福建省南平市大洲學校2021年高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a－2,5}，?UA＝{2,4}，則a的值為()A．3B．4

C．5D．6參考答案：C略2.已知函數(shù)定義域為，且函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，（其中是的導函數(shù)），若，，則的大小關系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，則S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2參考答案：C【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】利用遞推關系與等比數(shù)列的通項公式求和公式即可得出．【解答】解：∵Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，∴n=2時，a1+a2=1+2a2，解得a2=1．n≥3時，an=Sn﹣Sn﹣1=1+2an﹣（1+2an﹣1），化為：an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}從第二項開始是等比數(shù)列，公比與首項都為2．∴S20=2+=219+1．故選：C．4.已知集合M=，集合

(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小的1份為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則關于的函數(shù)的所有零點之和為（

）

參考答案：【答案解析】D

解析：當時，又是奇函數(shù)，有圖像可知，有5個零點，其中有兩個零點關于對稱，還有兩個零點關于對稱，所以這四個零點的和為零，第五個零點是直線與函數(shù)，交點的橫坐標，即方程的解，，故選D.【思路點撥】利用時的解析式及函數(shù)的奇偶性，畫出函數(shù)的圖像，此圖像與直線交點橫坐標的和為所求.7.已知集合，，則A∩B=等于（

）A.(－1,3) B.(0,3) C.(1,3) D.(2,3)參考答案：D【分析】求出集合A，然后根據(jù)數(shù)軸求出.【詳解】解：因為，所以或，故集合{或}，又因為集合，所以=，故選D.【點睛】本題考查了集合的交集，解題的關鍵是審清題意，解析出集合中的元素.8.在銳角中，AB=3，AC=4，其面積，則BC=(

)A．

B．或

C．

D．參考答案：9.已知曲線與函數(shù)及函數(shù)的圖像分別交于，則的值為A．16

B．8

C．4

D．2參考答案：C10.若對任意的，函數(shù)滿足，且，則（

）A．1

B．-1

C．2012

D．-2012參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且滿足，則xy的最大值為

▲

.參考答案：312.已知一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．參考答案：4【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，代入錐體體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，底面面積S=×2×3=3，高h=4，故體積V==4；故答案為：4【點評】本題考查的知識點是棱柱的體積和表面積，棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．13.設復數(shù)（為虛數(shù)單位），則.參考答案：由得。14.在中,則的形狀為

．參考答案：等腰三角形15.設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)=

．參考答案：﹣4﹣3i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)得答案．【解答】解：=，故答案為：﹣4﹣3i．16.設，則二項式的展開式中含有的項的系數(shù)為

__參考答案：17.的展開式中，含項的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，,,是邊長為的等邊三角形，，與平面所成角的正弦值為.（1）在線段上是否存在一點，使得平面，若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：解：（1）取的中點，連結(jié)，則，又，可得,所以，所以，CG=,故CD=…………2分取的中點為，的中點為,因為，，所以為平行四邊形，得，

平面

∴存在為中點，DF=時，使得

……5分（2）如圖建立空間直角坐標系，則、、

、，從而，

，。

………7分設為平面的法向量，則可以取

…9分設為平面的法向量，則取

……11分因此，故二面角的余弦值為

……………12分19.在等差數(shù)列{an}中，a2=6，a3+a6=27．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}的通項公式為，求數(shù)列{an?bn}的前n項的和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．（2）由（1）可知．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）?d．由a2=6，a3+a6=27，可得解得．從而，an=3n．（2）由（1）可知an=3n，∴．①②①﹣②，得：故．20.已知二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+2． （Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，記“f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率； （Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，記“關于x的方程f（x）=0有一個大于1的根和一個小于1的根”為事件B，求B發(fā)生的概率． 參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；幾何概型． 【分析】（Ⅰ）因為a有3種取法，b有5種取法，則對應的函數(shù)有3×5=15個，函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=對稱，若事件A發(fā)生，則a＞0且≤1，由此利用列舉法能求出A發(fā)生的概率． （Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}對應的平面區(qū)域為Rt△AOB，由此利用幾何概型能求出B發(fā)生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）因為a有3種取法，b有5種取法，則對應的函數(shù)有3×5=15個． 因為函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=對稱，若事件A發(fā)生，則a＞0且≤1． 數(shù)對（a，b）的取值為（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣1），（3，1）共5種． 所以P（A）==． （Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}對應的平面區(qū)域為Rt△AOB， 如圖．其中點A（6，0），B（0，）， 則△AOB的面積為××6=． 若事件B發(fā)生，則f（1）＜0，即a﹣4b+2＜0． 所以事件B對應的平面區(qū)域為△BCD． 由，得交點坐標為D（2，1）． 又C（0，），則△BCD的面積為×（﹣）×2=1． 所以P（B）==． 【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運用． 21.“地溝油”嚴重危害了人民群眾的身體健康，某企業(yè)在政府部門的支持下，進行技術(shù)攻關，新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可以近似的表示為：且每處理一噸“食品殘渣”，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將補貼.(1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損.(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？參考答案：略22.給定整數(shù)，證明：存在n個互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對S的任意兩個不同的非空子集A，B，數(shù)

與

是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個數(shù)．）參考答案：證明：我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均．第一步，我們證明，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對的任意兩個不同的非空子集A，B，有．證明：對任意，，設正整數(shù)k滿足

，

①并設l是使的最小正整數(shù)．我們首先證明必有．

事實上，設是A中最大的數(shù)，則由，易知A中至多有個元素，即，故．又由的定義知，故由①知．特別地有．此外，顯然，故由l的定義可知．于是我們有．若，則；否則有，則

．由于是A中最大元，故上式表明．結(jié)合即知．現(xiàn)在，若有的兩個不同的非空子集A，B，使得，則由上述證明知，故，但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用易知必須A=B，矛盾．第二步，設K是一個固定的正整數(shù)，，我們證明，對任何正整數(shù)x，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對的任意兩個不同的非空子集A，B，數(shù)與是兩個互素的整數(shù)．事實上，由的定義易知，有的兩個子集，滿足，，且

．

②顯然及都是整數(shù)，故由上式知與都是正整數(shù)．現(xiàn)在設正整數(shù)d是與的