矩陣第一節(jié)矩陣線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項一、矩陣概念的引入對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究。由個數(shù)排成的行列的表稱為一個矩陣。記為二、矩陣的定義簡記為:定義2.1.1例如是一個矩陣。是一個矩陣例1.某廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可以列成矩陣這四種產(chǎn)品的單價及單件重量可以列成矩陣空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電甲商店乙商店丙商店

售價（百元）重量（千克）

空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電說明（1）矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)也可以不同。（2）當時，稱A為階方陣。（3）只有一行或一列的矩陣（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或。注意分別稱為行（）和列（）矩陣。（５）矩陣稱為單位矩陣（或單位陣）。稱為對角矩陣（或?qū)顷嚕洖?第二節(jié)矩陣的運算一、矩陣的加法定義2.2.1設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與稱為同型矩陣。設(shè)有兩個同型矩陣A和B，如果對應的元素分別相等，則這兩個矩陣相等。設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作A+B，規(guī)定為說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。例如

矩陣加法的運算規(guī)律定義2.2.2數(shù)與矩陣A的乘積記作或，規(guī)定為二、數(shù)與矩陣相乘（設(shè)A、B為矩陣，為數(shù)）數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律三、矩陣與矩陣相乘引例.某廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可以列成矩陣這四種產(chǎn)品的單價及單件重量可以列成矩陣空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電甲商店乙商店丙商店

售價（百元）重量（千克）

空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電則該公司向每商店售出產(chǎn)品的總售價及總重量，用矩陣表示恰好是：

售價重量甲商店乙商店丙商店定義2.2.3設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣，其中并把此乘積記作例１設(shè)例２那么

注意

只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘，乘積矩陣的行數(shù)是第一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)是第二個矩陣的列數(shù)。例如無法相乘矩陣乘法的運算規(guī)律（其中為數(shù)）注意（1）矩陣不滿足交換律，即：例３

設(shè)則注意（4）只有單位矩陣才能寫成AE=EA=A注意（3）若A,而A(X-Y)=,不能得出X=Y注意（2）若AB=,不能說明A=或B=但也有例外，比如設(shè)則有若方陣AB=BA，稱A與B是可交換的。例４

計算下列乘積：解解=（）=三、方陣的冪

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且定義2.2.5解例５由此歸納出注意：定義2.2.6

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記為。例三、矩陣的轉(zhuǎn)置運算性質(zhì)定義2.2.7設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣。說明對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等。例如：顯然，單位矩陣E是對稱陣。思考：一個行矩陣乘以一個同階的列矩陣，結(jié)果是什么？

一個列矩陣乘以一個同階的行矩陣，結(jié)果是什么？例6設(shè)列矩陣滿足E為n階單位矩陣，；證明：是對稱矩陣，并且證明：故H是對稱陣。定義2.2.8

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì)四、方陣的行列式注意：稱為方陣的伴隨陣。定義2.2.9行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下方陣：伴隨矩陣例6：設(shè)矩陣，求解：按定義同理所以由此可見，用定義求伴隨矩陣是非常麻煩的。伴隨矩陣經(jīng)常用到一個性質(zhì)。性質(zhì)：證明：性質(zhì)：已知3階方陣A的行列式|A|=2，求？性質(zhì)：練習：三階矩陣的伴隨矩陣為已知，求128第三節(jié)逆矩陣

在數(shù)的運算中，當數(shù)時，，其中為的倒數(shù)，（或稱的逆）；在矩陣的運算中，單位陣相當于數(shù)的乘法運算中的1，那么，對于矩陣，如果存在一個矩陣使得，則矩陣稱為的可逆矩陣或逆矩陣。一、概念的引入定義2.3.1

對于階方陣，如果有一個階方陣，使得則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣。

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的。證明設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的。注意：因此的逆矩陣記為定理2.3.1

矩陣可逆的充要條件是且

證明若可逆，由伴隨矩陣的性質(zhì)又（必要性）（充分性）

二、判定可逆的方法解由此可見，用伴隨矩陣求逆矩陣是行不通的，該方法只適用于對二階矩陣求逆。例如解例2：求解矩陣方程解解例3設(shè)三階矩陣，滿足關(guān)系又所以推論2.3.1:證明:若或（滿足之一），則因此，以后再驗證與互逆，只需驗證定義中的一半即可。

例4設(shè)方陣滿足,證明及都可逆，并求及這屬于抽象矩陣求逆，一定要用逆矩陣的推論來求?？赡婢仃嚨倪\算性質(zhì)：(4)若可逆，則亦可逆，且補充：伴隨矩陣的性質(zhì)第四節(jié)矩陣的初等變換引例：用消元法求解方程組解：于是解得

上述過程中始終把方程組看作一個整體變形，用到了如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）用不等于零的某一個數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍。

上述三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的。故這三種變換是同解變換。

實際上，從解方程的過程可看出，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算。若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換。（B）定義2.4.1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換而不是記作

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換。

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同。

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)。

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作A~B。等價關(guān)系的性質(zhì)：定義2.4.2矩陣的初等變換解方程組（1）如下：（1）對應的方程組為即矩陣和都稱為行階梯形矩陣。

每一行的第一個非零元的下方的元素全是零的矩陣稱為行階梯形矩陣。定義2.4.3其中，的每一行的第一個非零元都是1，并且它所在的這一列中其余元素都是零,稱這樣的矩陣為行最簡形矩陣。定義2.4.4練習：下列四個矩陣中，哪些是行最簡矩陣？例1把矩陣利用初等行變換化為行最簡形矩陣。解：再把進行初等列變換

所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.的左上角是一個單位矩陣，其余的元素全為零,稱為的標準形。注意：可逆矩陣只須經(jīng)過有限次初等行變換后就可以化成標準形，其標準形就是同階的單位矩陣?？赡婢仃嚺c同階的單位矩陣等價。二、用初等變換求逆陣定理2.4.1

設(shè)

與

為矩陣，那么：（1）的充要條件是存在

階可逆矩陣,使（2）的充要條件是存在

階可逆矩陣,使(3)

矩陣的充分必要條件是：存在階可逆方陣及階可逆方陣，使利用初等變換求逆陣的方法：若A可逆，則

解例2例3

解例4.設(shè)的行最簡形矩陣為，求，并求一個可逆矩陣，使。分析：解：例5設(shè)求矩陣，使解：對兩邊轉(zhuǎn)置得，則第五節(jié)矩陣的秩例如二階子式三階子式一、矩陣秩的概念定義2.5.1

在中，任取行列位于這些行列交叉處的個元素，不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式，稱為的階子式。規(guī)定零矩陣的秩是0.注意（1）若中有某個階子式不為零，則；若中所有階子式全為零，則定義2.5.2

設(shè)在矩陣中有一個不等于零的階子式，且所有階子式全為零，稱為的最高階非零子式，的階數(shù)稱為的秩。記為?？赡婢仃囉址Q為滿秩矩陣；不可逆矩陣又稱為降秩矩陣。(4)對于可逆矩陣，它的最高階非零子式即為，因此可逆矩陣的秩為（3）（2）為階矩陣，則例1求矩陣A和矩陣B的秩，其中解而的三階子式只有一個又所以易看出一個三階子式試求矩陣的秩例2已知因為解

一般的矩陣，當行數(shù)和列數(shù)較高時，用定義求秩很麻煩，但對行階梯形矩陣，它的秩就是非零行的行數(shù)，上節(jié)知道：二、矩陣秩的求法定理2.5.1：若，則試求矩陣的秩例2已知解注意：求的秩，只須把化為行階梯形矩陣即可，不必再化為行最簡形矩陣。注意：此定理反之不真。同型矩陣秩相等必等價。定理2：若，則即如果，則矩陣不一定與等價。

推論：若可逆矩陣，使，則例３解不妨取再不妨取再求的一個最高階非零子式.由知,的最高階非零子式為3階行列式則這個子式便是的一個最高階非零子式。再求的一個最高階非零子式.由知,的最高階非零子式為3階行列式例4解下面以B作為增廣矩陣寫出對應的方程組為：則該方程組必無解。主要內(nèi)容典型例題第二章矩陣及其運算

習題課矩陣特殊矩陣概念定義方陣行（列）矩陣同型矩陣和相等矩陣零矩陣單位矩陣轉(zhuǎn)置矩陣（反）對稱矩陣冪等矩陣對合矩陣正交矩陣伴隨矩陣對角矩陣上（下）三角矩陣方陣的運算逆矩陣定義相關(guān)定理及性質(zhì)分塊矩陣方陣的冪方陣的行列式矩陣相乘數(shù)乘矩陣運算及其性質(zhì)矩陣相加１矩陣的定義對(1)式，當m=n時，A稱為n階方陣。２方陣列矩陣行矩陣兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱它們是同型矩陣。３同型矩陣和相等矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。主對角線上的元素都是1，其它元素都是0的n階方陣，叫做n階單位陣，簡記作E。４零矩陣單位矩陣運算規(guī)律交換律A+B=B+A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)５矩陣相加運算規(guī)律６數(shù)乘矩陣７矩陣相乘運算規(guī)律n階方陣的冪８方陣的運算方陣的行列式運算規(guī)律轉(zhuǎn)置矩陣９一些特殊的矩陣對稱矩陣反對稱矩陣冪等矩陣對合矩陣正交矩陣對角矩陣上三角矩陣主對角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣。下三角矩陣主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣。伴隨矩陣定義設(shè)A為n階方陣，如果存在矩陣B，使