2024~2025學(xué)年度高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，陰影部分表示并集去掉交集，結(jié)合交集并集概念計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，陰影部分表示并集去掉交集.，則.故陰影部分表示.故選：C.2.若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B3.已知，且在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)推出與的關(guān)系，再根據(jù)投影向量的定義求出在上的投影向量.【詳解】已知，將等式兩邊同時(shí)平方可得.根據(jù)向量平方的展開式,所以，化簡(jiǎn)可得，即，這表明.根據(jù)向量投影向量的定義，所以在上的投影向量為.因?yàn)?，所?則在上的投影向量為.故在上的投影向量為.故選：A.4.葫蘆擺件作為中國傳統(tǒng)工藝品，深受人們喜愛，它們常被視為吉祥物，象征福祿，多子多福.如圖所示的葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個(gè)圓柱與兩個(gè)完整的球組成的幾何體，若上，中，下三個(gè)幾何體的高度之比為，且總高度為，則下面球的體積與上面球的體積之差約為（）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件求出上下兩個(gè)球的半徑，結(jié)合球的體積公式求兩個(gè)球的體積，相減可得結(jié)論.【詳解】設(shè)下面球的半徑為，因?yàn)樯希?，下三個(gè)幾何體的高度之比為，則上面球的半徑為，圓柱的高為，由已知，所以，故下面球的半徑為，上面球的半徑為，所以下面球的體積為，上面球的體積為，又，所以下面球的體積與上面球的體積之差約為，故選：A.5.某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】在甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，結(jié)合分堆問題的處理方法及分步乘法計(jì)數(shù)原理求滿足條件的方法數(shù)，再在甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，.由分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列知識(shí)求滿足條件的方法數(shù)，最后利用分類加法原理求結(jié)論.【詳解】滿足條件的報(bào)名方法可分為兩類：第一類：甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽，先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有種，再將余下人，安排到與下的三個(gè)項(xiàng)目，由于每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，故滿足條件的報(bào)名方法有,所以甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，第二類：甲與其他一人一起參加某項(xiàng)比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項(xiàng)目，有種方法，再安排余下三人，有種方法，所以甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，所以滿足條件的不同的報(bào)名方法共有種方法.故選：C.6.已知函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)在的圖象上，過分別作軸的垂線，垂足分別為，若四邊形為平行四邊形，且面積為，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由條件求，，由此確定函數(shù)的周期，列方程確定，再求結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，點(diǎn)，，所以，所以，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為，所以，所以，結(jié)合對(duì)稱性可得函數(shù)的周期為，又，所以，又點(diǎn)在的圖象上，所以，所以，結(jié)合圖象可得，，所以，，所以，所以故選：D.7.設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，且，則雙曲線兩條漸近線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式得到，再由雙曲線的定義和余弦定理得到，最后結(jié)合三角形的面積公式求出漸近線斜率即可.【詳解】設(shè)，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，則，又，則，在中，由余弦定理可得：，于是，，而，因此，化簡(jiǎn)得，即，所以，即，所以雙曲線兩條漸近線的斜率為.故選：C8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】依題意，將轉(zhuǎn)化為，在定義域內(nèi)同正同負(fù)，函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合，得到，進(jìn)而，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.【詳解】可看作，在定義域內(nèi)二者均單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)同正，因此只需函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合，如圖所示：令，得，所以，所以，令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以的最小值為2，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：可看作，在定義域內(nèi)同正同負(fù)，因此函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正四棱臺(tái)的體積為，則（）A.正四棱臺(tái)的高為B.與平面所成的角為C.平面與平面夾角的正切值為D.正四棱臺(tái)外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解A，根據(jù)線面垂直可得為與平面所成的角，是平面與平面所成的夾角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解BC，根據(jù)勾股定理，可求解半徑，進(jìn)而根據(jù)球的表面積公式即可求解D.【詳解】在正四棱臺(tái)中，，令上下底面中心分別為，連接，如圖，對(duì)于A，，故，A正確；對(duì)于B，平面，在直角梯形中，，取中點(diǎn)，連接，有平面,故為與平面所成的角，由于，故，因此與平面所成的角為，平面平面，故與平面所成的角為，B錯(cuò)誤，對(duì)于C,過作，由于平面，平面，,平面，故平面，平面，故，則是平面與平面所成夾角，因此，故C正確，對(duì)于D，設(shè)外接球的球心為，連接,設(shè)，則，故，解得，，故表面積為，D正確，故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)C.對(duì)，點(diǎn)是的對(duì)稱中心D.當(dāng)時(shí)，直線不是的切線【答案】ABC【解析】【分析】選項(xiàng)A根據(jù)可判斷；選項(xiàng)B根據(jù)極點(diǎn)的定義判斷即可；選項(xiàng)C由可判斷；選項(xiàng)D，根據(jù)斜率為0求得切線為可判斷.【詳解】由得，選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；選項(xiàng)C：，，故的對(duì)稱中心為，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，得由得，，故斜率為0時(shí)切線方程為，即，故D錯(cuò)誤，故選：ABC11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在上B.面積的最大值為C.曲線恰好經(jīng)過個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D.【答案】BD【解析】【分析】將點(diǎn)代入曲線方程判斷A，由方程取求點(diǎn)的坐標(biāo)，取求坐標(biāo)，求直線與曲線的交點(diǎn)，由此判斷B，求直線與曲線的交點(diǎn)，判斷C，求到點(diǎn)距離和為的點(diǎn)的軌跡，求該軌跡與已知曲線的交點(diǎn)，由此判斷D.【詳解】將點(diǎn)代入曲線的方程的左側(cè)可得，所以點(diǎn)不在曲線上，A錯(cuò)誤；由，取可得，解得，所以，所以，取，可得，故，所以，取，可得，所以，即，所以，所以直線與曲線交于點(diǎn)，結(jié)合圖象可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值為，所以面積最大值為，B正確；由，取，可得，所以直線與曲線交于點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，C錯(cuò)誤；坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和為的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由已知，又，故，所以橢圓方程為，聯(lián)立，所以，所以，所以，所以，故橢圓與曲線的交點(diǎn)為，，如圖：故曲線上的所有點(diǎn)都滿足故選，D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決關(guān)鍵在于結(jié)合曲線方程，確定曲線的范圍及曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中和的系數(shù)，即可得的展開式中的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)式當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,的展開式中含的系數(shù)為.故答案為：.13.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式計(jì)算得解.【詳解】由等差數(shù)列可知，，即，所以，故答案為：1514.在中，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分面積是面積的3倍，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，__________.【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用到角公式求出點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，數(shù)形結(jié)合，得到當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，的面積最大，結(jié)合余弦定理和同角的平方關(guān)系計(jì)算即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，由，得，又，所以，則，設(shè)，直線的斜率分別為，則，又，由到角公式得，即，得，整理得，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓.所以當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，的面積最大.此時(shí)，在中，由余弦定理得，又為銳角，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最大值.【答案】（1）（2）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，【解析】【分析】（1）由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，列方程求即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線為，所以，，又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以，所以；【小問2詳解】由（1）知當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，，.16.如圖所示，多面體滿足四邊形是等腰梯形，是正方形.平面平面（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，即可求證平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量的夾角即可求解.【小問1詳解】在等腰梯形中，，所以.正方形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，且，平?所以平面，平面，從而,又因?yàn)槠矫?，且，故平?而平面，所以平面平面.【小問2詳解】分別取中點(diǎn)由等腰梯形和正方形的性質(zhì)知由（1）知，，故可以為原點(diǎn)，為軸正方向建立坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以設(shè).則,設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則.取，則，取，則故.所以平面和平面夾角的余弦值為.17.某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某良性腫瘤與惡性腫瘤的一項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，利用該指標(biāo)可制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為患惡性腫瘤，小于或等于的人判定為患良性腫瘤.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將惡性腫瘤判定為良性腫瘤的概率，記為；誤診率是將良性腫瘤判定為惡性腫瘤的概率，記為.（1）若利用臨界值進(jìn)行判定時(shí)，隨機(jī)抽取男女患者各200名進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)共有11名男性患者出現(xiàn)診斷問題（漏診或誤診），請(qǐng)完成如下的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷出現(xiàn)診斷問題是否與性別有關(guān)？出現(xiàn)診斷問題人數(shù)未出現(xiàn)診斷問題人數(shù)總計(jì)男性人數(shù)11200女性人數(shù)總計(jì)36400（2）經(jīng)過大量調(diào)查，得到良性腫瘤和惡性腫瘤患者該指標(biāo)的頻率分布直方圖如下：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.設(shè)函數(shù)，求的解析式，并解釋取得最小值時(shí)臨界值的實(shí)際意義.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格見解析，無關(guān)；（2），答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二階列聯(lián)表計(jì)算卡方，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)題中條件進(jìn)行計(jì)算，再利用分段函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】依題意，列出列聯(lián)表為：出現(xiàn)診斷問題人數(shù)未出現(xiàn)診斷問題人數(shù)總計(jì)男性人數(shù)11189200女性人數(shù)25175200總計(jì)36364400零假設(shè)：出現(xiàn)診斷問題與性別無關(guān)，則，故可以認(rèn)為，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)證明零假設(shè)不成立，即認(rèn)為出現(xiàn)診斷問題與性別無關(guān)；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有0.08.在實(shí)際中，以取得最小值時(shí)的臨界值為標(biāo)準(zhǔn)，可以使漏診率與誤診率的和最小，是檢測(cè)效果最好的臨界值.18.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且的最小值為4.（1）求的方程；（2）設(shè)過的另一直線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上.（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）對(duì)于（i）中的定點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）或【解析】【分析】（1）借助弦長(zhǎng)公式構(gòu)造方程，結(jié)合二次函數(shù)得到最值計(jì)算即可；（2）（i）設(shè)直線方程：.直曲聯(lián)立.另外，由前問求出.進(jìn)而得到直線方程，化簡(jiǎn)得到.即可求出定點(diǎn).（ii）先求出和直線方程，還求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線方程.【小問1詳解】設(shè)直線方程：，代入中，消去得.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有的最小值為.，故的方程為.【小問2詳解】（i）設(shè)直線方程：.由消去得.①又由（1）知，同理.直線的斜率.直線方程為，化簡(jiǎn)得②由①②得，即.由得，即證明直線過定點(diǎn).（ii）由（i）知，直線方程為：，點(diǎn)到直線的距離，，解得或6.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，或.且，或.直線方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為k），（2）利用條件得到有