初等函數(shù)

初等函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)下面幾類函數(shù)：(1)冪函數(shù)：y=xα(α∈R是常數(shù))；(2)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0，且a≠1)；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax(a>0，且a≠1)；(4)三角函數(shù)：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx等；(5)反三角函數(shù)：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx等.

初等函數(shù)為了今后學(xué)習(xí)和查閱方便，現(xiàn)將一些常用的基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖形和主要性質(zhì)列于表1-1中.

初等函數(shù)

初等函數(shù)

初等函數(shù)

初等函數(shù)

初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟得到的用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).

例如，y=sin3(2x＋1)，y=5log2(x2＋4x＋7)，y=arcsinax3＋x33x＋2等都是初等函數(shù).而分段函數(shù)是由幾個(gè)式子表示的函數(shù)，因而不是初等函數(shù).但是，由于分段函數(shù)在其子定義域內(nèi)通常都是初等函數(shù)，所以仍可通過(guò)初等函數(shù)來(lái)研究它們.

初等函數(shù)在工程技術(shù)中經(jīng)常要用到一類初等函數(shù)是雙曲函數(shù)，它們是由指數(shù)函數(shù)y=ex與y=e-x生成的初等函數(shù)，它們的定義和符號(hào)如下：圖1-20

初等函數(shù)圖1-21

初等函數(shù)圖1-22

初等函數(shù)圖1-23

初等函數(shù)其中shx，thx，cthx都是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù).

shx，chx，thx的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)，分別記作反雙曲正弦函數(shù)y=arshx.

反雙曲余弦函數(shù)y=archx.

反雙曲正切函數(shù)y=arthx.

同樣，反雙曲函數(shù)可以通過(guò)自然對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)表示，這里不作介紹.

用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，其中一類較簡(jiǎn)單的問(wèn)題是建立函數(shù)關(guān)系.下面給出兩個(gè)例子.

初等函數(shù)某工廠生產(chǎn)電視機(jī)年產(chǎn)量為x臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)1200元.當(dāng)年產(chǎn)量在500臺(tái)以內(nèi)，可以全部售出.經(jīng)廣告宣傳后又可以再多出售300臺(tái)，每臺(tái)平均廣告費(fèi)為40元，若生產(chǎn)再多，本年就銷售不出去了.試建立本年的銷售總收入y與年產(chǎn)量x的關(guān)系.解因?yàn)榭偸杖耄疆a(chǎn)量×單價(jià)，根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下：【例31】

初等函數(shù)某單位要建造一個(gè)容積為V的長(zhǎng)方體水池，它的底為