2/8平方根【教學(xué)目標(biāo)】一、知識與技能：1．通過實際生活中的例子理解算術(shù)平方根的概念，會求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根并會用符號表示；2．會用計算器求算術(shù)平方根；了解無限不循環(huán)小數(shù)的特點；會用算術(shù)平方根的知識解決實際問題。3．了解平方根的概念，會用根號表示正數(shù)的平方根；了解開平方與平方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根。二、過程與方法：1．通過生活中的實例，總結(jié)出算術(shù)平方根的概念，通過計算非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，真正掌握算術(shù)平方根的意義。2．通過折紙認(rèn)識第一個無理數(shù)，并通過估計它的大小認(rèn)識無限不循環(huán)小數(shù)的特點。通過學(xué)習(xí)平方根，進(jìn)一步建立數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維。3．通過對正數(shù)平方根特點的探究，了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，體驗類比、化歸等問題解決數(shù)學(xué)思想方法的運用，提高學(xué)生對問題的遷移能力。三、情感態(tài)度與價值觀：1．通過學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，認(rèn)識數(shù)與人類生活的密切聯(lián)系，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)無理數(shù)做好準(zhǔn)備。2．通過探究的大小，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，了解兩個方向無限逼近的數(shù)學(xué)思想，并且鍛煉學(xué)生克服困難的意志，建立自信心，提高學(xué)習(xí)熱情?！窘虒W(xué)重難點】1．算術(shù)平方根的概念和求法。2．算術(shù)平方根的求法。3．認(rèn)識無限不循環(huán)小數(shù)的特點，會估算一些數(shù)的算術(shù)平方根。4．會用算術(shù)平方根的知識解決實際問題。5．了解開方和乘方互為逆運算，弄懂平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系?！菊n時安排】3課時【教學(xué)過程】【第一課時】一、情境引入：問題：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小歐很高興，他想裁出一塊面積為的正方形畫布，畫上自己得意的作品參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？二、探索歸納：1．探索：學(xué)生能根據(jù)已有的知識即正方形的面積公式：邊長的平方等于面積，求出正方形畫布的邊長為。接下來教師可以再深入地引導(dǎo)此問題：如果正方形的面積分別是1．9．16．36．，那么正方形的邊長分別是多少呢？學(xué)生會求出邊長分別是1．3．4．6．，接下來教師可以引導(dǎo)性地提問：上面的問題它們有共同點嗎？它們的本質(zhì)是什么呢？這個問題學(xué)生可能總結(jié)不出來，教師需加以引導(dǎo)。上面的問題，實際上是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題。2．歸納：（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。（2）算術(shù)平方根的表示方法：的算術(shù)平方根記為，讀作“根號”或“二次很號”，叫做被開方數(shù)。三、應(yīng)用：求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100（2）（3）（4）0.0001（5）0解：（1）因為所以100的算術(shù)平方根是10，即；（2）因為，所以的算術(shù)平方根是，即；（3）因為__________，所以的算術(shù)平方根是，即；（4）因為，所以0.0001的算術(shù)平方根是0.01，即；（5）因為，所以0的算術(shù)平方根是0，即。注：①根據(jù)算術(shù)平方根的定義解題，明確平方與開平方互為逆運算；②求帶分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根，需要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)定義去求解；③0的算術(shù)平方根是0.由此例題教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：你能求出-1，-36，-100的算術(shù)平方根嗎？任意一個負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根嗎？歸納：一個正數(shù)的算術(shù)平方根有1個；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。即：只有非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根，如果有意義，那么。注：且這一點對于初學(xué)者不太容易理解，教師不要強(qiáng)求，可以在以后的教學(xué)中慢慢滲透。求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）分析：此題本質(zhì)還是求幾個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。解：（1）（2）（3）（4）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）（2）（3）（4）解：（1）因為，所以（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和理解能力可進(jìn)行如下總結(jié)：1．由，，可得2．由，，可得教師需強(qiáng)調(diào)時對兩種情況都成立。四、隨堂練習(xí)：1．算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有＿＿＿＿＿。2．求下列各式的值：，，，3．求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：0.0025，121，，，4．已知，求的值。五、課堂小結(jié)1．這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么呢？2．算術(shù)平方根的具體意義是怎么樣的？3．怎樣求一個正數(shù)的算術(shù)平方根？【作業(yè)布置】課本習(xí)題6．1第1．2題【第二課時】一、通過實驗引入：怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？如圖，把兩個小正方形沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為2的大正方形。你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？設(shè)大正方形的邊長為，則，由算術(shù)平方根的意義可知，所以大正方形的邊長為。二、討論的大?。河缮厦娴膶嶒炍覀冋J(rèn)識了，它的大小是多少呢？它所表示的數(shù)有什么特征呢？下面我們討論的大小。因為，所以，即……如此進(jìn)行下去，我們發(fā)現(xiàn)它的小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)，像這樣的數(shù)我們成為無限不循環(huán)小數(shù)。=1.41421356……注：這種估算體現(xiàn)了兩個方向向中間無限逼近的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生第一次接觸，不好理解，教師在講解時速度要放慢，可能需要講兩遍。=1.41421356……，是個無限不循環(huán)小數(shù)，但是很抽象，沒有辦法全部表示出來它的大小，類似這樣的數(shù)還有很多，比如等，圓周率π也是一個無限不循環(huán)小數(shù)。三、用計算器求算術(shù)平方根：大多數(shù)計算器都有“”鍵，用它可以求出一個有理數(shù)的算術(shù)平方根或近似值。用計算器求下列各式的值：（1）；（2）(精確到0001)解：（1）依次按鍵，3136，=，顯示：56，所以（2）依次按鍵，2，=，顯示：1．414213562，這是一個近似值。所以注：不同品牌的計算器，按鍵的順序可能有所不同。四、探索規(guī)律：（1）利用計算器計算，并將計算結(jié)果填在表中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？…………（2）用計算器計算（結(jié)果保留4個有效數(shù)字），并利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出的近似值。你能根據(jù)的值求出的值嗎？學(xué)生通過計算器可求出（1）的答案，依次是：0.25，0.791，2.5，7.91，25，79，1250。從運算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)擴(kuò)大或縮小100倍時，它的算術(shù)平方根就擴(kuò)大或縮小10倍。由可得，由的值不能求出的值，因為規(guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大或縮小100倍時，它的算術(shù)平方根才擴(kuò)大或縮小10倍，而3到30擴(kuò)大的是10倍，所以不能由此規(guī)律求出。此題學(xué)生可獨立完成。五、實際應(yīng)用：例1．小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長與寬之比為3：2，不知道能否裁出來，正在發(fā)愁，小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片?！蹦阃庑∶鞯恼f法嗎？小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？分析：學(xué)生一般認(rèn)為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片。通過計算和講解糾正這種錯誤的認(rèn)識。解：設(shè)長方形紙片的長為，寬為。根據(jù)邊長與面積的關(guān)系可得：∴長方形紙片的長為。因為50>49，所以﹥7，從而﹥21即長方形紙片的長應(yīng)該大于，而已知正方形紙片的邊長只有，這樣長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長。答：不能同意小明的說法。小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片。六、隨堂練習(xí)：1．用計算器求下列各式的值：（1）（2）（3）（精確到0.01）2．估計大小：（1）與12（2）與0.53．已知，求的值。七、課堂小結(jié)1．被開方數(shù)增大或縮小時，其相應(yīng)的算術(shù)平方根也相應(yīng)地增大或縮小，因此我們可以利用夾值的方法來求出算術(shù)平方根的近似值；2．利用計算器可以求出任意正數(shù)的算術(shù)平方根的近似值；3．被開方數(shù)擴(kuò)大（或縮小）與它的算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。┑囊?guī)律是怎樣的呢？4．怎樣的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)？【作業(yè)布置】課本第習(xí)題6．1第5．6題【第三課時】一、情境導(dǎo)入如果一個數(shù)的平方等于9，這個數(shù)是多少？討論：這樣的數(shù)有兩個，它們是3和-3．注意中括號的作用。又如：，則等于多少呢？二、探索歸納：1．平方根的概念：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫做的平方根。即：如果，那么叫做的平方根。求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方與開平方互為逆運算。2．觀察：課本P45的圖6．1-2．圖6．1-2中的兩個圖描述了平方與開平方互為逆運算的運算過程，揭示了開平方運算的本質(zhì)。并根據(jù)這個關(guān)系說出1，4，9的平方根。例4求下列各數(shù)的平方根。（1）100（2）（3）0.253．按照平方根的概念，請同學(xué)們思考并討論下列問題：正數(shù)的平方根有什么特點？0的平方根是多少？負(fù)數(shù)有平方根嗎？一個是正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運算有兩個結(jié)果，一個是負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運算，符號：正數(shù)的算術(shù)平方根可用表示；正數(shù)的負(fù)的平方根可用-表示。例5求下列各式的值。（1），（2），（3）（4）