突破2圓錐曲線中的定點、定值問題考點一定點(定直線)問題(1)求C的方程;(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與直線NA2交于P.證明:點P在定直線上.(2)證明

(方法一)(ⅰ)當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y=k(x+4),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0.(方法二)由于直線MN與雙曲線左支交于M,N兩點,∴直線MN的斜率不為0.(1)求C的方程;(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.∵直線AP,AQ分別與y軸交于M,N兩點,且過A(-2,0),∴設(shè)直線AP的方程為y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,設(shè)直線AQ的方程為y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,綜上,線段MN的中點為定點(0,3).(方法二)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),顯然直線PQ斜率存在,故設(shè)直線PQ:y=k(x+2)+3.考點二定值問題例2(2024廣東深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知F1(-1,0),F2(1,0),Q為動點,且|F2Q|=4,線段F1Q的垂直平分線交線段F2Q于點P,設(shè)P的軌跡是曲線C,射線PF1,PF2分別與C交于A,B兩點.(1)求C的方程;解

(1)由已知得|PF1|=|PQ|,且|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=4>|F1F2|=2,所以點P的軌跡是以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點的橢圓,且2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3,[對點訓(xùn)練2](2024湖南岳陽三模)已知動圓P過定點F(0,1)且與直線y=3相切,記圓心P的軌跡為曲線E.(1)已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為(-2,1),(2,1),直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,證明:k1-k2=1;(2)若點M(x1,y1),N(x2,y2)是軌跡E上的兩個動點且x1x2=-4,設(shè)線段MN的中點為Q,圓P與動點Q的軌跡Γ交于不同于F的三點C,D,G,求證:△CDG的重心的橫坐標(biāo)為定值.(2)顯然直線MN的斜率存在,如圖,設(shè)直線MN的方程為y=kx+b,k,b∈R,聯(lián)立

消去y并整理得x2+4kx+4b-8=0,因為Δ>0,所以x1x2=4b-8,又x1x2=-4,所以b=1,所以x2+4kx-4=0,直線MN的方程為y=kx+1,x1+x2=-4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=-4k2+2,所以線段MN的中點坐標(biāo)為Q(-2k,-2k2+1).得x4+(4-2n)x2+4mx=0,設(shè)C,D,G的橫坐標(biāo)分別為c,d,g,因為C,D,G都異于F,所以c,d,g都不為零,故關(guān)于x的方程x3+(4-2n)x+4m=0的根為c,d,g,令(x