第二十六講

與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【主干必備】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.設(shè)圓O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d.則:(1)點(diǎn)P在圓外?__________;

d>r(2)點(diǎn)P在圓上?__________;

(3)點(diǎn)P在圓內(nèi)?__________.

d=rd<r2.確定圓的條件:不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定___________圓.

一個【微點(diǎn)警示】(1)注意互逆:由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可以推得d與r的大小關(guān)系;反之,由d與r的大小關(guān)系也可以推得點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.(2)注意條件:三個點(diǎn)確定一個圓的前提是這三個點(diǎn)不在同一直線上.【核心突破】例1(2018·泰安中考)如圖,☉M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)P是☉M上的任意一點(diǎn),PA⊥PB,且PA,PB與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱,則AB的最小值為 (

)CA.3 B.4 C.6 D.8【明·技法】圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離的最值(1)最短距離=圓外一點(diǎn)與圓心的距離-半徑.(2)最長距離=圓外一點(diǎn)與圓心的距離+半徑.【題組過關(guān)】1.(2019·上海金山區(qū)模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,∠B=60°,☉A的半徑為3,那么下列說法正確的是 (

)DA.點(diǎn)B,點(diǎn)C都在☉A內(nèi)B.點(diǎn)C在☉A內(nèi),點(diǎn)B在☉A外C.點(diǎn)B在☉A內(nèi),點(diǎn)C在☉A外D.點(diǎn)B,點(diǎn)C都在☉A外2.(易錯警示題)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,-4).如果以點(diǎn)O為圓心,r為半徑的圓O與直線AB相交,且點(diǎn)A,B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi),另一點(diǎn)在圓O外,那么r的值可以取(

)A.5 B.4 C.3 D.2B3.(2019·江都區(qū)模擬)有一張矩形的紙片,AB=6cm,AD=8cm,若以A為圓心作圓,并且要使點(diǎn)B在☉A內(nèi),而點(diǎn)C在☉A外,☉A的半徑r的取值范圍是____________________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

6cm<r<10cm考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系【主干必備】設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d.直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖形

直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交公共點(diǎn)個數(shù)________

______________d與r的關(guān)系___________________012d>rd=rd<r【微點(diǎn)警示】(1)注意互逆:由直線和圓的位置關(guān)系可以推得d與r的大小關(guān)系;反之,由d與r的大小關(guān)系也可以推得直線和圓的位置關(guān)系.(2)“d”的不同:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系中,“d”是指兩點(diǎn)之間的距離;直線與圓的位置關(guān)系中,“d”是指點(diǎn)與直線的距離.【核心突破】例2(2019·菏澤中考)如圖,直線y=-3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,以1個單位長度為半徑作☉P,當(dāng)☉P與直線AB相切時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________.

【明·技法】判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法1.用直線與圓交點(diǎn)的個數(shù)來判斷.2.用圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷.【題組過關(guān)】1.(易錯警示題)已知☉O的半徑為4,直線l上有一點(diǎn)P與☉O的圓心的距離為4,則直線l與☉O的位置關(guān)系為

(

)A.相離B.相切C.相交 D.相切、相交均有可能D2.(2019·杭州上城區(qū)模擬)已知∠BAC=45°,一動點(diǎn)O在射線AB上運(yùn)動(點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合),設(shè)OA=x,如果半徑為1的☉O與射線AC有公共點(diǎn),那么x的取值范圍是

(

)A.0<x≤1 B.1≤x<C.0<x≤ D.x>C3.(2019·玄武區(qū)模擬)直徑為10cm的圓,若該圓的圓心到直線的距離為4cm,則該直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)為________.

24.(2019·達(dá)州中考)如圖,☉O是△ABC的外接圓,∠BAC的平分線交☉O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作直線DF∥BC.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)判斷直線DF與☉O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若AB=6,AE=,CE=,求BD的長.【解析】(1)DF與☉O相切,理由:連接OD,∵∠BAC的平分線交☉O于點(diǎn)D,∴∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC,∵DF∥BC,∴OD⊥DF,∴DF與☉O相切.(2)∵∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠C,∴△ABD∽△AEC,∴,∴,∴BD=.考點(diǎn)三切線的性質(zhì)與判定【主干必備】1.切線的定義、性質(zhì)與判定(1)定義:和圓有___________公共點(diǎn)的直線.

(2)性質(zhì):圓的切線_____________過切點(diǎn)的半徑.

唯一

垂直于(3)判定:經(jīng)過半徑的外端,并且___________于這條半徑的直線是圓的切線.

垂直2.切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長___________,這一點(diǎn)和圓心的連線___________兩條切線的夾角.

相等

平分【微點(diǎn)警示】(1)注意性質(zhì)與判定的區(qū)別:知切線推得“垂直”是性質(zhì),知“垂直”推得切線是判定.(2)注意“切線長”的含義:圓的切線是直線,本無長度,“切線長”專指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度.【核心突破】例3(2019·菏澤中考)如圖,BC是☉O的直徑,CE是☉O的弦,過點(diǎn)E作☉O的切線,交CB的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BF⊥GE于點(diǎn)F,交CE的延長線于點(diǎn)A.(1)求證:∠ABG=2∠C.(2)若GF=3,GB=6,求☉O的半徑.【思路點(diǎn)撥】(1)連接OE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥EG,推出OE∥AB,得到∠A=∠OEC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEC=∠C,求得∠A=∠C,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.(2)根據(jù)勾股定理得到BF==3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【自主解答】(1)連接OE,∵EG是☉O的切線,∴OE⊥EG,∵BF⊥GE,∴OE∥AB,∴∠A=∠OEC,∵OE=OC,∴∠OEC=∠C,∴∠A=∠C,∵∠ABG=∠A+∠C,∴∠ABG=2∠C.(2)略例4【原型題】(2019·涼山州中考)如圖,點(diǎn)D是以AB為直徑的☉O上一點(diǎn),過點(diǎn)B作☉O的切線,交AD的延長線于點(diǎn)C,E是BC的中點(diǎn),連接DE并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F.(1)求證:DF是☉O的切線.(2)若OB=BF,EF=4,求AD的長.【自主解答】略【變形題】(變換條件、結(jié)論)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)E.過點(diǎn)D作☉O的切線,交AC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)G,連接DE.(1)求證:BD=CD.(2)若∠G=40°,求∠AED的度數(shù).【解析】(1)連接AD,∵AB為直徑,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD.(2)略【明·技法】與圓的切線有關(guān)的三種輔助線(1)若已知直線與圓相切,先連接圓心和切點(diǎn),根據(jù)切線性質(zhì)得到直角,再作進(jìn)一步的計(jì)算或推理,可簡述為:見切線,連半徑,得垂直.(2)若已知直線與圓的公共點(diǎn),證該直線為圓的切線,則采用判定定理法,其基本思路是:當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時,連接過這點(diǎn)的半徑,證明這條半徑與直線垂直即可,可簡述為:有公共點(diǎn),連半徑,證垂直,得切線.(3)若未知直線與圓的交點(diǎn),證該直線為圓的切線,則采用數(shù)量關(guān)系法,其基本思路是:過圓心作直線的垂線段,證明垂線段的長等于圓的半徑,可簡述為:無公共點(diǎn),作垂線,證半徑,得切線.【題組過關(guān)】1.(2019·無錫中考)如圖,PA是☉O的切線,切點(diǎn)為A,PO的延長線交☉O于點(diǎn)B,若∠P=40°,則∠B的度數(shù)為

(

)BA.20°

B.25°

C.40°

D.50°2.(2019·石家莊市橋西區(qū)模擬)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)P是☉O外一點(diǎn),PO交☉O于點(diǎn)C,連接BC,PA.若∠P=40°,當(dāng)∠B等于____________時,PA與☉O相切 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(

)

BA.20°

B.25°

C.30°

D.40°3.(2019·菏澤東明縣模擬)如圖,PA,PB切☉O于點(diǎn)A,B,PA=10,CD切☉O于點(diǎn)E,交PA,PB于C,D兩點(diǎn),則△PCD的周長是 (

)CA.10 B.18 C.20 D.224.(2019·河南模擬)如圖,已知AB是☉O的直徑,AD,BD是半圓的弦,∠PDA=∠PBD,∠BDE=60°,若PD=,則PA的長為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

15.(2019·天水中考)如圖,AB,AC分別是☉O的直徑和弦,OD⊥AC于點(diǎn)D.過點(diǎn)A作☉O的切線與OD的延長線交于點(diǎn)P,PC,AB的延長線交于點(diǎn)F.(1)求證:PC是☉O的切線.(2)若∠ABC=60°,AB=10,求線段CF的長.【解析】(1)連接OC,∵OD⊥AC,OD經(jīng)過圓心O,∴AD=CD,∴△PDA≌△PDC,∴PA=PC.在△OAP和△OCP中,∵∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.∵PA是☉O的切線,∴∠OAP=90°,∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切線.(2)略考點(diǎn)四三角形的外接圓與內(nèi)切圓【主干必備】外接圓定義:經(jīng)過三角形的三個___________的圓.

三角形的外心:三角形_____________的圓心,是三角形三條邊的_________________的交點(diǎn),到三角形_______________的距離相等.

頂點(diǎn)

外接圓

垂直平分線

三個頂點(diǎn)內(nèi)切圓定義:與三角形各邊都___________的圓.

三角形的內(nèi)心:三角形_____________的圓心,是三角形三條_______________的交點(diǎn),到三角形___________的距離相等.

相切

內(nèi)切圓

角平分線

三邊【微點(diǎn)警示】(1)三角形外心與內(nèi)心的位置:銳角三角形的外心在其內(nèi)部,直角三角形的外心在其斜邊上,鈍角三角形的外心在其外部;而任意三角形的內(nèi)心都在其內(nèi)部.(2)等邊三角形的外心與內(nèi)心:等邊三角形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓,即等邊三角形的外心與內(nèi)心合二為一.【核心突破】例5(2018·長沙中考)如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的中線,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延長線于點(diǎn)E,BC=8,AD=3.(1)求CE的長.(2)求證:△ABC為等腰三角形.(3)求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.【思路點(diǎn)撥】(1)證明AD為△BCE的中位線得到CE=2AD=6.(2)通過證明AC=AE得到AB=AC.(3)取△ABC的外心點(diǎn)P,內(nèi)心點(diǎn)Q,連接BP,BQ,CQ,先利用勾股定理計(jì)算出AB=5,設(shè)☉P的半徑為R,☉Q的半徑為r,在Rt△PBD中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得R=,則PD=,再利用面積法求出r=,即QD=,然后計(jì)算PD+QD即可.【自主解答】略

【明·技法】與三角形的外心與內(nèi)心有關(guān)的解題技巧(1)連接外心與三角形各頂點(diǎn),可得等腰三角形.(2)連接內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角.【題組過關(guān)】1.(易錯警示題)如圖,點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,若∠AIB=125°,則∠C等于 (

)BA.65° B.70° C.75° D.8