高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共45分）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易知，又，所以.故選：C2.已知，，則（）A. B.1 C. D.5【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故選：C.3.若x，，則“是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，若，則，即或，當(dāng)時(shí)，，所以“是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】由條件可知，，所以故選：A5.函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)，，所以是奇函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，是奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，故排除B，是奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，故排除D，在處無意義，所以不過原點(diǎn)，故排除C，故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.7.已知，，，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，同時(shí)，所以，故選：C8.已知函數(shù)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，即有實(shí)數(shù)根，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，只需滿足，得.故選：B9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則當(dāng)時(shí)，，∴，即，令，則，∵時(shí)，，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴，∴，綜上，.故選：D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】0【解析】由得：由題意可知：可得：恒成立，所以，故答案為：011.已知函數(shù)，則______.【答案】1【解析】.12.若，且，則的最小值為______．【答案】9【解析】因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)）.13.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測(cè)得，，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為______m.【答案】【解析】由題設(shè)，在中，所以m.14.在中，已知，，，則______；若點(diǎn)P在線段上，則的最小值為______.【答案】【解析】在中，因?yàn)?，，，所以由余弦定理得：，解得：；則，所以，以C為原點(diǎn)，分別以CB，CA為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)，則，所以，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.15.拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】，不妨設(shè)因?yàn)楹瘮?shù)，在2,4上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則需要，使得，又因，所以可得，，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知函數(shù).（1）的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最小值.解：（1），則的最小正周期.（2）由（1）知，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又，，故在區(qū)間上的最小值為.17.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得，所以由，，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，即，.18.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求C的值；（2）若，，求的面積.解：（1）∵，∴，∵，∴.（2）∵，∴，∴，∴，由正弦定理，得.又∵，∴.∴的面積.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處切線的斜率為－3，求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，對(duì)任意，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1）∵，∴，∵曲線y=fx在處的切線的斜率為，所以，∴；（2）定義域?yàn)?,+∞，，當(dāng)時(shí)，，故在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，f'x>0，單調(diào)遞增，，f'x<0，單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（3）由（2）及可得，在1,2上單調(diào)遞增.不妨設(shè)，且，，則可化為，設(shè)，則，所以hx為1,2上是增函數(shù)，即在1,2上恒成立，等價(jià)于在1,2上恒成立，對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，故在1,2上是增函數(shù)，所以，所以，即k的取值范圍為.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）證明：對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得.解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，即，而，故，故，，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以所以.（3）∵，，，，則，所以結(jié)論成立.天津市部分區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共45分）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易知，又，所以.故選：C2.已知，，則（）A. B.1 C. D.5【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故選：C.3.若x，，則“是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，若，則，即或，當(dāng)時(shí)，，所以“是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】由條件可知，，所以故選：A5.函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)，，所以是奇函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，是奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，故排除B，是奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，故排除D，在處無意義，所以不過原點(diǎn)，故排除C，故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.7.已知，，，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，同時(shí)，所以，故選：C8.已知函數(shù)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，即有實(shí)數(shù)根，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，只需滿足，得.故選：B9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則當(dāng)時(shí)，，∴，即，令，則，∵時(shí)，，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴，∴，綜上，.故選：D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】0【解析】由得：由題意可知：可得：恒成立，所以，故答案為：011.已知函數(shù)，則______.【答案】1【解析】.12.若，且，則的最小值為______．【答案】9【解析】因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)）.13.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測(cè)得，，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為______m.【答案】【解析】由題設(shè)，在中，所以m.14.在中，已知，，，則______；若點(diǎn)P在線段上，則的最小值為______.【答案】【解析】在中，因?yàn)?，，，所以由余弦定理得：，解得：；則，所以，以C為原點(diǎn)，分別以CB，CA為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)，則，所以，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.15.拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】，不妨設(shè)因?yàn)楹瘮?shù)，在2,4上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則需要，使得，又因，所以可得，，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知函數(shù).（1）的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最小值.解：（1），則的最小正周期.（2）由（1）知，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又，，故在區(qū)間上的最小值為.17.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得，所以由，，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.因?yàn)椋?，，兩式相減得，，即，.18.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求C的值；（2）若，，求的面積.解：（1）∵，∴，∵，∴.（2）∵，∴，∴，∴，由正弦定理，得.又∵，∴.∴的面積.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處切線的斜率為－3，求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，對(duì)任意，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1）∵，∴，∵曲線y=fx在處的切線的斜率為，所以，∴；（2）定義域?yàn)?,+∞，，當(dāng)時(shí)，，故在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，f'x>0，單調(diào)遞增，，f'x<0，單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（3）由（2）及可得，在1,2上單調(diào)遞增.不妨設(shè)，且，，則可化為，設(shè)，則，所以