PAGE1（北師大版）七年級上冊數(shù)學第4章：基本平面圖形章末重點題型復習題型一直線、射線、線段的表示方法1．（2023秋?東城區(qū)期末）下列四幅圖中，射線PA與射線PB是同一條射線的為（）A． B． C． D．【分析】表示射線可以用兩個大寫字母表示，端點在前．【解答】解：A．射線PA和射線PB不是同一條射線，故此選項錯誤，不符合題意；B．射線PA和射線PB不是同一條射線，故此選項錯誤，不符合題意；C．射線PA和射線PB是同一條射線，故此選項正確，符合題意；D．射線PA和射線PB不是同一條射線，故此選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了射線的表示方法，關鍵是要注意射線用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．2．（2023秋?廣陽區(qū)期末）如圖，下列說法錯誤的是（）A．直線AC還可以表示為直線CA或直線m B．射線AC與射線CA不是同一條射線 C．點B在直線m上 D．圖中有直線1條，射線4條，線段1條【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義與表示進行判斷作答即可．【解答】解：由題意知，直線AC還可以表示為直線CA或直線m，A正確，故不符合要求；射線AC與射線CA不是同一條射線，B正確，故不符合要求；點B不在直線m上，C錯誤，故符合要求；圖中有直線1條，射線4條，線段1條，D正確，故不符合要求；故選：C．【點評】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示以及數(shù)量問題．熟練掌握直線、射線、線段的定義與表示是解題的關鍵．3．（2023秋?蓮池區(qū)期末）下列說法：（1）兩點確定一條線段；（2）畫一條射線，使它的長度為3cm；（3）線段AB和線段BA是同一條線段；（4）射線AB和射線BA是同一條射線；（5）直線AB和直線BA是同一條直線．其中錯誤的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)，射線、直線、線段的定義逐項進行判斷即可．【解答】解：（1）兩點確定一條直線，也只能確定一條線段，因此（1）正確；（2）由于射線是無限長的，無法度量其長度，因此（2）不正確；（3）線段AB和線段BA是同一條線段，因此（3）正確；（4）射線AB和射線BA是兩條不同的射線，因此（4）不正確；（5）直線AB和直線BA是同一條直線，因此（5）正確，綜上所述，錯誤的結論有（2）（4），共2個，故選：B．【點評】本題考查直線、射線、線段，掌握直線、射線、線段的定義是正確判斷的關鍵．4．（2024秋?槐蔭區(qū)月考）下列說法錯誤的是（）A．直線l經(jīng)過點A B．點A在直線m上 C．直線a、b相交于點A D．射線CD與線段AB有交點【分析】根據(jù)點和直線的位置關系、兩條直線相交的性質(zhì)、射線與線段相交的性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：A、由圖得，直線l經(jīng)過點A，原說法正確，故此選項不符合題意；B、由圖得，點A在直線m外，原說法錯誤，故此選項符合題意；C、由圖得，直線a、b相交于點A，原說法正確，故此選項不符合題意；D、由圖得，射線CD與線段AB有交點，原說法正確，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了直線、射線、線段，熟知它們的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023秋?蘭陵縣期末）如圖，一根10cm長的木棒，棒上有三個刻度，把它作為尺子，量一次要量出一個長度，能量出的長度有（）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【分析】首先求出這根木棒上線段的條數(shù)，再根據(jù)5是中點即可得出答案．【解答】解：∵這根10cm長的木棒，棒上有三個刻度，∴這根木棒被三個刻度所分成的線段的條數(shù)為：1+2+3+4＝10（條），又∵5是中點，其余線段距離相等，∴量一次能量出的線段的條數(shù)是：10﹣1＝9（條）．故選：C．【點評】此題主要考查了線段的條數(shù)，將量一次能量出的線段的條數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的條數(shù)是解決問題的關鍵．6．（2023秋?昌黎縣期中）如圖，能用字母表示的直線有條；能用字母表示的線段有條；在直線EF上的射線有條．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的表示法即可得到．【解答】解：圖中有直線AB、直線AD，直線EF有3條；以B為端點的射線：有射線BE、射線BC；以C為端點的射線有：CE，CD；以D為端點的射線有：DC、DF，射線共有6條；線段有：AB、BC、CA、BD、CD，AD共有6條．故答案為：3，6，6．【點評】本題考查了直線、射線、線段的表示法，理解三線的延伸性是關鍵．題型二直線的基本事實的應用1．（2023秋?澧縣期末）在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是（）A．鐘表的秒針旋轉(zhuǎn)一周，形成一個圓面 B．把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線 C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程 D．木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈出一條墨線【分析】根據(jù)兩點確定一條直線解答即可．【解答】解：A、鐘表的秒針旋轉(zhuǎn)一周，形成一個圓面，說明線動成面，不符合題意；B、把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線，說明點動成線，不符合題意；C、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，說明兩點之間，線段最短，不符合題意；D、木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈出一條墨線，說明兩點確定一條直線，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是兩點確定一條直線，熟知經(jīng)過兩點有且只有一條直線是解題的關鍵．2．（2024秋?和平區(qū)校級期中）數(shù)學來源于生活，又應用于生活．生活中有下列現(xiàn)象，其中能用“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（）①植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上；②小狗看到遠處的食物，徑直向食物奔跑過去；③木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩點彈出一條墨線；④把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)、線段的性質(zhì)、點動成線逐一判斷即可求解．【解答】解：①植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上，利用了“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”，②小狗看到遠處的食物，徑直向食物奔跑過去，利用了“兩點之間線段最短”，③木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩點彈出一條墨線，利用了“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”，④把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線，利用了“點動成線”，∴能用“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”來解釋的現(xiàn)象有①③，故選：B．【點評】本題考查了直線的性質(zhì)、線段的性質(zhì)、點動成線，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．3．（2024秋?鄭州期中）在下列現(xiàn)象中，不可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，即可得到答案．【解答】解：可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的有木匠彈墨線、打靶瞄準、拉繩插秧；“彎曲公路改值”，可以用“兩點之間線段最短”來解釋，不能用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋．∴這些現(xiàn)象中，不可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的有1個．故選：A．【點評】本題考查直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，關鍵是掌握直線的性質(zhì)．4．（2023秋?西華縣期末）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應用的數(shù)學知識是．【分析】根據(jù)兩點確定一條直線解答即可．【解答】解：工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應用的數(shù)學知識是：兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．【點評】本題考查了兩點確定一條直線，熟練掌握直線的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2024秋?槐蔭區(qū)月考）在下列現(xiàn)象中：①鐘表的秒針旋轉(zhuǎn)一周，形成一個圓面；②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；③木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈出一條墨線；可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是（填寫序號）．【分析】分別根據(jù)線動成面、點動成線、兩點確定一條直線解釋即可．【解答】解：①鐘表的秒針旋轉(zhuǎn)一周，形成一個圓面，是線動成面；②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線，是點動成線；③木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈出一條墨線，是兩點確定一條直線；可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是③．故答案為：③．【點評】此題主要考查了直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，關鍵是掌握直線的性質(zhì)．題型三線段的基本事實的應用1．（2023秋?蒙陰縣期末）把彎曲的河道改直，就能縮短河道長度，可以解釋這一做法的數(shù)學原理是（）A．垂線段最短 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間線段最短 D．兩點之間直線最短【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)可以直接得出結論．【解答】解：把彎曲的河道改直，就能縮短河道長度，可以解釋這一做法的數(shù)學原理是：兩點之間，線段最短．故選：C．【點評】本題考查了線段的性質(zhì)，解題的關鍵是能靈活應用線段的性質(zhì)．2．（2024春?利津縣期末）如圖，某同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（）A．兩點之間，直線最短 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間，線段最短 D．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由于兩點之間線段最短，∴剩下樹葉的周長比原樹葉的周長小，故選：C．【點評】本題考查了線段的性質(zhì)，利用線段的性質(zhì)是解題關鍵．3．（2023秋?左權縣期末）下列四個現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的是（）A．兩根電線桿就可以把電線架在空中 B．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上 C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程 D．射擊時目標要在準星和缺口確定的直線上【分析】分別利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：A、兩根電線桿就可以把電線架在空中，原理：兩點確定一條直線，不符合題意；B、用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，原理：兩點確定一條直線，不符合題意；C、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，原理：兩點之間，線段最短，符合題意；D、射擊時目標要在準星和缺口確定的直線上，原理：兩點確定一條直線，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，正確區(qū)分直線與線段的性質(zhì)是解題關鍵．4．（2024?前郭縣一模）如圖，A地到B地有三條路線，由上至下依次記為路線b，c，a，則從A地到B地的最短路線是c，其依據(jù)是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間，直線最短 D．直線比曲線短【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：從A地到B地的最短路線是c，其中蘊含的數(shù)學道理是兩點之間線段最短，故選：A．【點評】本題考查了線段的性質(zhì)，熟記兩點之間，線段最短是解題關鍵．5．（2023秋?信陽期末）用所學知識解釋生活中的現(xiàn)象，從教學樓到圖書館，總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學數(shù)學知識來說明這個問題．．【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，可以說明少數(shù)同學的做法不對．【解答】解：從教學樓到圖書館，總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪，用所學數(shù)學知識來說明這個問題原因是：兩點之間線段最短．故答案為：兩點之間線段最短．【點評】本題考查了線段的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握線段的性質(zhì)．題型四線段長度的計算1．（2024秋?萬柏林區(qū)校級月考）如圖，AB＝18cm，C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長為（）A．16cm B．15cm C．14cm D．12cm【分析】利用兩點間的距離，線段的和差，線段的中點的定義解答．【解答】解：∵AB＝18cm，C為AB的中點，∴AC＝BC＝9cm，∵點D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，∴AD9=13，∴DB＝AB﹣AD＝18﹣3＝15（cm）．故選：B．【點評】本題考查了線段的和差，線段的中點，兩點間的距離，解題的關鍵是掌握兩點間的距離，線段的和差，線段的中點的定義．2．（2024秋?晉源區(qū)月考）如圖，C，D是線段AB上的兩點，M，N分別是線段AC，BD的中點，若AB＝10，CD＝4，則線段MN的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)線段的和差，可得AC+BD，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得MC，ND，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：由AB＝10，CD＝4，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10﹣4＝6．∵M、N分別為AC與BD的中點，∴MC=12AC，ND=∴MC+ND=12（AC+BD）∴MN＝MC+ND+CD＝3+4＝7．故選：C．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用線段的和差得出AC+BD的長是解題關鍵．3．（2023秋?惠城區(qū)期末）已知點C是線段AB上一點，AC=13（1）若AB＝60，求BC的長；（2）若AB＝a，D是AC的中點，E是BC的中點，請用含a的代數(shù)式表示DE的長，并說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)AB＝60，AC=13AB，求出AC的長度是多少；然后用AB的長減去AC的長，求出（2）首先根據(jù)D是AC的中點，E是BC的中點，可得：DC=12AC，CE=12BC，推得DE=12AB；然后根據(jù)AB＝【解答】解：（1）∵AB＝60，AC=1∴AC=1∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40．（2）如圖，，∵D是AC的中點，E是BC的中點，∴DC=12AC∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC+BC【點評】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及線段的中點的特征和應用，要熟練掌握．4．（2023秋?海珠區(qū)期末）如圖，線段AB＝20，BC＝15，點M是AC的中點．（1）求線段AM的長度；（2）在CB上取一點N，使得CN：NB＝2：3．求MN的長．【分析】（1）根據(jù)圖示知AM=12AC，AC＝AB﹣（2）根據(jù)已知條件求得CN＝6，然后根據(jù)圖示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）線段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵點M是AC的中點．∴AM=12AC=12×5=（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN=25BC又∵點M是AC的中點，AC＝5，∴MC=12AC∴MN＝MC+NC=172，即MN的長度是【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段的和差，線段中點的性質(zhì)．5．（2023秋?化州市期末）如圖，C為線段AD上一點，點B為CD的中點，且AD＝9cm，BD＝2cm．（1）求AC的長．（2）若點E在直線AD上，且EA＝3cm，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)AC＝AD﹣CD＝AC﹣2BC，即可求出答案；（2）分點E在A的左邊和右邊兩種情形求解即可．【解答】解：（1）∵點B為CD的中點，∴CB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝4cm，∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5cm，答：AC的長為5cm．（2）AB＝AC+BC＝7cm，EA＝3cm，當點E在線段AD上時，BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4cm，當點E在線段DA的延長線上時，BE＝AB+AE＝7+3＝10cm．答：BE的長為4cm或10cm．【點評】本題考查了線段的中點，線段的和差，熟練掌握并靈活運用線段的中點和線段的和差是解答本題的關鍵．6．如圖，點C在線段AB上，點M，N分別是線段AC，BC的中點．（1）若CN=15AB＝2cm，求線段（2）若AC+BC＝acm，其他條件不變，請猜想線段MN的長度，并說明理由；（3）若點C在線段AB的延長線上，AC＝p，BC＝q，其他條件不變，求線段MN的長度．【分析】（1）由中點的性質(zhì)得MC=12AC，CN=12BC，根據(jù)MN＝MC+CN=12AC+1（2）與（1）同理；（3）根據(jù)中點的性質(zhì)得MC=12AC，CN=12BC，結合圖形依據(jù)MN＝MC﹣CN=12AC?1【解答】解：（1）∵CN=15AB＝2∴AB＝10（cm），∵點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=12AC，CN=∴MN＝MC+CN=12AC+12BC=12（AC+BC（2）∵M、N分別是AC、BC的中點，∴MC=12AC，CN=∵AC+CB＝acm，∴MN＝MC+CN=12（AC+CB）=12（3）如圖，∵M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=12AC，CN=∵AC＝p，BC＝q，∴MN＝MC﹣CN=12AC?12BC=12（AC【點評】本題主要考查的是線段的和差，掌握線段的中點的性質(zhì)、線段的和差運算是解題的關鍵．題型五角的概念及表示方法1．（2023秋?坪山區(qū)期末）如圖所示，∠1還可以表示為（）A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠BAD【分析】根據(jù)角的表示方法解答即可．【解答】解：∠1還可以表示為∠CAD，故選：B．【點評】本題考查了角的概念，熟練掌握角的表示方法是解題的關鍵．2．（2023秋?盤州市期末）平板電腦支架方便用戶在不同位置和角度觀看平板電腦，如圖是支架側面的平畫示意圖，其中∠1還可以表示為（）A．∠A B．∠DAC C．∠BAC D．∠ACE【分析】角的表示方法有四種：①用三個字母，中間的字母表示頂點，其它兩個字母分別表示角的兩邊上的點；②當以某點為頂點的角只有一個時，可以只用這個角的頂點字母表示；③用一個數(shù)字表示一個角；④用一個希臘字母表示一個角，由圖即可得出答案．【解答】解：∠1還可以表示為∠BAC．故選：C．【點評】本題考查了角的概念，熟知角的三種表示方法是關鍵．3．（2023秋?房山區(qū)期末）下列圖形中能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可．【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故A選項錯誤；B、能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故B選項正確；C、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故C選項錯誤；D、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故D選項錯誤；故選：B．【點評】本題考查了角的表示方法的應用，主要考查學生的理解能力和判斷能力．4．（2023秋?湘潭縣期末）如圖，下列說法錯誤的是（）A．∠ECA是一個平角 B．∠ADE也可以表示為∠D C．∠BCA也可以表示為∠1 D．∠ABC也可以表示為∠B【分析】角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況下，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．【解答】解：A、∠ECA是一個平角，故正確，不符合題意；B、∠ADE也可以表示為∠D，故正確，不符合題意；C、∠BCA也可以表示為∠1，故正確，不符合題意；D、∠ABC也不可以表示為∠B，故錯誤，符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了角的表示，解題時注意：在頂點處只有一個角的情況下，才可用頂點處的一個字母來記這個角．5．（2023秋?隆化縣期末）如圖，從點O出發(fā)的五條射線，可以組成的角有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．10個【分析】利用角的意義分別找出各角即可得出結論．【解答】解：從點O出發(fā)的五條射線，可以組成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10個，故選：D．【點評】本題主要考查了交點概念，利用角的定義找出各角是解題的關鍵．6．（2023春?萊西市期中）如圖，B，D，C三點在直線l上，點A在直線l外，下列說法正確的是（）A．直線BD和直線CD表示的是同一條直線 B．射線BD和射線CD表示的是同一條射線 C．∠A和∠BAD表示的是同一個角 D．∠1和∠B表示的是同一個角【分析】根據(jù)線的表示方法和角的表示方法逐個判斷即可．【解答】解：A、直線BD和直線CD表示的是同一條直線正確，故A正確；B、射線BD和射線CD的端點不同，表示的是不同射線，故B不正確；C、點A處共三個角，不能將某個角表示成∠A，故C不正確；D、點B處有兩個小于180°的角，不能將某個角表示成∠B，故D不正確；故選：A．【點評】本題考查了角的表示方法和線的表示方法的應用，準確識圖是解題關鍵．題型六角的度量及角度的計算1．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）36.33°用度、分、秒表示正確的是（）A．36°19'48″ B．36°18'108″ C．36°30'33″ D．36°30'3″【分析】將0.33°化為分，再化成秒，可得答案．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.33°＝19.8′，∵1′＝60″，∴0.8′＝48″，∴36.33°＝36°19′48″．故選：A．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．2．（2023秋?五華區(qū)期末）將12.28°轉(zhuǎn)化為度分秒的形式為（）A．12°20′8″ B．12°16′48″ C．12°12′48″ D．12.28°【分析】根據(jù)1°＝60′，1′＝60″進行換算即可得到答案．【解答】解：∵1°＝60′，1′＝60″，∴12.28°＝12°+0.28×60′＝12°+16.8′＝12°+16′+0.8×60″＝12°+16′+48″＝12°16′48″，故選：B．【點評】本題考查了度、分、秒之間的換算，熟練掌握1°＝60′，1′＝60″是解題的關鍵．3．（2023秋?永年區(qū)期末）下面等式成立的是（）A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″ C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'【分析】根據(jù)1°＝60′，1′＝60″進行換算即可．【解答】解：A、83.5°＝83°30'，故本選項不符合題意；B、90°﹣57°23'27″＝32°36'33″，故本選項不符合題意；C、15°48'36″+37°27'59″＝53°16'35″，故本選項不符合題意；D、41.25°＝41°15'，故本選項符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了度、分、秒的計算，角的度量單位度、分、秒之間是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．4．（2024秋?永年區(qū)期中）計算：（1）131°28′﹣32′15″；（2）58°38′27″+47°42′40″．【分析】（1）根據(jù)度分秒的計算方法進行計算即可；（2）根據(jù)度分秒的計算方法進行計算即可．【解答】解：（1）原式＝130°55′45″（2）58°38′27′+47°42′40″＝106°21′7″【點評】此題考查了度分秒的計算，度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．5．（2023秋?裕華區(qū)校級期中）計算：（1）33°16′28″+24°46′37″；（2）24°31′×4﹣62°10′．【分析】（1）根據(jù)度分秒的進制，進行計算即可解答；（2）根據(jù)度分秒的進制，進行計算即可解答．【解答】解：（1）33°16′28″+24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″；（2）24°31′×4﹣62°10′＝96°124′﹣62°10′＝34°114′＝35°54′．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．6．（2023秋?漢川市期末）計算：（1）35°45′+23°29′﹣53°17′（2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5【分析】（1）度、分、秒分別相加減得結論；（2）先算乘法，再算加減．【解答】解：（1）35°45′+23°29′﹣53°17′＝58°74′﹣53°17′＝5°57′；（2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5＝67°31′+48°39′﹣106°25′＝115°70′﹣106°25′＝9°45′．【點評】本題考查了角運算，掌握角的運算法則、度數(shù)的互換是解決本題的關鍵．題型七鐘表中的角度問題1．（2024春?湛河區(qū)校級期末）如圖所示，鐘表上顯示的時間是10時10分，此時，時針和分針的夾角的度數(shù)是（）A．100° B．105° C．115° D．120°【分析】時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，由此即可算出10時10分鐘時，時針、分針與12時的夾角，即得答案．【解答】解：∵時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，∴鐘表上10時10分鐘時，時針從10時轉(zhuǎn)過10分鐘轉(zhuǎn)了0.5°×10＝5°，此時時針與垂直線的夾角為60°﹣5°＝55°，分針從12的位置順時針轉(zhuǎn)了6°×10＝60°，∴10時10分鐘時分針與時針的夾角55°+60°＝115°．故選：C．【點評】本題主要考查了鐘面角問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握時針和分針每分鐘所轉(zhuǎn)過的角度．2．（2023秋?澧縣期末）時鐘的分針從8點整轉(zhuǎn)到8點20分，分針旋轉(zhuǎn)了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30°，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：4×30°＝120°，∴時鐘的分針從8點整轉(zhuǎn)到8點20分，分針旋轉(zhuǎn)了120度，故選：B．【點評】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30°是解題的關鍵．3．（2023秋?西固區(qū)校級期末）當時鐘是3：30時，時針和分針的夾角是（）A．75° B．105° C．85° D．70°【分析】因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，找出3：30時針和分針之間相差的大格數(shù)，用大格數(shù)乘30°即可．【解答】解：3：30時，時針和分針中間相差2.5個大格．∵鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，∴3：30時，分針與時針的夾角是2.5×30°＝75°．故選：A．【點評】本題考查鐘表時針與分針的夾角，掌握鐘表上12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°是解題的關鍵．4．（2023秋?梁山縣期末）鐘表8時30分時，時針與分針所成的角的度數(shù)為（）A．110° B．75° C．105° D．90°【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30°進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：2×30°+1＝60°+15°＝75°，∴鐘表8時30分時，時針與分針所成的角的度數(shù)為75°．故選：B．【點評】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30°是解題的關鍵．5．（2023秋?雅安期末）鐘表上的時間是3時30分，此時時針與分針所成的夾角是度．【分析】3點30分時，時針與分針的夾角分兩種情況，根據(jù)每相鄰兩個時間點的夾角為30°，較小夾角是2.5個大格，從而可以求出較小夾角．【解答】解：3點30分時，時針與分針的較小夾角是2.5個大格，一個大格的度數(shù)是30°，所以30°×2.5＝75°；故答案為：75．【點評】本題主要考查鐘面角的大小，熟知鐘面上每相鄰兩個時間的夾角是30度是解題的關鍵．6．（2024秋?黃島區(qū)月考）2024年10月30日4時27分神舟十九號載人飛船在灑泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功．此時分針與時針夾角的度數(shù)是．【分析】根據(jù)時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：7×6°﹣27×0.5°＝42°﹣13.5°＝28.5°，∴分針與時針夾角的度數(shù)是28.5°，故答案為：28.5°．【點評】本題考查了鐘面角，熟練掌握時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°是解題的關鍵．題型八角度的計算1．（2023秋?慶陽期末）如圖，點O是直線AB上的一點，若∠AOC＝50°，∠AOD=13∠AOE，∠BOEA．20° B．30° C．50° D．60°【分析】求出∠AOE＝90°，則∠AOD=13∠【解答】解：∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOD=13∠AOE∵∠AOC＝50°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝50°﹣30°＝20°，故選：A．【點評】本題考查了角的計算，求出∠AOD的度數(shù)是解題的關鍵．2．（2023秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，O為直線AB上一點，∠COD＝100°，∠BOD：∠AOC＝1：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．135° D．140°【分析】利用角的和差關系和平角的定義，先求出∠BOD，再得結論．【解答】解：設∠BOD＝x°則∠AOC＝3x°．∵∠BOD+∠COD+∠AOC＝180°，∴x°+100°+3x°＝180°．∴x＝20．∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝120°．故選：B．【點評】本題主要考查了角的計算，掌握平角的定義和角的和差關系是解決本題的關鍵．3．（2024春?張店區(qū)校級月考）從O點出發(fā)的三條射線OA，OB，OC，若∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．80°或20° B．40°或10° C．40°或20° D．80°或10°【分析】分當OC在∠AOB內(nèi)部時，當OC在∠AOB外部時，兩種情況根據(jù)角的和差關系求解即可．【解答】解：如圖所示，當OC在∠AOB內(nèi)部時，∵∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝20°；如圖所示，當OC在∠AOB外部時，∵∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝80°；綜上所述，∠BOC的度數(shù)為80°或20°，故選：A．【點評】本題主要考查了角的計算，關鍵是掌握幾何圖形中角度的計算．4．（2023秋?新疆期末）如圖所示，點O是直線AB上一點，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，則∠BOF和∠EOF是多少度？【分析】由角平分線的定義，結合平角的定義，易求∠BOF和∠EOF的度數(shù)．【解答】解：點O是直線AB上一點，則∠AOB＝180°，若∠AOC＝68°，則∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣68°＝112°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=12∠BOC又∵OE平分∠AOC，∴∠EOF=12∠AOC+1故∠BOF和∠EOF分別是56°和90°．【點評】根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉(zhuǎn)化求解．5．（2023秋?青龍縣期中）如圖，O是直線CE上一點，以O為頂點作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直線CE兩側，OB平分∠COD．（1）當∠AOC＝50°時，求∠DOE的度數(shù)；（2）請你猜想∠AOC和∠DOE的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，可求出∠BOC的度數(shù)，OB平分∠COD，可求出∠COD的度數(shù)，根據(jù)平角即可求解；（2）∠BOC＝90°﹣∠AOC，∠DOE＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），由此即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．【點評】本題主要考查角的和、差、倍、分，理解圖示中角度的數(shù)量關系，位置關系，互余、互補的運算是解題的關鍵．6．（2023春?高青縣期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，請直接寫出∠M的4倍角的度數(shù)；（2）如圖1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請直接寫出圖中∠COD的2倍角；（3）如圖2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）根據(jù)題意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）設∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根據(jù)∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是結論可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴圖中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，設∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【點評】此題主要考查了角的計算，度分秒的換算，準確理解并熟練應用題干中的定義是解題的關鍵．題型九線段（或角）的規(guī)律探究問題1．（2023秋?綏棱縣期末）往返于甲、乙兩市的列車，中途需?？?個站，如果每兩站的路程都不相同，這兩地之間有多少種不同的票價（）A．15 B．30 C．20 D．10【分析】可以借助線段圖來分析，有多少條線段，就有多少中不同的票價．【解答】解：如圖所示：A，F(xiàn)代表甲，乙兩市，B，C，D，E代表四個?？空?，圖中共有線段：AB，AC，AD，AE，AF．BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，總共15條，所以共有15種不同的票價，故選：A．【點評】本題考查了直線，射線，線段，借助線段圖來解決是解題的關鍵．2．已知線段MN，在MN上逐一畫點（所畫點與M、N不重合），當線段上有1個點時，共有3條線段，當線段上有2個點時，共有6條線段，則當線段上有20個點時，共有線段（）條．A．171 B．190 C．210 D．231【分析】根據(jù)題意在MN上1個點有1+2＝3條線段，2個點可組成1+2+3＝6條線段，進而可得答案．【解答】解：由題意可知：如果線段上有3個點時，線段共有1+2＝3條，如果線段上有4個點時，線段共有1+2+3＝6條，如果線段上有5個點時，線段共有1+2+3+4＝10條，由以此類推可以得出：當在MN上有20個點時，共有線段：1+2+3+…+20+21=1故選：D．【點評】本題考查了直線、射線、線段，任意兩點有一條線段，根據(jù)規(guī)律是解題的關鍵．3．（2023秋?乾安縣期末）在∠AOB的內(nèi)部引一條射線，圖中共有3個角；若引兩條射線，圖中共有6個角；若引n條射線，圖中共有個角．【分析】每兩條射線組成一個角，一條射線與其他射線都能組成一個角，當引出n條射線時，此時共有（n+2）條射線，其中每一條射線與剩余（n+1）條射線都組成一個角，可組成（n+1）個角，（n+2）條射線可組成的角（n+2）（n+1）個角，但每個角都算了兩次，則引出n條射線能組成12【解答】解：在∠AOB的內(nèi)部引一條射線，圖中共有1+2＝3個角；若引兩條射線，圖中共有1+2+3＝6個角；…若引n條射線，圖中共有1+2+3+?+(n+1)=1故答案是：12【點評】本題主要考查圖形變化類的規(guī)律題，能夠根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關鍵．4．在線段AB上選取3種點，第1種是將AB線段10等分的點；第2種是將AB線段12等分的點；第3種是將AB線段15等分的點，這些點連同AB線段的端點可組成線段的條數(shù)是（）A．350 B．595 C．666 D．406【分析】先找出重復的點，再求出所有的點的個數(shù)，利用組合即可求出線段的條數(shù)．【解答】解：10，12，15的最小公倍數(shù)為60，重復的點的個數(shù)＝（6012?1）+（除端點外的點的個數(shù)為：（15﹣1）+（12﹣1）+（10﹣1）﹣7＝27，∴連同AB線段的端點共27+2＝29個端點，∴29個點任取2個的組合有C（29，2）=29×28故選：D．【點評】本題主要考查了直線，射線及線段，解題的關鍵是找出所有的端點個數(shù)．5．（2023秋?威縣期末）（1）觀察思考：如圖，線段AB上有兩個點C，D，分別以點A，B，C，D為端點的線段共有條．（2）模型構建：若線段上有m個點（包括端點），則共有條線段．（3）拓展應用：若有8位同學參加班級的演講比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每兩位同學之間都要進行一場比賽），根據(jù)上述模型，求一共要進行多少場比賽．【分析】【觀察思考】從左向右依次固定一個端點A，C，D找出線段，最后求和即可；【模型構建】根據(jù)數(shù)線段的特點列出式子化簡即可；【拓展應用】將實際問題轉(zhuǎn)化成（2）的模型，借助（2）的結論即可得出結論．【解答】解：（1）【觀察思考】∵以點A為左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD，以點C為左端點向右的線段有線段CD、CB，以點D為左端點的線段有線段DB，∴共有3+2+1＝6（條）．故答案為：6；（2）【模型構建】設線段上有m個點，該線段上共有線段x條，則x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），∴x=12m（故答案為：12m（m（3）【拓展應用】把8位同學看作直線上的8個點，每兩位同學之間的一場比賽看作一條線段，由題知，當m＝8時，m(m?1)2答：一共要進行28場比賽．【點評】此題主要考查了線段的計數(shù)問題，解本題的關鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．6．有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點．（1）如圖1，過點A在角的內(nèi)部作1條射線，那么圖中一共有個角．（2）如圖2，過點A在角的內(nèi)部作2條射線，那么圖中一共有個角．（3）如圖3，過點A在角的內(nèi)部作3條射線，那么圖中一共有個角．（4）在角的內(nèi)部作n條射線，那么圖中一共有個角．【分析】（1）根據(jù)角的定義解決此題．（2）根據(jù)角的定義解決此題．（3）根據(jù)角的定義解決此題．（4）根據(jù)角的定義以及特殊到一般的數(shù)學思想解決此題．【解答】解：（1）由圖可得，過點A在角的內(nèi)部作1條射線，那么圖中一共有的角的個數(shù)為2+1＝3（個）．故答案為：3．（2）由圖可得，過點A在角的內(nèi)部作2條射線，那么圖中一共有的角的個數(shù)為3+2+1＝6（個）．故答案為：6．（3）由圖可得，過點A在角的內(nèi)部作3條射線，那么圖中一共有的角的個數(shù)為4+3+2+1＝10（個）．故答案為：10．（4）由（1）（2）（3），以此類推，在角的內(nèi)部作n條射線，那么圖中一共有的角的個數(shù)為n+1+n+n﹣1+…+2+1=(n+2)(n+1)故答案為：(n+2)(n+1)2【點評】本題主要考查角，熟練掌握角的定義以及特殊到一般的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．題型十多邊形及相關的概念1．（2023秋?濟南期末）過多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成8個三角形，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】n邊形從一個頂點引出的對角線把n邊形分成（n﹣2）個三角形，由此即可得到答案．【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：n﹣2＝8，∴n＝10，故選：C．【點評】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是掌握：n邊形從一個頂點引出的對角線把n邊形分成（n﹣2）個三角形．2．（2024秋?寧鄉(xiāng)市月考）若一個四邊形截去一個角后，可能為（）邊形．A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6【分析】根據(jù)多邊形截去一個角的位置可得：比原多邊形可能少1條邊，可能邊的條數(shù)不變，也可能增加1條邊；據(jù)此求解即可．【解答】解：可能為3或4或5邊形．故選：C．【點評】本題主要考查了多邊形，解題的關鍵是理解多邊形截去一個角的位置可得：比原多邊形可能少1條邊，可能邊的條數(shù)不變，也可能增加1條邊．3．下列說法中錯誤的是（）A．多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形 B．四邊形由四條線段組成，但四條線段組成的圖形不一定是四邊形 C．多邊形是一個封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形 D．多邊形是三角形，但三角形不一定是多邊形【分析】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，由此即可判斷．【解答】解：A、多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形，正確，故A不符合題意；B、四邊形由四條線段組成，但四條線段組成的圖形不一定是四邊形，正確，故B不符合題意；C、多邊形是一個封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形，正確，故C不符合題意；D、三角形是多邊形，但多邊形不一定是三角形，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是掌握多邊形的定義．4．（2024秋?濱海新區(qū)校級月考）如圖，從五邊形紙片ABCDE中剪去一個三角形，剩余部分是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．以上都有可能【分析】分為三種情況，畫出圖形，解答即可．【解答】解：如圖1，剩余圖形是四邊形；如圖2，剩余圖形是五邊形；如圖3，剩余圖形是六邊形；綜上所述，剩余的部分是四邊形或五邊形或六邊形．故選：D．【點評】本題考查了多邊形，能畫出符合的所有情況是解此題的關鍵．5．（2024?禮縣模擬）如圖，正六邊形的邊長為12，AP，BP分別平分∠BAF，∠ABC，則△ABP的周長為（）A．24 B．36 C．38 D．40【分析】根據(jù)正六邊形可知∠APB為60°，又因為AP＝BP，所以△ABP為等邊三角形，可求得△ABP的周長．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠APB=360°6=60°，AP∴△ABP是等邊三角形，∴AB＝AP＝BP＝12，故△ABP的周長為36，故選：B．【點評】本題考查正六邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．6．（2024秋?黃陂區(qū)校級月考）七邊形的對角線條數(shù)為條．【分析】根據(jù)從n多邊形的一個頂點可以作對角線的條數(shù)為（n﹣3），可得n多邊形的對角線共有n(n?3)2條（n【解答】解：七邊形的對角線條數(shù)為7(7?3)2故答案為：14．【點評】本題考查多邊形的對角線條數(shù)，熟記多邊形對角線條數(shù)的公式是解題的關鍵．7．（2023秋?興平市期末）若從一個n邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引9條對角線，則n＝．【分析】可根據(jù)n邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關系：n﹣3，列方程求解．【解答】解：設多邊形有n條邊，則n﹣3＝9，解得n＝12．故多邊形的邊數(shù)為12，即它是十二邊形．故答案為：12．【點評】本題考查了多邊形的對角線．解題的關鍵是明確多邊形有n條邊，則經(jīng)過多邊形的一個頂點所有的對角線有（n﹣3）條，經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成（n﹣2）個三角形．題型十一扇形面積的計算1．（2024?皇姑區(qū)開學）下列各圖中的正方形面積相等，圖（）的陰影面積與另外三圖不同．A． B． C． D．【分析】令正方形的邊長為a，用a分別表示出四個選項中陰影部分的面積即可解決問題．【解答】解：令正方形的邊長為a，則A選項中陰影部分的面積可表示為：a2?π?(aB選項中陰影部分的面積可表示為：a2C選項中陰影部分的面積可表示為：a2?π?(aD選項中陰影部分的面積可表示為：a2?π?(a所以B選項符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，能用a分別表示出各選項中陰影部分的面積是解題的關鍵．2．（2023秋?鹿寨縣期末）一個扇形的半徑是3，扇形的圓心角120°，那么這個扇形面積是（）A．4π B．3π C．2π D．π【分析】直接代入扇形的面積公式即可得出答案，【解答】解：由題意得：r＝3，n＝120，∴這個扇形面積=120×π×故選：B．【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵是熟練掌握扇形的面積公式nπr3．（2023秋?榆陽區(qū)校級月考）如圖是一個半徑為2cm的圓，扇形AOB（陰影部分）的圓心角為144°，求扇形AOB的面積．（結果保留π）【分析】根據(jù)S扇=n【解答】解：扇形AOB的面積為：144360∴扇形AOB的面積為8π5【點評】本題考查扇形面積計算，掌握扇形面積公式是解決本題的關鍵．4．（2023秋?興慶區(qū)校級月考）將一個半徑為10cm的圓分成3個扇形，其圓心角的比1：2：3，求：①各個扇形的圓心角的度數(shù)．②各個扇形的面積．【分析】①三個圓心角的度數(shù)之和為360°，據(jù)此進行解答；②根據(jù)扇形的面積公式進行解答．【解答】解：①設三個圓心角的度數(shù)分別是x、2x、3x，則x+2x+3x＝360°，解得x＝60°．故這三個扇形的圓心角分別是：60°、120°、180°；②圓心角為60°的扇形面積為：60×π×10圓心角為120°的扇形面積為：120×π×10圓心角為180°的扇形面積為：180×π×10【點評】本題考查了扇形的面積的計算，認識平面圖形，掌握周角的定義和扇形的面積即可解答該題，屬于基礎題．5．（2023秋?新城區(qū)校級月考）如圖，把一個圓分成了四個扇形，已知圓的半徑為6cm，求扇形甲與扇形丙的面積之和．（結果保留π）【分析】利用360°×百分比求出扇形乙的圓心角，再利用扇形的面積公式進行計算即可．【解答】解：扇形乙的圓心角的度數(shù)為360°×35%＝126°，扇形甲、丙的度數(shù)之和為：360°﹣126°﹣60°＝174°．因為圓的半徑為6cm，所以扇形甲、丙的面積之和為：174360【點評】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形的圓心角度數(shù)的計算公式和扇形的面積公式是解題的關鍵．6．（2024春?臨淄區(qū)期中）如圖，把一個圓分成甲，乙，丙，丁四個扇形．（1）求甲，乙，丙三個扇形的圓心角的度數(shù)；（2）若圓的半徑為1cm，求扇形丁的面積．【分析】（1）每個扇形的圓心角度數(shù)等于360°乘以各自所占圓的百分比，由此即可計算；（2）求出扇形丁的圓心角度數(shù)，即可求出扇形丁的面積．【解答】解：（1）扇形甲的圓心角度數(shù)＝360°×25%＝90°；扇形乙的圓心角度數(shù)＝360°×30%＝108°；扇形丙的圓心角度數(shù)＝360°×20%＝72°．（2）∵扇形丁的圓心角度數(shù)是360°﹣90°﹣108°﹣72°＝90°，圓的半徑是1cm，∴扇形丁的面積=90π×12360【點評】本題考查圓心角，扇形面積的計算，關鍵是掌握扇形圓心角的度數(shù)等于360°乘以扇形所占圓的百分比；扇形面積的計算公式．題型十二線段動點與動角的探究問題1．（2023秋?冷水灘區(qū)校級期末）已知：如圖1，點M是線段AB上一定點，AB＝12cm，C、D兩點分別從M、B同時出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AM＝4cm，當點C、D運動了2s，此時AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當點C、D運動了2s，求AC+MD的值；（3）若點C、D運動時，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）；（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【分析】（1）根據(jù)運動速度和時間分別求得CM、BD的長，根據(jù)線段的和差計算可得；（2）由題意得CM＝2cm、BD＝4cm，根據(jù)AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD可得答案；（3）根據(jù)C、D的運動速度知BD＝2MC，再由已知條件MD＝2AC求得MB＝2AM，所以AM=13（4）分點N在線段AB上和點N在線段AB的延長線上分別求解可得．【解答】解：（1）根據(jù)題意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案為：2cm，4cm；（2）當點C、D運動了2s時，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm，∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6（cm）；（3）根據(jù)C、D的運動速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM=13AB＝4故答案為：4cm；（4）①當點N在線段AB上時，如圖1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4，∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，∴MNAB②當點N在線段AB的延長線上時，如圖2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB＝12，∴MNAB綜上所述MNAB【點評】本題考查了兩點間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關系是十分關鍵的一點．2．如圖，射線OM上有三點A，B，C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，動點P從O點出發(fā)沿OM方向以1cm/s的速度勻速運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時，立即停止運動），點P，Q同時出發(fā)．（1）當點P與點Q同時運動到線段AB的中點時，求點Q的運動速度．（2）若點Q的運動速度為3cm/s，經(jīng)過多長時間P，Q兩點相距70cm？（3）當PA＝2PB時，點Q恰好運動到線段AB的三等分點處，求點Q的運動速度．【分析】（1）設點Q的運動速度為xcm/s，根據(jù)題意列出方程，求出x即可；（2）原本P、Q之間距離大于70cm，所以要分兩種情況，第一相距70cm跟相遇后兩者相距70cm，根據(jù)路程＝速度×時間，即可求得，不過第二次相距70cm時，Q點早已到達O點停止運動；（3）PA＝2PB分兩種情況，一種P在線段AB內(nèi)，一種P在線段AB的延長線上，根據(jù)速度＝路程÷時間，即可求得點Q的速度．【解答】解：（1）設點Q的運動速度為xcm/s，根據(jù)題意，得：OA+12AB解得x＝0.8．（2）∵OA+AB+BC＝90cm＞70cm，∴分兩種情況，①Q(mào)在P的右側，經(jīng)過時間為90?701+3=5（②Q在P的左側，∵點Q運動到點O時，立即停止運動，∴Q運動的時間為903=30（兩者相距70cm時運動的時間為701=70（綜合①②得知，經(jīng)過5秒和70秒的P、Q兩點相距70m．（3）PA＝2PB，分兩種情況，①當點P在A、B兩點之間時，∵PA＝2PB，∴PA=23AB＝40此時運動的時間為OA+PA1=60∵點Q運動的位置恰好是線段AB的三等分，∴BQ=13AB＝20cm，或BQ=23點Q的運動速度為BC+BQ60=0.5cm/s或56cm②當點P在線段AB的延長線上時，∵PA＝2PB，∴PA＝2AB＝120cm，此時運動的時間為OA+PA1=140∵點Q運動的位置恰好是線段AB的三等分，∴BQ=13AB＝20cm，或BQ=23點Q的運動速度為BC+BQ140=314cm/s或5綜合①②得知，當點P在A、B兩點之間時，點Q的運動速度為0.5cm/s或56cm/s；當點P在線段AB的延長線上時，點Q的運動速度為314cm/s或514cm【點評】本題考查了線段的和差，解題的關鍵是（1）熟練運用解分式方程的知識解決問題；（2）PQ相距70cm分兩種情況，第一次相距70cm和相遇后再次相距70cm；（3）當PA＝2PB時，分兩種情況，一種點P在線段AB內(nèi)，一種點P在線段AB延長線上．3．如圖，點A、B和線段CD都在數(shù)軸上，點A、C、D、B起始位置所表示的數(shù)分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿數(shù)軸的正方向以每秒1個單位的速度移動，移動時間為t秒．（1）當t＝0秒時，AC的長為，當t＝2秒時，AC的長為．（2）用含有t的代數(shù)式表示AC的長為．（3）當t＝秒時AC﹣BD＝5，當t＝秒時AC+BD＝15．（4）若點A與線段CD同時出發(fā)沿數(shù)軸的正方向移動，點A的速度為每秒2個單位，在移動過程中，是否存在某一時刻使得AC＝2BD，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）依據(jù)A、C兩點間的距離＝|a﹣b|求解即可；（2）t秒后點C運動的距離為t個單位長度，從而點C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點間的距離＝|a﹣b|求解即可．（3）t秒后點C運動的距離為t個單位長度，點D運動的距離為t個單位長度，從而可得到點A、點D表示的數(shù)；根據(jù)兩點間的距離＝|a﹣b|表示出AC、BD，根據(jù)AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到關于t的含絕對值符號的一元一次方程，分別解方程即可得出結論；（4）假設能夠相等，找出AC、BD，根據(jù)AC＝2BD即可列出關于t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結論．【解答】解：（1）當t＝0秒時，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；當t＝2秒時，移動后C表示的數(shù)為2，∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．故答案為：2；4．（2）點A表示的數(shù)為﹣2，點C表示的數(shù)為t；∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．故答案為t+2．（3）∵t秒后點C運動的距離為t個單位長度，點D運動的距離為t個單位長度，∴C表示的數(shù)是t，D表示的數(shù)是3+t，∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，∵AC﹣BD＝5，∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．解得：t＝6．∴當t＝6秒時AC﹣BD＝5；∵AC+BD＝15，∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，t＝11；當t＝11秒時AC+BD＝15，故答案為6，11；（4）假設能相等，則點A表示的數(shù)為2t﹣2，C表示的數(shù)為t，D表示的數(shù)為t+3，B表示的數(shù)為12，∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，∵AC＝