇偶性（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)，，定義函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)（，為實(shí)常數(shù)），，當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)常數(shù)的取值范圍；3．（23-24高一上·江蘇南京·期末）若存在實(shí)數(shù)對，使等式對定義域中每一個(gè)實(shí)數(shù)都成立，則稱函數(shù)為型函數(shù).(1)若函數(shù)是型函數(shù)，求的值；(2)若函數(shù)是型函數(shù)，求和的值；(3)已知函數(shù)定義在上，恒大于0，且為型函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）若對于實(shí)數(shù)，，關(guān)于的方程在函數(shù)y=fx的定義域上有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“可消點(diǎn)”.又若存在實(shí)數(shù)，，對任意實(shí)數(shù)，都為函數(shù)的“可消點(diǎn)”，則稱函數(shù)為“可消函數(shù)”，此時(shí)，有序數(shù)對稱為函數(shù)的“可消數(shù)對”.(1)若是“可消函數(shù)”，求函數(shù)的“可消數(shù)對”；(2)若為函數(shù)的“可消數(shù)對”，求的值；(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?，存在?shí)數(shù)，使得同時(shí)為該函數(shù)的“可消點(diǎn)”與“可消點(diǎn)”，求的取值范圍.5．（23-24高一上·江蘇常州·期末）中心對稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)，我們學(xué)過的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對稱函數(shù)，它的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若對，都有，則稱函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對稱中心.比如，函數(shù)就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為.(1)判斷是否為中心對稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；(2)若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，求的值；(3)判斷函數(shù)是否為中心對稱函數(shù)，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.6．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使得對內(nèi)的任意，，都有，則稱是“-利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)，是否為“2-利普希茲條件函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是“-利普希茲條件函數(shù)”，求的最小值；(3)設(shè)，若是“2024-利普希茲條件函數(shù)”，且的零點(diǎn)也是的零點(diǎn)，.證明：方程在區(qū)間上有解.7．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.(1)判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．(2)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（22-23高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)，.(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.9．（22-23高一上·江蘇徐州·期末）對于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的.(1)若是由“基函數(shù)和”生成的，求實(shí)數(shù)的值；(2)試?yán)谩盎瘮?shù)和”生成一個(gè)函數(shù)，使之滿足為偶函數(shù)，且.①求函數(shù)的解析式；②已知，對于區(qū)間上的任意值，，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.（注：.）10．（22-23高一上·江蘇淮安·期末）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，區(qū)間。若滿足條件：使在區(qū)間上的值域?yàn)?，則把稱為上的閉函數(shù).若滿足條件：存在一個(gè)常數(shù)，對于任意，如果，那么，則把稱為上的壓縮函數(shù).(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的壓縮函數(shù)，請寫出一個(gè)滿足條件的區(qū)間，并給出證明；(2)給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，，使是區(qū)間上的閉函數(shù)，若存在，請求出a，b的值，若不存在，請說明理由；(3)函數(shù)是區(qū)間上的閉函數(shù)，且是上的壓縮函數(shù)，求滿足題意的函數(shù)在上的一個(gè)解析式.11．（22-23高一上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若存在實(shí)數(shù)且，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.12．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)如果不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)如果函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求的最大值.13．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知非常值函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖谡龑?shí)數(shù)，使得，都有恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)？并說明理由；①；②.(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，求的最小值；14．（22-23高一上·江蘇南通·期末）已知指數(shù)函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．15．（22-23高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖像的一條對稱軸.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值.16．（22-23高一上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)，其中.(1)若，求解方程；(2)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)；(3)求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn).17．（22-23高一上·江蘇蘇州·期末）已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且．(1)求和的解析式；(2)若函數(shù)在上的值域?yàn)?，求正?shí)數(shù)a的值；(3)證明：對任意實(shí)數(shù)k，曲線與曲線總存在公共點(diǎn)．18．（22-23高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值，設(shè).(1)求、的值；(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；(3)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的范圍.19．（23-24高一上·江蘇泰州·期末）已知偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)從“①；②”兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的條件，使得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，并說明理由；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍特訓(xùn)10期末解答壓軸題（江蘇期末精選）一、解答題1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)，其中.(1)判斷的奇偶性（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，分和，兩種情況，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，分，和，三種情況討論，分別得到，即可得證；（3）設(shè)，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)大于0的零點(diǎn)，分，和，三種情況討論，轉(zhuǎn)化為在有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，列出不等式組，即可求解.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得且，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).（2）由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得，當(dāng)時(shí)，.（3）設(shè)，因?yàn)槭顷P(guān)于的單調(diào)增函數(shù)，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)大于0的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)為0，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膱D象的對稱軸為，所以在上遞增，所以在上至多有1個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)榈膱D象對稱軸為，所以在上至多有2個(gè)零點(diǎn)，問題等價(jià)于在有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3問解決的關(guān)鍵是先分析得，再分類討論去掉絕對值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)與根的分布即可得解.2．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)，，定義函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)（，為實(shí)常數(shù)），，當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)常數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象和題目要求寫出函數(shù)解析式，并求出值域.（2）由當(dāng)時(shí)，恒有可得:當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)恒成立.然后整理得到當(dāng)時(shí)恒成立.再根據(jù)單調(diào)性求最值，解決恒成立問題.【解析】（1）因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，因?yàn)闀r(shí)時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）由當(dāng)時(shí)，恒有可得:當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)恒成立.即當(dāng)時(shí)恒成立.即當(dāng)時(shí)恒成立.即當(dāng)時(shí)恒成立.即當(dāng)時(shí)恒成立.因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以在時(shí)取得最大值，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在時(shí)取得最小值，所以.3．（23-24高一上·江蘇南京·期末）若存在實(shí)數(shù)對，使等式對定義域中每一個(gè)實(shí)數(shù)都成立，則稱函數(shù)為型函數(shù).(1)若函數(shù)是型函數(shù)，求的值；(2)若函數(shù)是型函數(shù)，求和的值；(3)已知函數(shù)定義在上，恒大于0，且為型函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定的定義，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.（2）利用給定的定義，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.（3）利用新定義建立關(guān)系，再分段討論并借助函數(shù)不等式恒成立求解即得.【解析】（1）由是型函數(shù)，得，即，所以.（2）由是型函數(shù)，得，則，因此對定義域內(nèi)任意恒成立，于是，解得，所以.（3）由是型函數(shù)，得，①當(dāng)時(shí)，，而，則，滿足；②當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，于是恒成立，而函數(shù)在單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此；③當(dāng)時(shí)，，則，由，得，令，則當(dāng)時(shí)，，由②知，則只需時(shí)，恒成立，即恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.4．（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）若對于實(shí)數(shù)，，關(guān)于的方程在函數(shù)y=fx的定義域上有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“可消點(diǎn)”.又若存在實(shí)數(shù)，，對任意實(shí)數(shù)，都為函數(shù)的“可消點(diǎn)”，則稱函數(shù)為“可消函數(shù)”，此時(shí)，有序數(shù)對稱為函數(shù)的“可消數(shù)對”.(1)若是“可消函數(shù)”，求函數(shù)的“可消數(shù)對”；(2)若為函數(shù)的“可消數(shù)對”，求的值；(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?，存在?shí)數(shù)，使得同時(shí)為該函數(shù)的“可消點(diǎn)”與“可消點(diǎn)”，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）結(jié)合題目給的新的定義，求出的“可消數(shù)對”即可.（2）利用題目給的定義，根據(jù)為函數(shù)的“可消數(shù)對”，得到,都有，從而求出（3）結(jié)合題意得到關(guān)系：,利用進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到,求出結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是“可消函數(shù)”,所以,對,使得,整理得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,解得.經(jīng)檢驗(yàn),滿足條件,所以所求函數(shù)的“可消數(shù)對”為0,2.（2）因?yàn)闉楹瘮?shù)的“可消數(shù)對”,所以為函數(shù)的“可消數(shù)對”,所以,對,都有,整理得,所以,所以.（3）因?yàn)榇嬖?使得同時(shí)為函數(shù)的“可消點(diǎn)”與“可消點(diǎn)”,所以,化簡可得,因?yàn)閯t,所以,故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新結(jié)構(gòu)題目結(jié)合題目給的條件表示出是解決（3）的關(guān)鍵.5．（23-24高一上·江蘇常州·期末）中心對稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)，我們學(xué)過的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對稱函數(shù)，它的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若對，都有，則稱函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對稱中心.比如，函數(shù)就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為.(1)判斷是否為中心對稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；(2)若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，求的值；(3)判斷函數(shù)是否為中心對稱函數(shù)，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.【答案】(1)是中心對稱函數(shù)，對稱中心為(2)(3)是中心對稱函數(shù)，對稱中心為.【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論；（2）若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其對稱中心的橫坐標(biāo)必為，由可知，，即可得出的值；（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論．【解析】（1）根據(jù)題意，的定義域?yàn)?，，若對，都有，所以中心對稱函數(shù)，對稱中心為；（2）若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，明顯定義域僅關(guān)于點(diǎn)對稱，其對稱中心的橫坐標(biāo)必為，則，因?yàn)闉橹行膶ΨQ函數(shù)，則為定值，則，即，所以關(guān)于點(diǎn)對稱.（3）函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點(diǎn)解方程得，所以函數(shù)的定義域?yàn)槊黠@定義域僅關(guān)于點(diǎn)對稱所以若函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則其對稱中心橫坐標(biāo)必為設(shè)其對稱中心為點(diǎn)，則由題意可知有，令，可得，所以所以若函數(shù)為中心對稱圖形，其對稱中心必定為點(diǎn)下面論證函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形：即只需證明，，得證.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對稱性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱.6．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使得對內(nèi)的任意，，都有，則稱是“-利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)，是否為“2-利普希茲條件函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是“-利普希茲條件函數(shù)”，求的最小值；(3)設(shè)，若是“2024-利普希茲條件函數(shù)”，且的零點(diǎn)也是的零點(diǎn)，.證明：方程在區(qū)間上有解.【答案】(1)函數(shù)是“2-利普希茲條件函數(shù)”；函數(shù)不是“2-利普希茲條件函數(shù)”；(2)2(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)新定義得和，即可判斷；（2）由題知均有成立，不妨設(shè)，得恒成立，由，得，即可求解；（3）由題得，即，不妨設(shè)，根據(jù)零點(diǎn)的定義可得、，進(jìn)而，則，設(shè)，有，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可證明.【解析】（1）由題知，函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以，所以函數(shù)是“2-利普希茲條件函數(shù)”；函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)不是“2-利普希茲條件函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，則對于定義域上任意兩個(gè)，均有成立，不妨設(shè)，則恒成立，因?yàn)?，所以，得，所以的最小值?．（3）因?yàn)楹瘮?shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，由，得.因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，則，又是函數(shù)的零點(diǎn)，則，又，所以，而，故，設(shè)，，由，，得，由零點(diǎn)的存在性定理知函數(shù)在上有零點(diǎn)，即方程在上有解.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識解決新定義等相關(guān)問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識，緊緊抓住定義，構(gòu)造所需要達(dá)到的定義式，此類題目綜合性強(qiáng)，屬于難度題.7．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.(1)判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．(2)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)是，(2)【分析】（1）根據(jù)定義，結(jié)合單調(diào)性即可求解；（2）先求出的值域，然后將問題轉(zhuǎn)化為y=gx的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，然后對a【解析】（1）由定義可得，對任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），即，由，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在使成立，當(dāng)時(shí)，，且在1,4上單調(diào)遞增，故對于任意，都有唯一一個(gè)，使得，綜上所述，對于任意，都有唯一一個(gè)，使得，是的“重覆蓋函數(shù)”，且；（2）由可得，故，，即，存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，其中，由時(shí)，，故，即，故，故對任意x0∈0,+∞，即對任意，都有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，且在上遞增，故時(shí)，都有唯一確定的實(shí)根，故當(dāng)時(shí)，亦有且有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，為開口向下的拋物線，不符合要求，故舍去。當(dāng)時(shí)，則需對稱軸，且，即，且，即，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（22-23高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)，.(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】按照函數(shù)單調(diào)性的定義的證明步驟：設(shè)值，作差，變形，定號，下結(jié)論，即可證明；（2）先換元，再分離常數(shù)，最后再利用基本不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）采用作差法，結(jié)合基本不等式和指數(shù)函數(shù)的值域即可比較出大小.【解析】（1）解：，因?yàn)?，所以，，所以，即在上是增函?shù).（2）解：由已知設(shè)，由（1）得在上單調(diào)遞增，即，所以，①時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)要滿足恒成立，即，所以；②時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，即，此時(shí)要滿足恒成立，即，化簡得，此時(shí)因?yàn)椋藭r(shí)恒成立綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）解：因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以，即，由已知，所以，又因?yàn)?，所以，即，因此，所?9．（22-23高一上·江蘇徐州·期末）對于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的.(1)若是由“基函數(shù)和”生成的，求實(shí)數(shù)的值；(2)試?yán)谩盎瘮?shù)和”生成一個(gè)函數(shù)，使之滿足為偶函數(shù)，且.①求函數(shù)的解析式；②已知，對于區(qū)間上的任意值，，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.（注：.）【答案】(1)；(2)①；②.【分析】(1)根據(jù)題意，可得，化簡，利用對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求解；①設(shè)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得出，再結(jié)合，即可求出的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；②利用定義證明函數(shù)的單調(diào)，將式子化簡為，然后根據(jù)條件求解即可.【解析】（1）由已知，可得，則，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）①設(shè)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由，可得，整理可得，即，所以，所以對任意恒成立，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，故函?shù)的解析式為.②由①知.在內(nèi)任取，且，則，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，即，所以，即，所以函?shù)在上是增函數(shù)，同理可證，函數(shù)在上是減函數(shù).設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，有最大值，故的最小值為.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.10．（22-23高一上·江蘇淮安·期末）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，區(qū)間。若滿足條件：使在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t把稱為上的閉函數(shù).若滿足條件：存在一個(gè)常數(shù)，對于任意，如果，那么，則把稱為上的壓縮函數(shù).(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的壓縮函數(shù)，請寫出一個(gè)滿足條件的區(qū)間，并給出證明；(2)給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，，使是區(qū)間上的閉函數(shù)，若存在，請求出a，b的值，若不存在，請說明理由；(3)函數(shù)是區(qū)間上的閉函數(shù)，且是上的壓縮函數(shù)，求滿足題意的函數(shù)在上的一個(gè)解析式.【答案】(1)（答案不唯一，符合題意即可），證明見詳解(2)見詳解(3)（答案不唯一，符合題意即可），證明見詳解【分析】（1）取，，結(jié)合題意證明；（2）假定存在，根據(jù)的定義域、值域以及零點(diǎn)，分，兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)分析判斷；（3）取，，結(jié)合題意證明.【解析】（1）設(shè)，則函數(shù)是區(qū)間上單調(diào)遞增，不妨設(shè)任意，令，則，故，則，∵，則，∴，則，故函數(shù)是區(qū)間上的壓縮函數(shù).（2）不存在，理由如下：假定存在實(shí)數(shù)，，使是區(qū)間上的閉函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且函?shù)的零點(diǎn)為，則或，當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則可得，整理得，兩式相減得，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，則可得，即有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須滿足，解得，∵函數(shù)的零點(diǎn)為，符合題意；綜上所述：若，不存在實(shí)數(shù)，，使是區(qū)間上的閉函數(shù)；若，存在實(shí)數(shù)，，使是區(qū)間上的閉函數(shù).（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，故函?shù)是區(qū)間上的閉函數(shù)；不妨設(shè)任意，令，則，即，則函數(shù)是上的壓縮函數(shù)；綜上所述：函數(shù)是區(qū)間上的閉函數(shù)，且是上的壓縮函數(shù).11．（22-23高一上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若存在實(shí)數(shù)且，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在區(qū)間上是減函數(shù)，詳見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義按步驟證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可將問題變轉(zhuǎn)化為在上有兩解的問題，采用換元法，利用一元二次方程在給定區(qū)間有解的條件解答即可.【解析】（1）由題可得，在區(qū)間上是減函數(shù)，任取，且，則，則，由題設(shè)知，故，所以，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）由（1）知在區(qū)間上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以，所以在上有兩解，所以在上有兩解，令，則，則關(guān)于的方程在上有兩解，即在上有2解，所以，解得，所以的取值范圍為．12．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)如果不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)如果函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求的最大值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用換元法，令，將恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式，即可求得答案；（2）①將函數(shù)y=fx存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)問題，結(jié)合一元二次方程的根的分布，列出不等式組，即可求得答案；②將化為，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算和根與系數(shù)的關(guān)系，求出的最大值，即可求得答案.【解析】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，即為，則不等式恒成立，等價(jià)于函數(shù)在上恒成立，由于，故在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故；（2）①由于為增函數(shù)，故函數(shù)y=fx存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則，即，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；②由于，則，因?yàn)椋?，即，故的最大值為，則，當(dāng)取最大值時(shí)，取到最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)不等恒成立以及零點(diǎn)和最值問題，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答的難點(diǎn)在于根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求解最值問題，解答時(shí)要注意換元，減少變量，從而將兩變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.13．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知非常值函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖谡龑?shí)數(shù)，使得，都有恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)？并說明理由；①；②.(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，求的最小值；【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)新定義建立方程求解，即可判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；（2）根據(jù)函數(shù)新定義知恒成立，令，則對恒成立，根據(jù)和分類討論求得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的周期性建立不等式求解即可.【解析】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由如下：①假設(shè)具有性質(zhì)，即存在正數(shù)，使得恒成立，則對恒成立，則此時(shí)無解，故假設(shè)不成立，所以不具有性質(zhì).②取，則，即存在正數(shù)使對恒成立，所以具有性質(zhì)；（2）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，所以存在正數(shù)，使都有：恒成立，令，則對恒成立.下證若，取，則，矛盾，若，取，則，矛盾，所以.即，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，對恒成立，因?yàn)?，所以，所以的最小值?【點(diǎn)評】方法點(diǎn)睛：與函數(shù)的新定義有關(guān)的問題的求解策略：①通過給出一個(gè)新的函數(shù)的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；②遇到新函數(shù)問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決.14．（22-23高一上·江蘇南通·期末）已知指數(shù)函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的知識求得的解析式.（2）利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式求得的取值范圍.結(jié)合圖象、對稱性以及放縮法證得.【解析】（1）設(shè)（且），由于，所以，由于且，所以解得，所以.（2）（i），方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．即①有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以①化為②，對于函數(shù)，，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時(shí)，令，，，任取，，其中，，所以在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上遞增；由于是偶函數(shù)，所以在上遞減.所以的最小值是.所以方程②在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以的取值范圍是.（ii）由于是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以不妨設(shè)，所以要證明，即證明，即證明.設(shè)方程②的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為，則，，由整理得，解得（對應(yīng)，所以舍去），所以，則，，由于，所以，即，所以．【點(diǎn)睛】本題的主要難點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，涉及到了二次函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)以及函數(shù)的奇偶性.第二個(gè)難點(diǎn)是不等式的證明，首先根據(jù)奇偶性將所證明的不等式簡化，然后通過解復(fù)雜的指數(shù)方程，再結(jié)合基本不等式、放縮法等知識來證得結(jié)論成立.基本不等式的變形：，右側(cè)部分還可變形為.15．（22-23高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖像的一條對稱軸.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值.【答案】(1)(2)，.【分析】(1)由最小正周期得,由是其圖像的一條對稱軸得,進(jìn)而得答案；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而整理得，令，得，根據(jù)判別式得關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根且異號，再分當(dāng)且時(shí),當(dāng)?shù)?，?dāng)時(shí)，則，此時(shí),當(dāng)有一根絕對值大于1，則另一根絕對值大于0且小于1，四種情況討論求解.【解析】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，所以，得，由于，，則，因此，.（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，再將所得的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)為..令，可得，令，得，，則關(guān)于t的二次方程必有兩不等實(shí)根?，則，，異號.當(dāng)且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根，不合題意當(dāng)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，在區(qū)間上無實(shí)解，方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上有兩個(gè)根，因此，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有2020個(gè)根，在區(qū)間上有2022個(gè)根，不合題意當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于x的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，因此，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有2021個(gè)根，滿足題意.若有一根絕對值大于1，則另一根絕對值大于0且小于1，有偶數(shù)個(gè)根，不合題意綜上所述：，.16．（22-23高一上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)，其中.(1)若，求解方程；(2)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)；(3)求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)，(3)證明見解析【分析】（1）對方程變形，根據(jù)絕對值的定義分類討論，結(jié)合一元二次方程求解即可；（2）把求函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程的根的問題，根據(jù)絕對值的定義分類討論，結(jié)合一元二次方程求解即可；（3）分和取絕對值化簡函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷證明即可.【解析】（1）由題意，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即，，又，所以；當(dāng)時(shí)，，，方程無解，所以方程的解為.（2），當(dāng)即時(shí)，有，即，解得，所以，當(dāng)即時(shí)，有，所以，所以，解得或，所以，綜上：函數(shù)的零點(diǎn)為，.（3）當(dāng)即時(shí)，，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以無零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上無零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).17．（22-23高一上·江蘇蘇州·期末）已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且．(1)求和的解析式；(2)若函數(shù)在上的值域?yàn)?，求正?shí)數(shù)a的值；(3)證明：對任意實(shí)數(shù)k，曲線與曲線總存在公共點(diǎn)．【答案】(1)，(2)a(3)證明見詳解【分析】（1）利用解方程組法即可求得解析式.（2）構(gòu)造函數(shù)通過換元法利用二次函數(shù)的最值即可求得的值.（3）分類討論利用