第二課時利用導數(shù)研究函數(shù)的零點提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一利用導數(shù)確定函數(shù)零點個數(shù)[例1]已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),由f(x)=x-alnx,可得f′(x)=1-.因為a>0,所以由f′(x)>0,可得x>a;由f′(x)<0,可得0<x<a,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞).(2)求函數(shù)g(x)=x2-ax-f(x)的零點個數(shù).令g′(x)=0,可得x=1或x=a,當a>1時,g(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,所以g(1)>g(a),所以g(a)<0,所以g(x)有1個零點;當a=1時,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)有1個零點;當0<a<1時,g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,此時g(a)=a2-(a+1)a+alna=-a2-a+alna<0,g(x)只有1個零點.綜上所述,g(x)在(0,+∞)上只有1個零點.利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點,主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù),此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.[針對訓練](2024·安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+sinx-1.(1)判定函數(shù)f(x)在[-π,]上的零點個數(shù);解:(1)由題意得f′(x)=ex+cosx,易得函數(shù)f′(x)單調(diào)遞增,而f′(-π)=e-π-1<0,使f′(x0)=0,當x∈[-π,x0)時,f′(x)<0;f′(x)>0,而f(-π)=e-π-1<0,所以函數(shù)f(x)在[-π,-]上無零點;f′(x)=ex+cosx>0,所以函數(shù)f(x)在(-,]上單調(diào)遞增,而f(0)=0,所以函數(shù)f(x)在上有1個零點.綜上所述,函數(shù)f(x)在[-π,]上有1個零點.(2)?x≥0,f(x)+mx≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解:(2)設g(x)=ex+sinx-1+mx(x≥0),則g(0)=0,g′(x)=ex+cosx+m,g′(0)=m+2.令h(x)=g′(x),則h′(x)=ex-sinx>0,所以h(x),即g′(x)單調(diào)遞增.若m≥-2,則有g(shù)′(x)≥g′(0)≥0,此時g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,符合題意.若m<-2,則g′(0)<0,在x>0時,存在一個區(qū)間(0,x′)使得g′(x)<0,與題意不符,故m<-2不合題意.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是[-2,+∞).考點二根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍[例2](2024·湖南長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx-2.(1)若a=2,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;解:(1)當a=2時,f(x)=2lnx-2,該函數(shù)的定義域為(0,+∞),f′(x)=,又f(1)=-2,f′(1)=1,因此,曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y+2=x-1,即x-y-3=0.(2)若函數(shù)f(x)在(0,16]上有兩個零點,求a的取值范圍.解:(2)①當a≤0時,f′(x)=<0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;②當a>0時,由f(x)=alnx-2=0,可得,令g(x)=,其中x>0,則直線y=與函數(shù)y=g(x)的圖象在(0,16]內(nèi)有兩個交點,令g′(x)=0,可得x=e2<16,列表如下,x(0,e2)e2(e2,16]g′(x)+0-g(x)↗極大值↘所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,16]上的極大值為g(e2)=,且g(16)=ln2,作出g(x)的圖象如圖所示.由圖可知,當ln2≤,即e<a≤時,直線y=與函數(shù)y=g(x)的圖象在(0,16]內(nèi)有兩個交點,即f(x)在(0,16]上有兩個零點,因此,實數(shù)a的取值范圍是(e,].含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù),可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù),若能分離參數(shù),可將參數(shù)分離出來后,用x表示參數(shù)的函數(shù),作出該函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象特征求參數(shù)的取值范圍.[針對訓練](2024·安徽蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)=ax+(a-1)lnx+-2,a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性;解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),①若a≤0,則f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;②若a>0,則當x∈(0,)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當x∈(,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當a>0時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.(2)若f(x)只有一個零點,求a的取值范圍.解:(2)若a≤0,+1-a+e-2=(-1)a+e-1>0,f(1)=a-1<0.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)有唯一零點.若a>0,因為函數(shù)在(