2024-2025學年安徽省合肥市高三上學期第四次素質拓展數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．函數(shù)與在同一直角坐標系下的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知△ABC滿足2＝·＋·＋·，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形4．已知直線與曲線切于點，則b的值為（

）A．3 B． C．5 D．5．下列敘述中正確的個數(shù)是：（

）①若，，為平面向量，則；②向量與垂直；③，，若與的夾角是鈍角，則實數(shù)m的取值范圍是④.記，則向量在向量上的投影向量為A．0 B．1 C．2 D．36．若一元二次不等式，的解集分別為、，、、、、、均不為0，、既不是也不是，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要7．已知，函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．定義域在R上的奇函數(shù).若存在，使得成立，則實數(shù)k的取值范圍為（

）.A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．函數(shù)f(x)的圖象關于對稱C．函數(shù)f(x)的圖象關于對稱D．函數(shù)f(x)在上單調遞增11．已知實數(shù)，滿足，則（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，三、填空題（本大題共3小題）12．已知是三角形的內角，若，則．13．已知函數(shù)在處有極小值，則實數(shù)．14．圓與圓半徑分別為1和2，兩圓外切于點P，點A，B分別為圓上的動點，，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值，及取最小值時的x的值；(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.16．在平面四邊形中，.(1)求的長；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.17．已知函數(shù)(1)討論的單調性；(2)證明：當時，.18．如圖，半圓的直徑為，為直徑延長線上的點，，為半圓上任意一點，以為一邊作等邊三角形.設.(1)問：在什么位置時，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值.(2)克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，則當線段的長取最大值時，求.(3)求面積的最大值.19．意大利畫家達芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質①平方關系：，②倍元關系.(1)求曲線在處的切線斜率；(2)若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍：(3)（i）證明：當時，；（ii）證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，所以，，，因為，所以，故選：B2．【正確答案】C【詳解】根據(jù)函數(shù)過排除A;根據(jù)過排除B、D,故選C．3．【正確答案】C【詳解】由題意得，故∴，△ABC是直角三角形故選：C4．【正確答案】A【詳解】把代入直線中,得到,求導得：,所以,解得,把及代入曲線方程得：,則b的值為3.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】對于①，如，，，所以，，所以，而，所以，故①錯誤；對于②，因為，故②正確；對于③，由題意，，且與不共線，即，解得且，故③錯誤；對于④，由，即，所以向量在向量上的投影向量為，故④正確.綜上，正確的為②④.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】若一元二次不等式，的解集分別為、，、、、、、均不為0，、既不是也不是，若，則，反之，若，則，例如，不等式的解集與不等式即的解集不一樣，因此“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．【正確答案】A【詳解】由題意可得,，，，．故A正確．考點：三角函數(shù)單調性．8．【正確答案】D【詳解】∵是定義域在R上的奇函數(shù)，∴，解得，檢驗得時，是奇函數(shù)，∴，由指數(shù)函數(shù)的性質可得在R上為減函數(shù).由得，∴，即存在，使得，記，，則，，∵，∴，∴，∴，∴，即實數(shù)k的取值范圍為.故選：D.9．【正確答案】AB【詳解】由，得，則，故A正確；選項B，因為，由基本不等式可得，由，等號取不到，則，故B正確；選項C，當時，則，此時，故C錯誤；選項D，當時，，此時，故D錯誤.故選：AB.10．【正確答案】ACD【詳解】由圖可知：,且,故，，故，，，故A正確；當時，，故B錯誤；當時，，故C正確；當時，，故D正確.故選：ACD11．【正確答案】ACD【詳解】A選項，由得，因為，所以，兩邊取對數(shù)得，，故，令，，故，由于在0,+∞上單調遞增，故，故，A正確；B選項，時，，故，故，令，，則，其中，當時，，當時，，故在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，因為不單調，故不一定等于，即不一定成立，B錯誤；CD選項，由AB選項知，時，，，令，則有，不妨設，故，下面證明，先證不等式右邊，，令，即證，令，，則，故在上單調遞減，又，故，所以，即，，故，C正確；再證不等式左邊，，即證，令，即證，令，，則，故在1,+∞上單調遞減，又，故，故，即，所以，故，所以，D正確.故選：ACD12．【正確答案】【詳解】因為是三角形的內角，則，且，即，所以，，可得，故.故答案為.13．【正確答案】【詳解】因為，所以，所以，而函數(shù)在處有極小值，所以，故，解得或，當時，，令f'x<0，，令f'故此時在上單調遞增，在上單調遞減，此時在處有極大值，不符合題意，排除，當時，，令f'x<0，，令f'故此時在上單調遞增，在上單調遞減，此時在處有極小值，符合題意，故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖建系，圓，圓設，則，.故答案為.15．【正確答案】(1)當，時，(2)【詳解】（1）由題意得，令得，，.（2）由將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到，再向右平移個單位，得到，則，，∵，∴，由得，∴，∴.16．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）在中，，由余弦定理可得，即，解得或；（2）因為，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，在中，因為，所以，由，得，所以，所以.17．【正確答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由且，當，即，則，此時在上遞減；當，即，則上，上，此時在上遞增，上遞減；綜上，時在上遞減；時在上遞增，在上遞減；（2）由（1）知：時，要證，即證，只需證在上恒成立，令且，則，當時，遞減；當時，遞增；所以，即在上恒成立，故時，得證.18．【正確答案】(1)時，四邊形的面積取得最大值為(2)(3)【詳解】（1）在中由余弦定理得，所以，，于是四邊形的面積為，當，即時，四邊形的面積取得最大值為.（2）因為，且為等邊三角形，，，所以，所以，即的最大值為，取等號時，所以，不妨設，則，解得，所以，所以.（3）設，（，所以為銳角），在中，由正弦定理得，，，當，即時，的面積取得最大值為.19．【正確答案】(1)(2)(3)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【詳解】（1），則所以，可得在處的切線斜率為（2）令，則，下面證明：對任意恒成立,先證明：對任意.證明如下：設，則，當時，，函數(shù)單調遞減，當x∈1,+∞時，，函數(shù)單調遞增，故，故，繼續(xù)證明：對任意.證明如下：令，則，因此在0,+∞上單調遞增；所以，故當時，對，都有，函數(shù)在0,+∞上單調遞增，則，解得；當時，對，都有，對，都有，函數(shù)Fx在上單調遞減，在上單調遞增，則對，都有成立，不符合題意，舍去.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（