第4講隨機大事的概率基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2021·襄陽模擬)有一個玩耍，其規(guī)章是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向．大事“甲向南”與大事“乙向南”是 ()A．互斥但非對立大事 B.對立大事C．相互獨立大事 D.以上都不對解析由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不行能的，故是互斥大事，但不是對立大事，故選A.答案A2．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則大事“抽到的不是一等品”的概率為 ()A．0.7 B.0.65C．0.35 D.0.3解析大事“抽到的不是一等品”與大事A是對立大事，由于P(A)＝0.65，所以由對立大事的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案C3．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的大事是 ()A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．至少有一個紅球與至少有一個白球D．恰有一個紅球與恰有二個紅球解析對于A中的兩個大事不互斥，對于B中兩個大事互斥且對立，對于C中兩個大事不互斥，對于D中的兩個大事互斥而不對立．答案D4．對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，下圖為檢測結果的頻率分布直方圖．依據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估量概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其為二等品的概率是 ()A．0.09 B.0.20C．0.25 D.0.45解析由頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為0.06×5＝0.3，三等品的頻率為0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的頻率為1－(0.3＋0.25)＝0.45.用頻率估量概率可得其為二等品的概率為0.45.答案D5．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸?shù)母怕适? ()A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析乙不輸包含兩種狀況：一是兩人和棋，二是乙獲勝，故所求概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案A二、填空題6．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列大事：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級品．其中________是必定大事；________是不行能大事；________是隨機大事．答案③②①7．拋擲一粒骰子，觀看擲出的點數(shù)，設大事A為消滅奇數(shù)點，大事B為消滅2點，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則消滅奇數(shù)點或2點的概率為________．解析由于大事A與大事B是互斥大事，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)8．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個，則黑球有________個．解析摸出黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.30，口袋內球的個數(shù)為21÷0.42＝50，所以黑球的個數(shù)為50×0.30＝15.答案15三、解答題9．(2022·陜西卷)某保險公司利用簡潔隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估量賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估量在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解(1)設A表示大事“賠付金額為3000元”，B表示大事“賠付金額為4000元”，以頻率估量概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示大事“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估量概率得P(C)＝0.24.10．一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解法一(利用互斥大事求概率)記大事A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12)，依據(jù)題意知，大事A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥大事的概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二(利用對立大事求概率)(1)由法一知，取出1球為紅球或黑球的對立大事為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立大事為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)由于A1∪A2∪A3的對立大事為A4，所以取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．在一次隨機試驗中，彼此互斥的大事A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是 ()A．A＋B與C是互斥大事，也是對立大事B．B＋C與D是互斥大事，也是對立大事C．A＋C與B＋D是互斥大事，但不是對立大事D．A與B＋C＋D是互斥大事，也是對立大事解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個必定大事，故其大事的關系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個大事與其余3個大事的和大事必定是對立大事，任何兩個大事的和大事與其余兩個大事的和大事也是對立大事．故選D.答案D12．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若大事“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的大事是 ()A．至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D.至少有一張移動卡解析由于eq\f(7,10)＝1－eq\f(3,10)，而“2張全是移動卡”的對立大事是“至多有一張移動卡”，故選A.答案A13.某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外愛好小組，3個小組分別有39、32、33個成員，一些成員參與了不止一個小組，具體狀況如圖所示．現(xiàn)隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是________，他屬于不超過2個小組的概率是________．解析“至少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種狀況，故他屬于至少2個小組的概率為P＝eq\f(11＋10＋7＋8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(3,5).“不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”，其對立大事是“3個小組”．故他屬于不超過2個小組的概率是P＝1－eq\f(8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(13,15).答案eq\f(3,5)eq\f(13,15)14．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估量40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用頻率估量相應的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10