2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題1．經(jīng)過兩點和的直線l的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓的半徑是（

）A．4 B． C． D．23．若拋物線的焦點在直線上，則p等于（

）A．8 B．4 C．2 D．14．，分別為直線與上任意一點，則最小值為（

）A． B． C． D．5．若圓的圓心到直線的距離為，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或6．已知點在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是點關(guān)于原點的對稱點，若四邊形的周長為12，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．過雙曲線的右焦點向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點，若，則雙曲線的離心率為（

）

A．2 B． C． D．二、多選題9．下列說法中，正確的有（

）A．直線在y軸上的截距是B．直線經(jīng)過第一、二、三象限C．過點且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為D．過點，且傾斜角為90°的直線方程為10．已知曲線：，其中為非零常數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，則曲線是一個圓B．當(dāng)時，則曲線是一個雙曲線C．若時，則曲線是焦點為的橢圓D．若曲線是離心率為的橢圓，則11．橢圓的兩個焦點分別為，，則下列說法正確的是（

）A．過點的直線與橢圓C交于，兩點，則的周長為B．若直線與恒有公共點，則的取值范圍為C．若，為上一點，，則PQ的最小值為D．若上存在點，使得，則的取值范圍為三、填空題12．圓：在點處的切線方程為；13．已知橢圓上的一點P到橢圓一個焦點的距離為4，到另一焦點距離為8，則m等于.14．如圖，已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，軸于點N.若四邊形的面積等于28，則E的方程為.四、解答題15．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，，(1)若直線與直線平行，求m的值；(2)若直線與直線垂直，求m的值.16．求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為，，并且橢圓經(jīng)過點(2)橢圓經(jīng)過點和.17．已知拋物線的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為2.(1)求p的值；(2)直線與拋物線C交于A，B兩點，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值.18．如圖，已知圓的圓心在原點，且與直線相切．(1)求圓的方程；(2)點在直線上，過點引的兩條切線，切點為．①求四邊形面積的最小值；②求證：直線過定點．19．動點Mx,y到直線與直線的距離之積等于，且.記點的軌跡方程為.(1)求的方程；(2)已知點，直線交于點，，上是否存在點滿足?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.答案：題號12345678910答案BCBACBADABDABC題號11答案CD1．B【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得傾斜角.【詳解】由斜率公式得，記直線l的傾斜角為，則，得.故選：B2．C【分析】利用兩點距離公式求線段AB的長，即可得半徑.【詳解】由題意知，，以線段為直徑的圓的半徑是，故選：C3．B【分析】將焦點坐標(biāo)代入直線方程可得.【詳解】由題知，拋物線的焦點為，代入得，解得.故選：B4．A【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，所以最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選：A5．C【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式可求得實數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，解得或.故選：C.6．B【分析】問題轉(zhuǎn)化為直線上的點到點和的距離之和最小，利用對稱點求解可得.【詳解】因為表示到點和的距離之和.又在直線上，關(guān)于的對稱點為，所以，三點共線時等號成立，所以，所求最小值為.故選：B7．A【分析】根據(jù)橢圓面積得出，結(jié)合四邊形的周長求得，進而得出橢圓方程，得出，設(shè)Ax1,y1，根據(jù)四邊形的面積為即可求解最大面積．【詳解】由題可知，，即，由四邊形的周長為12得，，即，所以，所以橢圓，則，設(shè)Ax1,y1所以四邊形的面積為，故選：A．

8．D【分析】根據(jù)垂直求直線的方程，聯(lián)立直線方程求點的坐標(biāo)，表示，利用得到的關(guān)系，即可求出雙曲線離心率.【詳解】由題意得，，漸近線方程為.因為，所以直線的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因為，所以，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.9．ABD【分析】運用截距概念判斷A；根據(jù)斜率和截距可判斷B；分情況求出直線方程即可判斷C；求出直線方程判斷D．【詳解】對于A，令x=0，求得，則直線在y軸上的截距為，故A正確；對于B，直線的斜率為，在y軸上的截距為，易知直線經(jīng)過第一、二、三象限，B正確；對于C，當(dāng)直線經(jīng)過原點時，設(shè)，代入點，求得，此時直線方程為y=2x；當(dāng)直線截距不為0時，設(shè)方程為，代入點，求得，此時直線方程為，故C錯誤；對于D，傾斜角為90°的直線斜率不存在，則過點并且傾斜角為90°的直線方程為，故D正確.故選：ABD.10．ABC【分析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合各選項給定的參數(shù)值，將方程轉(zhuǎn)為為的形式判斷曲線的性質(zhì)即知A、B、C的正誤，由橢圓的離心率求參數(shù)m判斷D.【詳解】A：時，曲線可整理為，即曲線是一個圓，正確；B：時，曲線可整理為，即曲線是一個雙曲線，正確；C：時，曲線可整理為，即曲線是焦點為的橢圓，正確；D：由上分析知：若曲線是離心率為的橢圓，則或，可得或，錯誤.故選：ABC.11．CD【分析】對于A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合焦點所在的位置分析判斷；對于B：因為直線過定點0,1，可知定點0,1在橢圓內(nèi)或橢圓上，列式求解即可；對于C，設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式結(jié)合二次函數(shù)分析求解，對于D：分析可知當(dāng)P位于短軸頂點時，最大，此時，分類討論焦點所在位置分析求解；【詳解】由橢圓的定義可得的周長為，但焦點不一定在軸上，故A錯誤；因為直線過定點0,1，因為直線與恒有公共點，則，即，又因為，且，所以的取值范圍為，故B錯；若，即橢圓方程為，設(shè)，可得，當(dāng)時，，故C對；若，則，當(dāng)位于短軸頂點時，最大，此時，可知，即，當(dāng)時，由，解得，當(dāng)時，由，解得，綜上所述：則的取值范圍為，故D對；故選：CD12．【分析】由切線與圓心和切點連線的垂直關(guān)系得切線斜率，再由點斜式方程可得答案.【詳解】由題意知圓心，，，又過點，所以切線方程為，即，故答案為.13．36【分析】分焦點在和兩種情況，根據(jù)橢圓定義得到方程，求出答案.【詳解】若焦點在軸上，由橢圓定義得，解得，滿足要求，若焦點在軸上，，不合題意，綜上，.故3614．【分析】作出輔助線，根據(jù)直線的斜率表達出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到拋物線方程.【詳解】易知，直線的方程為，四邊形為梯形，且．設(shè)，，，則，所以，所以．作軸于點，則．因為直線的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，，所以四邊形的面積為，解得，故拋物線的方程為.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為直線AC與直線BD平行，所以，所以，經(jīng)檢驗兩直線不重合，所以（2）因為直線AC與直線BC垂直，兩直線斜率均存在，所以，所以，16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)以及點在橢圓上得到關(guān)于的方程組，由此可求的值，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得；（2）設(shè)出橢圓方程，代入點的坐標(biāo)可求，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求.【詳解】（1）由題意可知橢圓的焦點在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，又因為，因為在橢圓上，所以，即，從而有，解得或，因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓經(jīng)過兩點和，所以，即橢圓方程為，17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得；（2）利用韋達定理，結(jié)合求解可得.【詳解】（1）拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，因為焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，所以.（2）由（1）可得拋物線方程為，聯(lián)立得，因為直線與拋物線C有兩個交點，所以，，解得且，設(shè)Ax1,得，因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以，所以，解得.18．(1)(2)①

,②證明見解析【分析】（1）求出圓心到切線的距離得圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由勾股定理求得切線長，由求得四邊形面積，由此得當(dāng)最小時，四邊形面積最小，從而得結(jié)論；②在以為直徑的圓上，設(shè)點的坐標(biāo),求出以為直徑的圓方程，此圓方程與已知圓方程相減公共弦所在直線方程，由直線方程得定點坐標(biāo)．【詳解】（1）依題意得：圓心到直線的距離為半徑，∴，∴圓的方程為；（2）①解：連接，因為是圓的兩條切線，所以，∴．易知最小值為8，所以；②證明：由①得，在以為直徑的圓上，設(shè)點的坐標(biāo)為，，則線段的中點坐標(biāo)為，∴以為直徑的圓方程為，即．因為為兩圓的公共弦，所以由相減得直線的方程為，，則直線AB恒過定點2,0．得證19．(1)(2)存在點，使得.【分析】（1）利用點到直線與直線的距離之積等于建立方程，化簡即可得到結(jié)果.（2）假設(shè)存在點，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理及題目條件得到點坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用點在雙曲線上即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為動點Mx,y到直線的距離為，動點Mx,y到直線的距離為，所以