3.3萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)定位]1.了解重力等于萬(wàn)有引力的條件.2.了解萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.3.會(huì)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量.4.會(huì)應(yīng)用萬(wàn)有引力定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的學(xué)問(wèn)求解天體運(yùn)動(dòng)的有關(guān)物理量．一、預(yù)言彗星回歸哈雷利用萬(wàn)有引力定律解釋了1531年、1607年和1682年三次毀滅的彗星，實(shí)際上是同一顆彗星的三次回歸，并預(yù)言彗星將于1758年再次毀滅．克雷洛計(jì)算了木星和土星對(duì)這顆彗星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響，指出它將推遲于1759年4月份經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)，這個(gè)預(yù)言果真得到了證明．二、預(yù)言未知星體1．英國(guó)劍橋高校的同學(xué)亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文愛(ài)好者勒維耶，依據(jù)天王星的觀測(cè)資料，各自獨(dú)立地利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出天王星軌道外面“新”行星的軌道.1846年9月23日晚，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置發(fā)覺(jué)了這顆行星——海王星．2．1930年，湯姆博夫依據(jù)海王星自身運(yùn)動(dòng)不規(guī)章性的記載發(fā)覺(jué)了冥王星．三、計(jì)算天體質(zhì)量1．計(jì)算地球的質(zhì)量：假如忽視地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg＝Geq\f(MEm,R2)，由此得地球的質(zhì)量表達(dá)式為：ME＝eq\f(gR2,G).2．計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量：太陽(yáng)質(zhì)量mS，行星質(zhì)量m，軌道半徑r行星與太陽(yáng)的距離，行星公轉(zhuǎn)周期T，則Geq\f(mSm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，太陽(yáng)質(zhì)量mS＝eq\f(4π2r3,GT2)，與行星質(zhì)量m無(wú)關(guān)．一、“稱量”地球質(zhì)量[問(wèn)題設(shè)計(jì)]1．卡文迪許在試驗(yàn)室測(cè)量出了引力常量G的值，從而“稱量”出了地球的質(zhì)量，你知道他是怎樣“稱量”地球質(zhì)量的嗎？答案若忽視地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝eq\f(GMEm,R2)，所以有ME＝eq\f(gR2,G)，只要測(cè)出G，便可“稱量”地球的質(zhì)量．2．設(shè)地面四周的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量．答案ME＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(9.8×6.4×1062,6.67×10－11)kg≈6.0×1024kg[要點(diǎn)提煉]1．地球質(zhì)量的計(jì)算在地面上，忽視地球自轉(zhuǎn)的影響，由mg＝Geq\f(MEm,R2)可以求得地球的質(zhì)量：ME＝eq\f(gR2,G).2．其他星球質(zhì)量的計(jì)算若已知天體的半徑R和天體表面的重力加速度g，與地球質(zhì)量的計(jì)算方法類似，即可計(jì)算出此天體的質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).二、計(jì)算天體質(zhì)量[問(wèn)題設(shè)計(jì)]1．我們知道行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們之間的萬(wàn)有引力供應(yīng)的，假如我們要“稱量”出太陽(yáng)的質(zhì)量，應(yīng)當(dāng)知道哪些條件？答案由eq\f(GmSm,r2)＝eq\f(4π2,T2)mr知mS＝eq\f(4π2r3,GT2)，由此可知需要知道某行星的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽(yáng)的距離r.2．天體質(zhì)量及半徑求出后，如何得到天體的平均密度？答案知道天體的半徑，則可由ρ＝eq\f(M,V)得到天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3M,4πR3).[要點(diǎn)提煉]1．計(jì)算天體質(zhì)量的方法分析圍繞該天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)，測(cè)出行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)行周期和軌道半徑，由萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力即可求中心天體的質(zhì)量．由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2).2．天體密度的計(jì)算方法依據(jù)密度的公式ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，只要先求出天體的質(zhì)量就可以代入此式計(jì)算天體的密度．(1)由天體表面的重力加速度g和半徑R，求此天體的密度．由mg＝eq\f(GMm,R2)和M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3g,4πGR).(2)若天體的某個(gè)行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，中心天體的半徑為R，則由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)和M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).留意R、r的意義不同，一般地R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，若繞近地軌道運(yùn)行，則有R＝r，此時(shí)ρ＝eq\f(3π,GT2).三、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算1．基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力供應(yīng)．2．常用關(guān)系：(1)Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r(2)忽視自轉(zhuǎn)時(shí)，mg＝Geq\f(Mm,R2)(物體在天體表面時(shí)受到的萬(wàn)有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”．3．四個(gè)重要結(jié)論：設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越?。?2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小．(3)由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．(4)由Geq\f(Mm,r2)＝ma向得a向＝eq\f(GM,r2)，r越大，a向越?。弧⑻祗w質(zhì)量和密度的計(jì)算例1地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為()A.eq\f(3g,4πRG)B.eq\f(3g,4πR2G)C.eq\f(g,RG)D.eq\f(g,RG2)解析忽視地球自轉(zhuǎn)的影響，對(duì)處于地球表面的物體，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，又地球質(zhì)量M＝ρV＝eq\f(4,3)πR3ρ，代入上式化簡(jiǎn)可得地球的平均密度ρ＝eq\f(3g,4πRG).答案A例2假設(shè)在半徑為R的某天體上放射一顆該天體的衛(wèi)星．若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知引力常量為G.(1)則該天體的密度是多少？(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少？解析(1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M，衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R，M＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1))依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)可知天體的體積為V＝eq\f(4,3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT\o\al(2,1)).(2)衛(wèi)星距天體表面距離為h時(shí)，忽視自轉(zhuǎn)有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))(R＋h)M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)答案(1)eq\f(3π,GT\o\al(2,1))(2)eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)二、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算例3質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的()A．線速度v＝eq\r(\f(GM,R))B．角速度ω＝eq\r(gR)C．運(yùn)行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)解析探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝ma＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝meq\f(4π2,T2)R，可得a＝eq\f(GM,R2)，v＝eq\r(\f(GM,R))，ω＝eq\r(\f(GM,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，所以A正確，D錯(cuò)誤；又由于不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則Geq\f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝eq\r(\f(g,R))，T＝2πeq\r(\f(R,g))，所以B錯(cuò)誤，C正確．答案AC例4據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家近日發(fā)覺(jué)了一顆距地球40光年的“超級(jí)地球”，名為“55Cancrie”．該行星繞母星(中心天體)運(yùn)行的周期約為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行周期的eq\f(1,480)，母星的體積約為太陽(yáng)的60倍．假設(shè)母星與太陽(yáng)密度相同，“55Cancrie”與地球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則“55Cancrie”與地球的()A．軌道半徑之比約為eq\r(3,\f(60,480))B．軌道半徑之比約為eq\r(3,\f(60,4802))C．向心加速度之比約為eq\r(3,60×4802)D．向心加速度之比約為eq\r(3,60×480)解析由公式Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，可得通式r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，設(shè)“55Cancrie”的軌道半徑為r1，地球軌道半徑為r2，則eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2)))＝eq\r(3,\f(60,4802))，從而推斷A錯(cuò)，B對(duì)；再由Geq\f(Mm,r2)＝ma得通式a＝Geq\f(M,r2)，則eq\f(a1,a2)＝eq\f(M1,M2)·eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(4,2),T\o\al(4,1)))＝eq\r(3,60×4804)，所以C、D皆錯(cuò)．答案B1．(天體質(zhì)量的計(jì)算)“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星于2021年12月2日凌晨在西昌衛(wèi)星放射中心放射，實(shí)現(xiàn)了“落月”的新階段．若已知引力常量為G，月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1、周期為T1，“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)月軌道半徑為r2、周期為T2，不計(jì)其他天體的影響，依據(jù)題目條件可以()A．求出“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星的質(zhì)量B．求出月球的質(zhì)量C．得出eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))D．求出地球的密度答案B解析爭(zhēng)辯月球繞地球的圓周運(yùn)動(dòng)依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力有eq\f(GM地m月,r\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,T\o\al(2,1))r1，解得M地＝eq\f(4π2r\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))，由于地球的半徑未知，不能得出地球的密度，故D錯(cuò)誤；同理，爭(zhēng)辯“嫦娥三號(hào)”繞月球的圓周運(yùn)動(dòng)可得月球的質(zhì)量M月＝eq\f(4π2r\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))，但無(wú)法得出“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤，B正確；開普勒第三定律中eq\f(r3,T2)是一個(gè)常量是指不同天體繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)時(shí)的規(guī)律，月球和“嫦娥三號(hào)”繞不同的中心天體運(yùn)動(dòng)，則eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))≠eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，故C錯(cuò)誤．2．(天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算)據(jù)報(bào)道，“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”繞月飛行器的圓形工作軌道距月球表面分別約為200km和100km，運(yùn)行速度分別為v1和v2，那么，v1和v2的比值為(月球半徑取1700km)()A.eq\f(19,18)B.eq\r(\f(19,18))C.eq\r(\f(18,19))D.eq\f(18,19)答案C解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，則eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(1700km＋100km,1700km＋200km))＝eq\r(\f(18,19))，故選項(xiàng)C正確．3．(天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算)一行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀測(cè)可得，其運(yùn)行周期為T